北京市第十五中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题-A4

这是一份北京市第十五中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题-A4，共10页。试卷主要包含了04， 已知向量, 设函数，在中，．，在中，，设为正整数，若满足等内容，欢迎下载使用。
2025.04
本试卷共5页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡和答题纸上，在试卷上作答无效.
第一部分（选择题 共40分）
选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
（1）若，且，则角是（ ）
（2）已知，且是第四象限角，那么的值是（ ）
（3）（ ）
（A） （B） （C） （D）
（4）已知向量，，且，则 （ ）
（A） （B） （C） （D）
（5）已知，，，则的大小关系为（ ）
（A） （B）
（C） （D）
（6）下列函数中，最小正周期为的奇函数是（ ）
（A） （B）
（C） （D）
（7）若，则 （ ）
（A） （B） （C） （D）
（8）在中，，则（ ）
（A） （B） （C） （D）
（9）已知函数的最小正周期为，最大值为，则函数的图象（ ）
（A）关于点对称 （B）关于直线对称
（C）关于点对称 （D）关于直线对称
（10）已知平面向量为两两不共线的单位向量，则“”是“与共线”的（ ）
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
（11）在平面直角坐标系中，角以为始边，它的终边经过点，则=_________.
（12）已知且，则等于_________.
（13）已知向量在正方形网格中的位置如图所示. 若网格纸上小正方形的边长为1，则=_______；=_______.
（14）在中，，．
① 若，则________；
②面积的最大值为_________．
（15）已知函数的部分图象如图所示，设
给出以下四个结论：
函数的最小正周期是；
函数在区间上单调递增；
函数的图象过点；
直线为函数的图象的一条对称轴.
其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16．（本小题13分）已知均为锐角，，．
(Ⅰ) 求的值；
(Ⅱ)求的值．
17. （本小题14分） 已知向量, 设函数.
(Ⅰ) 求的最小正周期.
(Ⅱ) 求在上的零点.
18.（本小题13分）在中，．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若，且的面积，求的值．
19．（本小题15分）已知函数，函数图象的相邻两个对称中心之间的距离为，求：
（Ⅰ）的值及的单调递增区间；
（Ⅱ）在区间上的最大值和最小值.
20.（本小题15分）在中，.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若的面积为，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求的值.
条件①：；
条件②：；
条件③：
注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
21.（本小题15分）设为正整数，若满足：
① ，；
② 对于，均有；
则称具有性质.
对于和，
定义集合.
（I）设，若具有性质，写出一个及相应的 ；
（II）设和具有性质，那么是否可能为，若可能，写出一组和，若不可能，说明理由；
（III）设和具有性质，对于给定的，求证：满足的有偶数个.
参考答案
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
（1） C（2） A（3） D（4） B（5） B
（6） D（7） A（8） D（9） B(10) C
二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）
（11） （12）或 （13），
（14）， （15）①②④.
三、解答题（共6小题，共85分）
（16）（本小题13分）
解：(Ⅰ)因为为锐角，，又因为，所以，
所以因此． ---------------4分
(Ⅱ)因为为锐角，，，
所以，同理，又因为，，
所以，所以．
所以. ---------------13分
（17）（本小题14分）
解:(Ⅰ) =

.
最小正周期.
所以最小正周期为. ---------------8分
(Ⅱ)，当时，，
令，
则或，
所以或.
所以函数在上的零点为和. ---------------14分
方法二：
令，则，
所以，
因为，所以或.
所以函数在上的零点为和. ---------------14分
（18）（本小题13分）
解：（Ⅰ）因为，
所以．
因为，
所以．
所以． ---------------7分
（Ⅱ）因为，
由正弦定理得，所以．
因为的面积为，
即，所以．
所以． ---------------13分
（19）（本小题15分）
解：（Ⅰ）

．
因为函数图象的相邻两个对称中心间的距离为，
所以，故．
因为，所以．
因为，
令，
即，
所以的单调递增区间为． ---------------9分
（Ⅱ）因为，所以，
所以，
当，即时，取最大值，最大值为；
当，即时，取最小值，最小值为. --------------15分
方法二：
由（Ⅰ）知的单调递增区间为，同理的单调递减区间为，又因为，所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，
所以的最大值为，
又有，所以的最小值为. ---------------15分
（20）（本小题15分）
解：（Ⅰ）由及正弦定理，得.
由倍角公式得.
在中，，， 得.
因为，所以. -------------7分
（Ⅱ）记的面积为.
选条件②：
由（Ⅰ）知，又由题知，
可得
得.
又由条件②，即，解得.
由余弦定理，得
，
所以 ------------15分
选条件③：
又由条件③，即以及，可得.
所以
由（Ⅰ）知，
又由题知，可得.
得.
由正弦定理得.
可设.
由，得. 得 -----------15分
（21）（本小题15分）
解：（I）根据题意，令，1，，则相应的； -----------4分
第一问的答案也可以是：若，2，，则相应的，；
若，0，，则相应的，；
若，2，，则相应的，；
若，0，，则相应的，；
若，1，，则相应的，；
（II）假设存在，，，，和，，，均具有性质，
且，1，2，3，4，，
则，因为与同奇同偶，
所以与同奇同偶，而，，
可见奇偶不同，这与上述结论相矛盾，
因此假设不成立． ------------10分
综上可得，不存在具有性质的，，满足，1，2，3，4，．
（III）证明：不妨设，，，，，，，构成一个数表
交换数表中两行，可得数表
调整数表中各列的顺序，使第一行数据变为，，，，
设第二行变为，，，，
令，，，，则具有性质，且，1，2，，，
若，，，与，，，相同，则，，，，
因为是的一个排列，所以，一定存在，
设，经过上述方式调整以后，则有，故，
如果，，，与，，，相同，则，
，①
，1，2，，，，3，4，，互不相同，②
显然，结论①，②前后矛盾，
所以，，，与，，，不同，
故对于具有性质的，，，，若，，，具有性质，
且，1，2，，，
则存在一个具有性质的，，，，使得，1，2，，，
且，，，与，，，不同．
并且由的构造过程可以知道，
当，，，，，，，确定时，，，，唯一确定．
并且由，，也仅能构造出． -------------15分
综上，命题得证．
（A）第一象限角
（B）第二象限角
（C）第三象限角
（D）第四象限角
（A）
（B）
（C）
（D）