北京师范大学附属中学2024-2025学年高二下学期期中模拟数学试卷-A4

这是一份北京师范大学附属中学2024-2025学年高二下学期期中模拟数学试卷-A4，共6页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a3＋a7＝6，S11＝11，则公差d的值为（ ）
A. 1B. －1C. 2D. －2
2. 已知等比数列前项和为，若，，则（ ）
A. B. C. D.
3. 如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为
A 24B. 18C. 12D. 9
4. 若数列满足，则（ ）
A. 16B. 20C. 24D. 28
5. 如图是的导函数的图象，则下列说法正确的个数是（ ）
①在区间上是增函数；
②是极小值点；
③在区间上是增函数，在区间上是减函数；
④是的极大值点.
A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个
6. 已知函数，则值为（ ）
A. B. C. D.
7. 若函数在其定义域内只有一个零点，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
8. 设等比数列的公比为，前项和为，则“”是“为递增数列”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
9. 已知是函数的极大值点，则下列结论不正确的是（ ）
A. B. 一定存在极小值点
C. 若，则是函数的极小值点D. 若，则
10. 已知数列满足，，给出下列三个结论：①不存在a，使得数列单调递减；②对任意的a，不等式对所有的恒成立；③当时，存在常数C，使得对所有的都成立．其中正确的是（ ）
A. ①②B. ②③C. ①③D. ①②③
二、填空题（本大题共5小题，共25分）
11. 由0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有_____个．
12. 设函数，已知直线为曲线的一条切线，且直线的斜率为，则直线的方程为_____．
13. 已知等差数列的公差为，若，，成等比数列，则_______；数列的前项和的最小值为_____．
14. 《孙子算经》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗．问：五人各得几何？”其意思为：“有依次为第一等，第二等，第三等，第四等，第五等的5个诸侯分60个橘子，他们分得的橘子个数成公差为3的等差数列，问5人各得多少橘子．”根据这个问题，可以得到第二等诸侯分得的橘子个数是______．
15. 在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔，简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数，而称为该函数的一个不动点，依据不动点理论，下列说法正确的是_____．
①函数有3个不动点；
②函数至多有两个不动点；
③若函数没有不动点，则方程无实根；
④设函数（，为自然对数的底数），若曲线上存在点使成立，则的取值范围是．
三、解答题（本大题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. 已知数列为等差数列，且满足，，数列的前项和为，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）证明：是等比数列，并求的通项公式；
（3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.
17. 设函数．
（1）求的单调区间；
（2）当时，求的最大值与最小值．
18. 已知正项数列的前项和为，且，(且).
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
19. 若函数．
（1）求曲线在点处的切线的方程；
（2）判断方程解的个数，并说明理由；
（3）当，设，求的单调区间．
20. 已知函数，若的最小值为0，
（1）求的值;
（2）若，证明:存在唯一的极大值点，且.
21. 已知是无穷数列，给出两个性质：
①对于中任意两项，在中都存在一项，使得．
②对于中任意一项，在中都存在两项，使得．
（1）若，判断否满足性质①，说明理由：
（2）若，判断数列是否同时满足性质①和性质②，说明理由；
（3）若是单调递增数列，且同时满足性质①和性质②，证明：为等差数列．
北京师大附中2024—2025学年（下）高二数学期中模拟试卷
一、单选题（本大题共10小题，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
【1题答案】
【答案】D
【2题答案】
【答案】A
【3题答案】
【答案】B
【4题答案】
【答案】C
【5题答案】
【答案】C
【6题答案】
【答案】B
【7题答案】
【答案】C
【8题答案】
【答案】B
【9题答案】
【答案】D
【10题答案】
【答案】A
二、填空题（本大题共5小题，共25分）
【11题答案】
【答案】240
【12题答案】
【答案】
【13题答案】
【答案】 ①. ②.
【14题答案】
【答案】9
【15题答案】
【答案】②③④
三、解答题（本大题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
【16题答案】
【答案】（1）（2）证明见解析 ，，（3）
【17题答案】
【答案】（1）单调递增区间是,，单调递减区间是
（2）最大值,最小值
【18题答案】
【答案】（1）
（2）
【19题答案】
【答案】（1）
（2）方程有两个解，理由见解析
（3）答案见解析
【20题答案】
【答案】（1）
（2）证明见解析
【21题答案】
【答案】（1）不满足性质①，理由见解析
（2）满足性质①和性质②，理由见解析
（3）证明见解析