广东省广州市黄埔区初三联考2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题（含答案+解析）

这是一份广东省广州市黄埔区初三联考2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题（含答案+解析），共31页。试卷主要包含了请将各题答案填写在答题卡上．等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1、满分120分，答题时间120分钟．
2、请将各题答案填写在答题卡上．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 下列手机APP图标中，既不是中心对称图形也不是轴对称图形是（ ）
A. B. C. D.
2. 方程是关于的一元二次方程的条件是（）
A. B. C. D. 且
3. 抛物线的对称轴是直线（ ）
A. B. C. D.
4. 如图，点A，B，C都在上，且点在弦所对的优弧上．若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
5. 下列关于二次函数的图象性质说法不正确的是（ ）
A. 因为，所以抛物线开口向上B. 当时，函数有最大值1
C. 当时，函数随的增大而增大D. 抛物线的顶点坐标是
6. 中，，，将绕着C点顺时针旋转得，边与交于F，若，则的长为（ ）
A. 3B. 6C. 8D. 12
7. 近年来，随着人工智能和技术的快速发展，某半导体公司的芯片产量呈现爆发式增长．该公司的芯片产量在今年3月为10000片，由于市场需求旺盛，5月产量大幅提升至16900片．设该公司4，5两个月芯片产量的月平均增长率为x，则可列方程（ ）
A. B.
C. D.
8. 若关于的一元二次方程有两个实数根，则的值可以是（ ）
A. 3B. 2C. D. 0
9. 如图，的半径为3，点到直线的距离为5，是直线上的一个动点，与相切于点，则的最小值是（ ）
A. B. 3C. 5D. 4
10. 如图，是的直径，点在上，过点作的切线，过点作于点，连接交于点，连接CE．下列结论：①；②平分；③；④；⑤．其中正确的个数为（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11. 一元二次方程的解是________
12. 每一次投篮，篮球在空中划出的轨迹都是一条优美的抛物线．如图，这是一次投篮时篮球的运动轨迹，它满足二次函数，其中（米）代表篮球飞行的高度，（米）代表篮球飞行的水平距离，则这次投篮时，篮球出手点的高度为______米．
13. 如图，正五边形内接于，点P是劣弧上一点（不与点C重合），则的度数为_____．
14. 如图，一圆形玻璃镜面损坏了一部分，为得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺量得，，则该圆形镜面的直径为______．
15. 如图，在中，，将绕点按顺时针方向旋转后，得到，则阴影部分的面积为______．
16. 如图，抛物线L：（为常数），当抛物线L经过点，时．
（1）抛物线L的顶点坐标为______．
（2）若时，函数的最大值与最小值的差总为，n的取值范围______．
三、解答题（本大题共9小题、满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 解方程：．
18. 如图，是等边内的任意一点，将绕点顺时针旋转到的位置，连接．请判断的形状，并说明理由．
19. 如图，是的直径，C，D是圆上的两点，连接，，，，．若，求证：．
20. 如图，抛物线经过点．
（1）求m的值以及此抛物线的顶点坐标．
（2）当时，求y的取值范围．
21. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为点．
（1）画出绕原点旋转后得到的．（画图时字母应标注清楚）
（2）若与关于某点中心对称，则对称中心的坐标为______．
（3）求的面积．
22. 实践活动：某中学“生态园”小组准备围建一个矩形苗圃（如图）．
（素材1）苗圃的一边靠墙，长为，另外三边用总长为的竹篱笆围建．
（素材2）与墙平行的一边上要预留宽的入口．
（任务1）当矩形苗圃边为多少米时，矩形苗圃的面积为？
（任务2）能否围成面积为矩形苗圃？若能，求出的长；若不能，请说明理由．
23. 某户外拓展基地有一个三角形攀岩架，其中，，．是斜边上的可移动锚点，工作人员以点为圆心，的长为半径固定了一个圆形安全防护圈（），防护圈与边交于点（点不与点重合）．
（1）如图1，当圆形防护圈恰好与边（攀岩架的垂直侧边）相切时，求这个防护圈的半径．（结果保留根号）
（2）如图2，当锚点移动至的位置时，工作人员在点与点之间拉设了一根安全绳，请你判断这根安全绳与圆形防护圈是否相切，并说明理由．
24. 在一次篮球比赛中，小明传出了一个球，球从小明的手中飞出，在空中形成了一条优美的抛物线，落地点为，球落地后弹起，向小东所在位置方向飞去，球飞行的轨迹为抛物线．篮球飞行高度（米）与水平距离（米）之间的函数关系如图所示，小明传出球时球的起点处高度为2米，当球飞出的水平距离为米时，球行进至最高点，此时高度为米．
（1）求小明传球抛物线的函数解析式．
（2）抛物线的函数解析式为，求篮球在第一次落地点与第二次落地点之间的飞行距离．
（3）在（2）的条件下，小东的身高为1.7米，小东的最佳接球高度大于或等于0.75米，小于或等于1.8米，假设小明、小东、点，均在轴上，小东要想更好地接住球，则小东在线段上可移动位置的点的横坐标的取值范围是多少？
25. 综合与实践
问题情境
在等腰直角中，D是斜边上的动点（点D与点A不重合），连接，将绕点C逆时针旋转，得到线段，连接．
问题解决
（1）如图与之间的位置关系是______，数量关系是______．
拓展应用
（2）如图2，以为边作正方形，连接．已知，设，正方形的面积为y．
①求y与x函数解析式．
②若，请直接写出的长．
2025—2026学年第一学期初三年级联合质量监测
数学
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 下列手机APP图标中，既不是中心对称图形也不是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的定义即可得．
【详解】A、中心对称图形，但不是是轴对称图形，此项不符合题意；
B、是中心对称图形，不是轴对称图形，此项不符合题意；
C、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，此项符合题意；
D、不是中心对称图形，是轴对称图形，此项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，熟记定义是解题关键．
2. 方程是关于的一元二次方程的条件是（）
A. B. C. D. 且
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的基本概念，一元二次方程的定义要求二次项系数不为零，即，其他系数不影响方程的次数．
【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程，
∴．
故选：A．
3. 抛物线的对称轴是直线（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，抛物线的对称轴是其顶点横坐标，由顶点式可直接得出对称轴为，据此求解即可．
【详解】解：抛物线方程为，
对称轴为直线，
故选：A．
4. 如图，点A，B，C都在上，且点在弦所对的优弧上．若，则的度数是（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查了圆周角定理．注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半定理的应用是解此题的关键．由，根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得的度数．
【详解】解：∵点A，B，C都在上，且点在弦所对的优弧上，，
∴，
故选：D．
5. 下列关于二次函数的图象性质说法不正确的是（ ）
A. 因为，所以抛物线开口向上B. 当时，函数有最大值1
C. 当时，函数随的增大而增大D. 抛物线的顶点坐标是
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；根据二次函数性质，时开口向上，顶点为最小值点；对称轴为直线，当时函数递增；顶点坐标可直接由解析式得出，然后问题可求解．
【详解】解：∵二次函数，，
∴抛物线开口向上，A正确；
当时，，因为，顶点为最小值点，故B错误；
对称轴为直线，，当时，y随x增大而增大，C正确；
顶点坐标为，D正确；
故选B．
6. 中，，，将绕着C点顺时针旋转得，边与交于F，若，则的长为（ ）
A. 3B. 6C. 8D. 12
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，由旋转的性质得出，，再证明为等边三角形，由等边三角形的性质即可得出．
【详解】解：由旋转的性质得出，，
∵，
∴，
又，
∴为等边三角形，
∴，
故选B
7. 近年来，随着人工智能和技术的快速发展，某半导体公司的芯片产量呈现爆发式增长．该公司的芯片产量在今年3月为10000片，由于市场需求旺盛，5月产量大幅提升至16900片．设该公司4，5两个月芯片产量的月平均增长率为x，则可列方程（ ）
A B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
从3月到5月经过两个月增长，每次增长率为x，因此4月产量为，5月产量为，据此列方程．
【详解】解：设月平均增长率为，
∵4月产量为，
5月产量为，
又∵5月产量为16900，
∴，
故选：B．
8. 若关于的一元二次方程有两个实数根，则的值可以是（ ）
A. 3B. 2C. D. 0
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键；根据一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个实数根，通过计算判别式并求解不等式，得到a的取值范围，再结合选项判断．
【详解】解：∵方程有两个实数根，
∴，
∴；
选项A、B、C均大于1，不满足；选项D为0，满足条件；
故选D．
9. 如图，的半径为3，点到直线的距离为5，是直线上的一个动点，与相切于点，则的最小值是（ ）
A. B. 3C. 5D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查切线的性质及勾股定理，熟练掌握切线的性质及勾股定理是解题的关键；连接，则有，然后根据勾股定理可得，要使有最小值，则需满足取最小值即可，进而问题可求解．
【详解】解：连接，如图所示：
∴，
∴，
要使有最小值，则需满足取最小值即可，
∴当时，有最小值5，
∴的最小值为；
故选D．
10. 如图，是的直径，点在上，过点作的切线，过点作于点，连接交于点，连接CE．下列结论：①；②平分；③；④；⑤．其中正确的个数为（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】连接，，根据切线的性质定理和平行线的性质可得平分，，，即可求得①②③正确；再根据同弧或等弧所对的圆周角和圆心角相等和等腰三角形的性质可得，即可求得④正确；根据，，可得，故⑤错误．
【详解】解：连接，，如图：
∵过点作的切线，过点作于点，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴平分，
故②正确；
∵，
∴，
故③正确；
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故④正确；
∵，，
∴，
故①正确；
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故⑤错误；
故选：C．
【点睛】本题考查了切线的性质定理，平行线的性质，相似三角形，同弧或等弧所对的圆周角和圆心角相等和等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11. 一元二次方程的解是________
【答案】
【解析】
【分析】由于方程左右两边都含有因式x，所以看把右边的项移到左边后，利用因式分解法解方程．
【详解】解：，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
12. 每一次投篮，篮球在空中划出的轨迹都是一条优美的抛物线．如图，这是一次投篮时篮球的运动轨迹，它满足二次函数，其中（米）代表篮球飞行的高度，（米）代表篮球飞行的水平距离，则这次投篮时，篮球出手点的高度为______米．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查二次函数与实际问题，理解题意是解题的关键．把代入函数解析式，即可解答．
【详解】解：令，则，
∴篮球出手点的高度为2米．
故答案为：2．
13. 如图，正五边形内接于，点P是劣弧上一点（不与点C重合），则的度数为_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查正多边形和圆、圆周角定理等知识，解题的关键是根据正多边形的边数求出圆心角的度数．连接．求出的度数，再根据圆周角定理即可解决问题．
【详解】解：如图，连接，
∵是正五边形，
∴，
∴，
故答案为：．
14. 如图，一圆形玻璃镜面损坏了一部分，为得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺量得，，则该圆形镜面的直径为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理和勾股定理等知识点．连接，根据，得出是圆形镜面的直径，再根据勾股定理求出即可．
【详解】解：连接，
∵，且是圆周角，
∴是圆形镜面的直径，
由勾股定理得：，
所以圆形镜面的直径为，
故答案为：．
15. 如图，在中，，将绕点按顺时针方向旋转后，得到，则阴影部分的面积为______．
【答案】36
【解析】
【分析】本题考查了旋转的性质及含30°角的直角三角形的性质，解题的关键是利用旋转性质转化阴影面积，并通过作高结合30°角性质求三角形的高．
由旋转性质得，故阴影面积等价于的面积；过作于，利用含30°角的直角三角形中，30°角对的直角边是斜边的一半，求出高，再用三角形面积公式计算即可．
【详解】解：由旋转性质，得，，，且，
故；
过作于，在中，，
∴；
则，
即阴影部分的面积为36．
故答案为：36．
16. 如图，抛物线L：（为常数），当抛物线L经过点，时．
（1）抛物线L的顶点坐标为______．
（2）若时，函数的最大值与最小值的差总为，n的取值范围______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质，一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系，熟知上述性质是解题的关键．
（1）利用点两点关于对称轴对称，可得顶点坐标，且可求得b的值，再解方程即可求得抛物线L与x轴在原点右侧的交点坐标；
（2）利用二次函数的性质，进行解答即可．
【详解】解：（1）抛物线L经过点，
∴抛物线L的对称轴为直线，
，
的函数表达式为．
当时，．
∴抛物线L的顶点坐标为，
故答案为：；
（2）与y轴交于点，
则点关于直线的对称点为，
抛物线L的开口向上，
∴当时，抛物线L上的最低点的纵坐标总是，
最低点总是，两个点的竖直距离总为，
当时，函数的最大值与最小值的差总为．
故答案为：．
三、解答题（本大题共9小题、满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 解方程：．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查解一元二次方程，根据方程特点选择合适的方法是解题的关键．
运用因式分解法求解即可．
【详解】解：，
因式分解，得，
∴或，
解得，．
18. 如图，是等边内的任意一点，将绕点顺时针旋转到的位置，连接．请判断的形状，并说明理由．
【答案】是等边三角形，理由见详解
【解析】
【分析】本题主要考查旋转的性质及等边三角形的判定，熟练掌握旋转的性质是解题的关键；由旋转的性质可得，然后根据等边三角形的判定定理可进行求解．
【详解】解：是等边三角形，理由如下：
∵将绕点顺时针旋转到的位置，
∴，
∴是等边三角形．
19. 如图，是的直径，C，D是圆上的两点，连接，，，，．若，求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了圆的半径相等的性质、平行线的性质及等腰三角形的性质，解题的关键是利用平行线的角的关系结合等腰三角形的等角转化，推导圆心角相等．
由得同位角、内错角相等，结合得等腰三角形的角相等，进而转化得到
【详解】证明：∵，
∴，，
∵，
∴，
∴．
20. 如图，抛物线经过点．
（1）求m的值以及此抛物线的顶点坐标．
（2）当时，求y的取值范围．
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质．
（1）把点代入，即可求出点m的值，进而可求出抛物线解析式，再把解析式化成顶点式即可得出顶点坐标．
（2）根据二次函数的图象和性质得出当时的最小值，再分别把和3分别代入解析式求出对应的y值，得出最大的y值即可．
【小问1详解】
解：把点代入，
则，
解得：，
∴抛物线解析式为：，
∴抛物线的顶点坐标为
【小问2详解】
解：∵抛物线开口向上，顶点在内，
所以最小值为．
当时，，
当时，，
∴最大值为6，
∴y的取值范围是．
21. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为点．
（1）画出绕原点旋转后得到的．（画图时字母应标注清楚）
（2）若与关于某点中心对称，则对称中心的坐标为______．
（3）求的面积．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查的是画旋转图形，中心对称的性质，坐标与图形，熟练的画图是解本题的关键．
（1）分别确定绕原点O旋转后的对应点，再顺次连接即可；
（2）由，，结合与是中心对称图形，可得对称中心的坐标；
（3）利用割补法求出三角形的面积即可．
【小问1详解】
解：如图，即为所求；
【小问2详解】
解：∵与是中心对称图形，，，
∴对称中心的坐标为，即．
【小问3详解】
解：．
22. 实践活动：某中学“生态园”小组准备围建一个矩形苗圃（如图）．
（素材1）苗圃的一边靠墙，长为，另外三边用总长为的竹篱笆围建．
（素材2）与墙平行的一边上要预留宽的入口．
（任务1）当矩形苗圃边为多少米时，矩形苗圃的面积为？
（任务2）能否围成面积为的矩形苗圃？若能，求出的长；若不能，请说明理由．
【答案】（任务1）时，矩形苗圃的面积为；
（任务2）不能围成面积为的矩形苗圃，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的应用，熟练掌握解一元二次方程是解题的关键，
（1）设米，根据题意列出一元二次方程，解方程并验证根是否符合实际问题即可得到答案；
（2）设米，根据题意列出一元二次方程，利用根的判别式判断方程根的情况，可得到答案．
【详解】解：（任务1）设米，则米，
由题可得：，
整理得：，
解得：，，
当时，，符合题意；
当时，，不符合题意，舍去；
答：当矩形苗圃的边为米时，矩形苗圃的面积为．
（任务2）不能围成面积为的矩形苗圃，理由如下：
假设围成苗圃的面积为，设米，则米，
根据题意得：，
整理得：，
∵，
∴原方程没有实数根，
∴假设不成立，即不能围成面积为的矩形苗圃．
23. 某户外拓展基地有一个三角形攀岩架，其中，，．是斜边上的可移动锚点，工作人员以点为圆心，的长为半径固定了一个圆形安全防护圈（），防护圈与边交于点（点不与点重合）．
（1）如图1，当圆形防护圈恰好与边（攀岩架的垂直侧边）相切时，求这个防护圈的半径．（结果保留根号）
（2）如图2，当锚点移动至的位置时，工作人员在点与点之间拉设了一根安全绳，请你判断这根安全绳与圆形防护圈是否相切，并说明理由．
【答案】（1）这个防护圈的半径
（2）相切，理由见详解
【解析】
【分析】本题主要考查切线的性质与判定及三角函数，熟练掌握切线的性质与判定及三角函数是解题的关键；
（1）设与相切于点E，连接，由题意易得，，然后可设，则有，进而问题可求解；
（2）由题意易得，然后根据等腰三角形的性质可得，进而问题可求解．
【小问1详解】
解：设与相切于点E，连接，如图所示：
∴，，
∵，，，
∴，，
∴，
设，则有，
∵，
∴，
解得：，
答：这个防护圈的半径．
【小问2详解】
解：相切，理由如下：
由题意得：，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∵是的半径，
∴是的切线．
24. 在一次篮球比赛中，小明传出了一个球，球从小明的手中飞出，在空中形成了一条优美的抛物线，落地点为，球落地后弹起，向小东所在位置方向飞去，球飞行的轨迹为抛物线．篮球飞行高度（米）与水平距离（米）之间的函数关系如图所示，小明传出球时球的起点处高度为2米，当球飞出的水平距离为米时，球行进至最高点，此时高度为米．
（1）求小明传球的抛物线的函数解析式．
（2）抛物线的函数解析式为，求篮球在第一次落地点与第二次落地点之间的飞行距离．
（3）在（2）条件下，小东的身高为1.7米，小东的最佳接球高度大于或等于0.75米，小于或等于1.8米，假设小明、小东、点，均在轴上，小东要想更好地接住球，则小东在线段上可移动位置的点的横坐标的取值范围是多少？
【答案】（1）
（2）5米 （3）
【解析】
【分析】本题考查二次函数与实际问题，待定系数法求解析式，二次函数的图象及性质．
（1）根据题意得到抛物线的顶点为，且过点，运用待定系数法求解即可；
（2）把代入抛物线：，求出点F的坐标为，再把点代入抛物线，求出k的值，得到抛物线的解析式为，令，可求出点G的坐标，根据点F，G的坐标即可求解；
（3）由抛物线可得篮球反弹后的最大高度为米，小于米，当时，，则小东在线段上可移动位置的点的横坐标的取值范围是．
【小问1详解】
解：当球飞出的水平距离为米时，球行进至最高点，此时高度为米，
∴抛物线的顶点为，
∴设抛物线的解析式为，
∵小明传出球时球的起点处高度为2米，
∴抛物线过点，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为．
【小问2详解】
解：对于抛物线：，令，则，
解得，，
∴点F的坐标为，
∵抛物线过点，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为，
令，则，
解得，，
∴点G的坐标为，
∴，
∴篮球在第一次落地点与第二次落地点之间的飞行距离为5米．
【小问3详解】
解：对于抛物线，顶点坐标为，
∴篮球反弹后的最大高度为米，小于米．
当时，，
解得，
∴当时，，
∴小东在线段上可移动位置的点的横坐标的取值范围是．
25. 综合与实践
问题情境
在等腰直角中，D是斜边上的动点（点D与点A不重合），连接，将绕点C逆时针旋转，得到线段，连接．
问题解决
（1）如图与之间的位置关系是______，数量关系是______．
拓展应用
（2）如图2，以为边作正方形，连接．已知，设，正方形的面积为y．
①求y与x的函数解析式．
②若，请直接写出的长．
【答案】（1）垂直；相等．
（2）①；②的长为或．
【解析】
【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理及函数解析式的求解，解题的关键是利用旋转性质构造全等三角形，结合勾股定理推导线段关系与函数表达式．
（1）由旋转得、，证，推导与的位置和数量关系；
（2）①作辅助线用勾股定理表示，得正方形面积的解析式；
②结合（1）的结论与勾股定理列方程求的长．
【详解】（1）解∵是等腰直角三角形，
∴，，
∵绕点逆时针旋转得，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，即
故答案为：垂直；相等．
（2）①解∵，是等腰直角三角形，
∴，作于H，则，，
在中，，
∵正方形的面积，
∴．
②解：如下图，连接，
∵，
∴点D、E、B、F四点共圆（是圆的直径），
∴，又，
∴，
∴，
．
即
解得：或．
答：的长为或．