2024-2025学年北京市西城区北京师范大学附属中学高二下学期期中考试数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年北京市西城区北京师范大学附属中学高二下学期期中考试数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在等差数列an中，a5=3，a9=15，则a6=( )
A. 4B. 5C. 6D. 9
2.已知函数fx=cs2x，则f′π4=( )
A. −2B. −1C. 2D. 1
3.学校组织游学，学生可以从华山、衡山、恒山、嵩山四个景点中任选一处前往，3个好朋友每人随机选择一个目的地，不同选法的种数是( )
A. 81B. 64C. 24D. 12
4.已知函数fx=sinx−12x，则在下列区间上，fx单调递减的是( )
A. −π3,0B. 0,π6C. π6,π2D. π3,π2
5.设等比数列an的前n项和为Sn.若a1=1，S3=34，则S4=( )
A. 78B. 58C. 0D. −12
6.已知函数fx=32−m2x−mx3在x=1处取得极小值，则m的值为( )
A. −2B. 1C. −2或1D. −1或2
7.等比数列an中，公比为q，则“an+2>an”是“q>1”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件
8.已知定义在R上的函数fx的导函数f′x的图象如图所示，下列命题中正确的是( )
A. −1是fx的极值点
B. fx在区间−∞,−3上单调递增
C. −3是fx在区间−4,1上的最小值点
D. 曲线y=fx在点0,f0处的切线斜率小于零
9.设数列an的前n项和为Sn.若a1=2，Sn=n+1an2，则a6=( )
A. 18B. 12C. 6D. 3
10.若数列an各项均为正数，且an+12−an+1=ann∈N∗，则下列结论错误的是( )
A. 对任意n≥2，an>1
B. 当a12
C. an可以是常数列
D. 当a1>2时，对任意n≥2，anf′x恒成立，则a的一个取值可以是
14.数列an满足：对任意k∈N∗，数列a2k−1，a2k，a2k+1是公差为dk的等差数列，且数列dk也是等差数列．若a1=0，a3=4，a7=24，则a5= ；an的前9项和等于 ．
15.已知函数fx=13+x2−kx+b，k,b∈R，给出下列四个结论：
①当k=0时，fx有1个极值点；
②当k>18时，fx存在极值点；
③当b=0时，fx有1个零点；
④当0b，a≠2kb，k∈N．
(1)当a=5，b分别为1，2，3，4时，直接写出数列bn的最小周期；
(2)当a=17时，求证：对任意b∈N∗，bn的最小周期为定值；
(3)当a为大于2的质数，b=1时，设T为bn的最小周期，S=bn+bn+1+⋯+bn+T−1a.求证：S为整数．(参考结论：若p为大于2的质数，则2p−1−1是p的倍数)
参考答案
1.C
2.A
3.B
4.D
5.B
6.A
7.D
8.C
9.B
10.B
11.1e,−1e
12.72
13.1(答案不唯一，只要满足a>0即可)
14.12；140
15.①④
16.(1)设等差数列an的公差为d．
因为a6=−6,a7=−3，所以a1+5d=−6a1+6d=−3，解得a1=−21d=3,
所以an=a1+n−1d=3n−24．
所以Sn=a1+ann2=3n−45n2=3n−1522−67542．
因为n∈N∗，所以当n=7或n=8时Sn取得最小值，
且最小值为S7=S8=3×8−45×82=−84．
(2)由(1)可得：b1=a9=3，b2=a11=9，
所以等比数列bn的公比为q=b2b1=93=3，
所以bn=b1⋅qn−1=3n，所以等比数列bn的前n项和Tn=b11−qn1−q=31−3n1−3=323n−1．

17.(1)函数fx=x3−3x2−9x+cc∈R的定义域为R，
又f′x=3x2−6x−9=3x−3x+1
令f′x