2025-2026学年江苏省镇江市句容市崇明中学九年级（上）期中数学试卷（含答案+解析）

这是一份2025-2026学年江苏省镇江市句容市崇明中学九年级（上）期中数学试卷（含答案+解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.一元二次方程x2=x的根是( )
A. x=1B. x=0C. x1=x2D. x1=0，x2=1
2.已知⊙O的半径为3，平面内有一点M.若OM=4，则点M与⊙O的位置关系是( )
A. 在圆内B. 在圆上C. 在圆外D. 不能确定
3.关于x的一元二次方程x2+x−1=0的根的情况是( )
A. 只有一个实数根B. 有两个相等的实数根
C. 有两个不相等的实数根D. 没有实数根
4.用配方法解方程x2−2x−1=0，原方程应变形为( )
A. (x−1)2=2B. (x+1)2=2C. (x−1)2=1D. (x+1)2=1
5.《四元玉鉴》是我国传统数学中重要的著作之一，《四元玉鉴》中记载：“池方一丈，葭生中央，出水一尺.引葭赴岸，适与岸齐.问水深、葭各几何？”大意：有一边长为一丈的正方形池塘，一棵芦苇(“葭”)生长在池塘的正中央，露出水面一尺.将芦苇的顶端拉向岸边，顶端刚好和岸边的水面平齐.问池塘的水深和芦苇的总长度各是多少？利用方程思想，设水深为x尺，则依题意所列方程为(1丈=10尺，1尺=10寸)( )
A. x2+(x+1)2=52B. x2+52=(x+1)2
C. x2+102=(x+1)2D. x2+(x+1)2=102
6.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠B=60∘，∠ACD=38∘，则∠DAC的度数为( )
A. 44∘
B. 34∘
C. 30∘
D. 22∘
7.如图，PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，点C在⊙O上，若∠P=44∘，则∠ACB的度数为( )
A. 112∘
B. 136∘
C. 122∘
D. 126∘
8.在九年级《数学实验手册》中，我们探究了最小覆盖圆与图形之间的关系.现有如图所示的正方形ABCD，边长为4cm，若分别以顶点A、B、C、D为圆心作四个等圆，这四个等圆能完全覆盖正方形ABCD，则所作等圆的最小半径是( )
A. 4cm
B. 2cm
C. 2 2cm
D. 4 2cm
9.在2025镇江市足球联赛(简称“镇超”)第1轮句容对经开区队的比赛中，客场作战的句容队以5：1的比分战胜经开区队，某校数学兴趣小组对进球进行了数学探究：足球射门，不考虑其他因素，仅考虑射点到球门MN的张角大小，张角越大，射门越好.如图的正方形网格中，点M，N，E，F，G均在格点上，球员带球沿EF方向进攻，最好的射点在( )
A. 点FB. 点G
C. 线段FG(异于端点)上一点D. 线段EF(异于端点)上一点
10.一次函数y=ax+c(a≠0)的图象经过点(3,1)，则ac的最大值等于( )
A. 112B. −136C. 136D. −112
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.已知x=3是方程x2+mx+3=0的一个根，则m的值为 .
12.若关于x的一元二次方程x2−x+k=0有两个相等的实数根，那么实数k的值是______.
13.已知圆锥的底面圆半径为3cm，母线长为4cm，则该圆锥的侧面积为 cm2.
14.如图，若以AB为边长作⊙O的内接正多边形，则这个多边形是正______边形．
15.在同一平面内，已知点O到直线l的距离为5，以点O为圆心，r为半径画圆，⊙O上有且只有两个点到直线l的距离等于3，则r的取值范围 .
16.如图，正方形ABCD的边长为4cm，F是DC的中点，E点从点B出发沿BC以2cm/s的速度向点C移动，一直到达点C为止，连接EF，以点E为圆心，EF长为半径作⊙E.当⊙E与正方形ABCD的边相切时，则点E的运动时间t为 s.
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
解下列方程：
(1)x2−4x−4=0；
(2)2x(x−1)=1−x；
(3)3x2−x−2=0.
18.(本小题6分)
如图，在正方形网格中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过格点A(0,4)，B(−4,4)，C(−6,2)，该圆弧所在圆的圆心为P.
(1)点P的坐标为______，⊙P的半径为______.
(2)若扇形PAC是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径为______.
19.(本小题6分)
如图，点B是⊙O上一点，AD为⊙O的直径，点C在⊙O上且平分AD.
(1)连接BC，∠ABC=______ ∘.
(2)若AC=5 2，BD=6，求AB的长.
20.(本小题7分)
已知：关于x的方程(a−1)x2+2ax+a+1=0(a≠1).
(1)求证：无论a取何值，方程总有两个不相等的实数根；
(2)若a为正整数，同时方程的两个根均为整数，求a的值.
21.(本小题7分)
某蔬菜种植基地计划用105米的竹篱笆设计围成如图所示的①、②、③、④四个种植区域，其中区域③是正方形，区域①、②、④都是矩形，且AG：GD=2：3.设AG的长为2x米.
(1)用含x的代数式表示BE=______；
(2)当x为多长时，围成区域②的面积为126平方米.
22.(本小题8分)
近年来，句容某地大力推广种植多个优质葡萄品种，其中“阳光玫瑰”因其品质卓越、口感独特而备受消费者青睐，现已广泛种植.该地一葡萄种植大户2020年种植“阳光玫瑰”50亩，到2022年“阳光玫瑰”的种植面积达到72亩.
(1)求该种植户这两年“阳光玫瑰”种植面积的平均增长率；
(2)某超市调查发现，当“阳光玫瑰”的售价为20元/千克时，每天能售出160千克，售价每降价0.5元，每天可多售出20千克，为了推广宣传，该超市决定降价促销，同时尽量减少库存，已知该超市“阳光玫瑰”的平均成本价为12元/千克，该超市“阳光玫瑰”每千克降价多少元时，每天可获利1400元？
23.(本小题8分)
若x=m时，代数式ax2+x+c的值为−m，则称−m是这个代数式的“x自反值”.例如，当x=0时，代数式x2+x的值为0；当x=−2时，代数式x2+x的值为2，所以0和−2是x2+x的“x自反值”.
(1)代数式x2−2的“x自反值”是______；
(2)若代数式ax2−5x+a−3(a为常数)只有一个“x自反值”，求a的值；
(3)若代数式(a−1)x2−bx+2(a,b为常数，a≠1)对于任意常数b恒有两个“x自反值”，则a的取值范围是______.
24.(本小题8分)
如图，△ACD中，∠ADC=90∘，以AB为直径的⊙O交CB的延长线于点E，连接DE，DE是⊙O的切线.
(1)求证：CD=DE；
(2)若AC=4 5，BD=2，求CD的长.
25.(本小题10分)
主题学习.
【阅读理解】
任务：在矩形ABCD内画一个最大的半圆.
操作：
(1)选取矩形ABCD的一个顶点A，作∠A的平分线AE，交BC于点E，在线段AE上任取一点O，过点O作OG⊥AD，垂足为G；以点O为圆心、OG长为半径作⊙O，则⊙O必与AB，AD两边同时相切，切点分别为G，F两点，如图①.
(2)沿着线段AE向下拖动圆心O，⊙O逐渐变大.当⊙O足够大时，与矩形另外的边相交，如图②，设⊙O与BC边交于点H，与CD边交于点I，连接HI，则HI为⊙O的一条弦.当点O落在弦HI上时，则弦HI为⊙O的直径，此时半圆HGI即为矩形ABCD内最大的半圆.
【实践操作】
(1)如图③，已知矩形ABCD，AD=2AB，用直尺和圆规作出矩形ABCD内最大半圆.(不写作法，保留作图痕迹)
【探索发现】
(1)如图④，已知正方形ABCD的边长为4，求正方形ABCD内最大半圆的半径OF的长.
(2)如图⑤，在矩形ABCD中，BE=1，DF=2，则矩形ABCD内最大半圆的直径EF=______.
(3)若矩形ABCD内最大半圆有无数个，则矩形的两边长a和b满足的关系为______.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：∵x2−x=0，
∴x(x−1)=0，
∴x1=0，x2=1.
故选D.
移项后左边因式分解即可得．
本题考查因式分解法解一元二次方程．
2.【答案】C
【解析】解：∵⊙O的半径为3，OM=4，
∴点M到圆心的距离大于圆的半径，
∴点M在圆外．
故选：C.
设圆的半径为r，点P到圆心的距离OP为d，当d>r时，则点P在圆外；当d=r时，点P在圆上；当d0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：C.
根据方程的系数结合根的判别式的值与0进行比较，进而可得出方程根的情况．
本题考查了一元二次方程根的判别式．熟练掌握该知识点是关键．
4.【答案】A
【解析】解：x2−2x=1，
x2−2x+1=2，
(x−1)2=2.
故选：A.
先把常数项移到方程右侧，再把方程两边加上1，然后把方程左边写成完全平方形式即可．
本题考查了解一元二次方程-配方法的变形：先把常数项移到方程右侧，再把二次项系数化为1，最后把方程两边加上一次项系数一半的平方，把方程左边写成完全平方形式即完成配方．
5.【答案】B
【解析】解：∵水深为x尺，则芦苇长为(x+1)尺，
∵池塘边长为10尺，中心到岸边的距离为5尺，
∴由勾股定理，得：x2+52=(x+1)2，
故所列方程为x2+52=(x+1)2.
故选：B.
设水深为x尺，则芦苇长为(x+1)尺，将芦苇顶端拉向岸边时，形成直角三角形，其中直角边为水深x尺和池中心到岸边的距离5尺(边长一丈=10尺，半边长5尺)，斜边为芦苇长(x+1)尺，根据勾股定理列方程．
本题主要考查勾股定理的运用，理解题意，掌握勾股定理的计算是关键．
6.【答案】D
【解析】解：由题意得∠B+∠ADC=180∘，
∴∠ADC=180∘−∠B=180∘−60∘=120∘，
又∵∠ACD=38∘，
∴∠DAC=180∘−∠ADC−∠ACD=180∘−120∘−38∘=22∘，
故选：D.
根据圆内接四边形对角互补求出∠ADC，再根据三角形内角和定理即可求解．
本题考查圆内接四边形的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
7.【答案】A
【解析】解：连接OA、OB，
由题意可得：∠OAP=∠OBP=90∘，
∵∠P=44∘，
∴∠AOB=180∘−44∘=136∘，
当C在劣弧AB上时，
∠ACB=12×(360∘−136∘)=112∘，
当C在优弧AB上时，
∠ACB=12×136∘=68∘.
故选：A.
首先连接OA、OB，根据切线的性质可知∠OAP=∠OBP=90∘，根据四边形内角和定理可以求出∠AOB=136∘，根据点C在圆上的位置，求∠ACB的度数．
本题考查了四边形内角和定理、切线的性质、圆周角定理，正确记忆相关知识点是解题关键．
8.【答案】C
【解析】解：如图：连接AC、BD相较于O，以分别以顶点A、B、C、D为圆心作四个等圆，
这四个等圆能完全覆盖正方形ABCD，且半径为正方形对角线的一半，即12 42+42=2 2cm.
∴所作等圆的最小半径是2 2cm.
故选：C.
如图：连接AC、BD相较于O，以分别以顶点A、B、C、D为圆心作四个等圆，这四个等圆能完全覆盖正方形ABCD，再根据勾股定理以及正方形性质求解即可．
本题主要考查了正方形的性质、勾股定理等知识点，正确画出图形是解题的关键．
9.【答案】D
【解析】解：连接ME，MF，MG，NE，NF，取格点O，则OM=ON=OE=OF= 5，
设MG交⊙O于A，取线段EF上任一点D，MD交⊙O于C，MC，NC，
∴∠MEN=∠MFN=∠MAN=∠MCN，
∵∠MAN>∠MGN，∠MDN>∠MCN，
∴∠MDN>∠MEN=∠MFN>∠MGN，
∵射点到球门MN的张角大小，张角越大，射门越好，
∴最好的射点在线段EF(异于端点)上一点，
故选：D.
连接ME，MF，MG，NE，NF，取格点O，OM=ON=OE=OF= 5，得到M，N，E，F四点共圆，设MG交⊙O于A，取线段EF上任一点D，MD交⊙O于C，MC，NC，根据圆周角定理和三角形外角可得∠MDN>∠MEN=∠MFN>∠MGN即可根据“张角越大，射门越好”求解即可．
本题考查的是圆周角定理及坐标与图形的性质、四点共圆的判定与性质，熟练掌握以上知识点是关键．
10.【答案】A
【解析】解：∵函数图象经过点(3,1)，
∴1=3a+c，
∴c=1−3a，
∴ac=a(1−3a)=−3a2+a=−3(a−16)2+112，
∵二次项系数−3