北京市一六六中学2024-2025学年高二下学期期中数学试卷

这是一份北京市一六六中学2024-2025学年高二下学期期中数学试卷，共8页。
班级：______姓名：______
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1 若集合，集合，则等于（ ）
A. B. C. D.
2. 已知，且，则下列各式中一定成立是（ ）
A. B. C. D.
3. 二项式的展开式中的常数项是（ ）
A. 160B. C. 20D.
4. 设函数，若，则（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
5. 若函数的图象如图，为常数.则函数的图象是（ ）
A. B. C. D.
6. 已知函数在区间上单调递增，则实数的值可以为（ ）
A B. 0C. D. 1
7. “”是“不等式在上恒成立”的（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
8. 由四名员工负责五月一日和五月二日某单位的白天值守工作.每天从这四人中任选两人值班，则恰好有一人这两天都在单位值守的安排方案的种数是（ ）
A. 6B. 12C. 24D. 36
9. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，直线与交于，两点，若的面积是面积的2倍，则（ ）
A. B. C. D.
10. 进行卫星通信时，通常是将所传送的信息转化为0，1信号数码进行发送与接收的.在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立.发送0时，接收方收到0（正确）的概率为，收到1（错误）的概率为；发送1时，接收方收到1（正确）的概率为，收到0（错误）的概率为.考虑两种传输方案：单次传输和三重传输.单次传输是指每个信号只发送1次，三重传输是指每个信号重复发送3次.无论哪种方案，接收方收到的信号都需要译码.译码规则如下：单次传输时，收到的数码即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数最多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）.下列结论中正确的是（ ）
A. 采用单次传输时，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1概率为
B. 采用三重传输时，若发送数码0，则译码为0的概率为
C. 发送0，若，则三重传输译码正确的概率大于单次传输译码正确的概率
D. 当时，译码正确的概率与传输方案以及传输数码内容无关
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 动点在圆上运动，则点到轴的最近距离是______.
12. 双曲线的焦点在轴上，渐近线方程为，焦距为，则双曲线的方程为______
13. 李红同学想到一个命题：“设函数的定义域为区间，若导函数在区间上单调递增，则函数在区间上也单调递增”.王正同学想举反例说明这个命题是假命题，但又苦于找不到合适的函数，你能找到一个函数作为反例吗？
答：______.（写出一个具体的函数解析式）
14. 现有5名教师带领3个兴趣小组（生物、人文、经济）外出学习考察，要求每个兴趣小组的带队教师至少一人至多两人，张老师是年轻教师，学校要求他不能单独带队，不同的教师带队方案有______种.（用数字作答）
15. 已知函数，.
（1）时，函数的最小值为______
（2）设函数的值域为，若，则实数的取值范围是______.
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 长方体中，为棱中点，，，.
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面的夹角的余弦值.
17. 设函数.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求函数的极值；
（3）求函数在区间上的最大值
18. 一个不透明的袋子中有若干个除颜色以外完全相同的小球，白球有个，黑球有个，其余个球均为红球.
（1）设，，，小杨同学每次从袋中随机取一个球记录颜色后放回袋中，如此这般共取三次，求记录中恰好有两次白色的概率；
（2）设，，，小衡同学从袋中随机抽取两个球，设这两个球中黑球的个数为，求的分布列与期望；
（3）设，，，小石同学从袋中随机抽取三个球，设事件为“三个球的颜色都相同”，设事件为“三个球的颜色各不相同”，请比较事件与事件发生概率的大小关系.（直接写出结果即可）
19. 设，函数，.
（1）讨论函数的单调区间；
（2）求证：当时，不等式在区间上恒成立；
（3）时，直线是否有可能为曲线的切线，请说明理由.
20. 已知抛物线：上有一点，直线：.
（1）求抛物线的方程；
（2）在抛物线上任取一点（异于点），已知直线与直线交于点，过点与轴平行的直线与抛物线交于点.证明：直线与直线交于定点.
21. 对于数列，记，其中表示这个数中最大的数，并称数列是的“控制数列”，如数列的“控制数列”是.
（1）若各项均为正整数的数列的“控制数列”为，写出所有的；
（2）设.
（i）当时，证明：存在正整数，使得是等差数列；
（ii）当时，求的值(结果可含).
北京市第一六六中学2024-2025学年度第二学期期中测试
高二年级数学学科
（考试时长：120分钟）
班级：______姓名：______
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
【1题答案】
【答案】C
【2题答案】
【答案】B
【3题答案】
【答案】B
【4题答案】
【答案】B
【5题答案】
【答案】A
【6题答案】
【答案】D
【7题答案】
【答案】A
【8题答案】
【答案】C
【9题答案】
【答案】D
【10题答案】
【答案】C
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
【11题答案】
【答案】2
【12题答案】
【答案】
【13题答案】
【答案】（答案不唯一）
【14题答案】
【答案】72
【15题答案】
【答案】 ①. ②.
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
【16题答案】
【答案】（1）证明见解析；
（2）.
【17题答案】
【答案】（1）；
（2）极大值为，极小值为；
（3）答案见解析.
【18题答案】
【答案】（1）；
（2）分布列见解析，；
（3）.
【19题答案】
【答案】（1）答案见解析
（2）证明见解析 （3）可能，理由见解析
【20题答案】
【答案】（1）；
（2）证明见解析.
【21题答案】
【答案】（1）；（2）（i）证明见解析；（ii）.
考查目标
知识：集合，函数，三角函数与解三角形，导数及其应用.数列，平面向量与复数，平面解析几何，立体几何，排列组合与二项式定理，概率统计.
能力：数学抽象概括；逻辑推理论证；数学建模应用；直观想象，数学运算；数据分析；空间想象能力.
考查目标
知识：集合，函数，三角函数与解三角形，导数及其应用.数列，平面向量与复数，平面解析几何，立体几何，排列组合与二项式定理，概率统计.
能力：数学抽象概括；逻辑推理论证；数学建模应用；直观想象，数学运算；数据分析；空间想象能力.