2025-2026学年上学期深圳小学数学四年级期末典型卷2

这是一份2025-2026学年上学期深圳小学数学四年级期末典型卷2，共63页。试卷主要包含了菜市场外面有一个收费的停车场，下面说法正确的有句，下面每组中运算顺序一样的是，下面选项中能说明“种等内容，欢迎下载使用。
1．2□9341000≈3亿，□里可以填（ ）
A．4B．0～4C．9D．5～9
2．我国古代《易经》一书中记载，远古时期人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”。如图，一位母亲在从右到左依次排在的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是（ ）
A．60B．42C．24D．18
3．菜市场外面有一个收费的停车场。一些人总是不沿着停车场周围的路行走，而是破坏花坛，直接踩出了一条路。从数学的角度来分析，产生这样不文明行为的原因是（ ）
A．花坛植物比人矮，很容易踩出小路。
B．这条路是别人踩出来的，和自己没有关系。
C．可以减轻所购物品的质量。
D．踩出来的这条路比较近。
4．转动如图转盘后，指针停在（ ）区域的可能性最大。
A．黄色B．白色C．蓝色D．红色
5．6～12岁小学生平均每天至少摄入75克的豆类及豆制品，合（ ）千克。
A．0.75B．7.5C．0.075D．0.0075
6．下面说法正确的有（ ）句。
（1）零上3摄氏度与零下7摄氏度相差4摄氏度。
（2）在放大镜下观察30度的角，角度变大了。
（3）假分数的倒数一定是真分数。
（4）一个硬币连续掷3次都是正面朝上，那第4次正面朝上的可能性还是50%。
（5）如图，小明不小心把墨水倒在线段图上，原来的甲、乙相比，乙比甲长。
A．1B．2C．3D．4
7．下面每组中运算顺序一样的是（ ）
A．3×(4+5)3×4+5B．20-10÷5(20-10)÷5
C．6×3+1818+6×3
8．每套桌椅200元，3500元能买多少套？列竖式计算时，箭头所指部分表示（ ）
A．能买17套，还剩1元
B．能买17套，还剩100元
C．能买1700套，还剩1元
D．能买1700套，还剩100元
9．两数相除，商是25，余数是30，如果被除数和除数同时除以5，那么结果是（ ）
A．25……30B．25……6C．5……6
10．下面选项中能说明“（10+8）×4”与“10×4+8×4”相等的有（ ）种。
A．4B．3C．2D．1
11．下面是在探究角的度量时同学们的一些思考，正确的是（ ）
A．明明：长度、面积、角是3个不同的概念，它们的度量毫无关联。
B．涛涛：度量长度、面积、角的大小在本质上是相同的，都是看包含了几个相应的度量单位。
C．丽丽：我们在学习数学时，一定要专心致志。所以学习角的度量就不要想长度的度量、面积的度量，容易混淆。
D．测量长度和测量面积有关联，度量角和它们是没有关联的。
二．填空题（共9小题）
12．全国土地资源情况如下表，请按要求把数据填在横线内。
＜ ＜ ＜ 。
13．下列算式中的□代表一个不为零的数字，请用“可能”“不可能”“一定”填空。
75×□，积的末尾 有0；207×□，积的末尾 有0；□43÷25，商 是一位数；3□4÷26，商 是两位数。
14．小李同学从学校打出租车回家，起步价为10元（不超过3千米），之后每多1千米增加2元（不足1千米按1千米计算），小李一共付了18元，则小李学校到她家最多有 千米。
15．
16．甲、乙两人从相距480米的A、B两地同时出发，相向而行。甲速度是乙的1.5倍，相遇时甲比乙多走（ ）米。
17．已知1÷a＝0.0303……，2÷a＝0.0606……，3÷a＝0.0909……，4÷a＝0.1212……，按照这样的规律，5÷a＝ ，9÷a＝ 。
18．零下十一摄氏度可以记作 ℃，它比11℃ （填“低”或“高”）。
19．李老师为全校学生都编了一个号码，如20180332表示2018年入学的3班学号是32的同学，根据编号的规则，2020年入学的6班学号是9的同学编号是 。
20．中药在我国悠久的历史中发挥了巨大作用。下面是两份经典的中药处方，这两份处方一共需要生姜 两。（注：药方按照古时1斤＝16两）
三．解答题（共3小题）
21．在括号里填上合适的计数单位。
22．数学医院。
23．白云小学庆祝六一节买了22套演出服，每套服装为168元，一共需要多少元？
（1）解决这个问题应用的数量关系式是 × ＝
（2）用竖式计算时两次使用2乘168，竖式中2个336有什么不同？把你的想法写在下面。
四．解答题（共5小题）
24．台球中的数学知识。
李叔叔最喜欢看我国著名台球运动员丁俊晖参加的比赛。他发现台球选手打球时，当球撞向桌边的时候就会向另一个方向弹走。如图。
（1）请量出∠1、∠2的度数。
（2）猜一猜：如果∠1的度数变为15°，∠2会是多少度？
（3）通过上面的度量，你发现台球运动的路线有何特点？
25．找一找，如图中共有几组平行线？几组互相垂直的线？
平行线有 组，垂线有 组。
26．按下列要求操作。
（1）把图中的平行四边形向上平移5格得到平行四边形A’B’C’D’。
（2）用数对表示两个平行四边形各顶点的位置。平移前图形：A（ ， ）B（ ， ）C（ ， ）D（ ， ）
平移后图形：A′（ ， ）B′（ ， ）C′（ ， ）D’（ ， ）
（3）通过对比，我发现：
27．据南京智慧旅游大数据运行监测平台显示，2025年端午假期全市接待游客568万人次，乡村旅游点游客量达429300人次，其中，外地游客文旅消费总额17.6亿元，同比增长5.6%。
（1）乡村旅游点游客量改写成用“万”作单位是 万人次；外地游客文旅消费总额精确到“亿”位约是 亿元。
（2）568万是一个近似数，请在数轴上用“•”表示出来。
28．有302套图书，每箱装6套，估一估：一共有48个纸箱，装得下吗？
五．应用题（共5小题）
29．随着“一盔一带”安全守护行动的开展，人们纷纷在各电商平台上购买头盔。王叔叔的专卖店一天卖出134个头盔，其中成人头盔104个，其余是儿童头盔。这天王叔叔可以赚多少元？
30．中国铁路的快速发展，我国建成了世界上最发达的高铁网和最现代的铁路网，高铁已成为中国一张“闪亮”的名片。普通列车的最高时速是120千米/时，高铁最高时速是350千米/时。哪吒和敖丙准备一起从北京到洛阳旅游，由于敖丙临时有事，哪吒先乘坐普通列车出发，而后敖丙乘坐高铁出发，3小时后两车在郑州相遇，那么敖丙出发时哪吒已经行了多少千米？（要求：列综合算式解答）
31．三十岗乡王叔叔的农庄今年种植了2片桃树林，每片桃树林有38棵桃树，每棵桃树收获25千克桃。王叔叔今年可以收获多少千克桃？大约多少吨？
32．一套《数学故事》共4册，各册的单价如表：
买31套《数学故事》，准备3500元钱，够吗？请写出估算过程。
33．下面是小小书店两个月的销售情况统计表：
（1）一月份卖出的 类图书最多，卖出的 类图书最少。
（2）从这两个月的销售情况看， 类的书最畅销。
（3）观察统计结果，你有什么建议？
六．选择题（共2小题）
34．已知三位数3□2正好是三个连续自然数的和，□里的数字可能是（ ）
A．3B．4C．5D．6
35．如图，张叔叔准备给卧室的地面铺设同样大小的正方形地砖，选用边长是（ ）的地砖正好铺满且块数最少。
A．40厘米B．60厘米C．80厘米
七．应用题（共1小题）
36．学习了加法交换律，四（1）班的同学有了不一样的发现。
352+416和356+412，虽然交换了个位上的数，但两道算式的和都是768，所以352十416＝356+412。
也可以交换十位上的数：352十416＝768，312+456＝768，所收352+416＝312+456。
（1）交换百位上的数：312+456＝412+ 。
（2）我发现：两个数相加，交换 上的数， 不变。
（3）请你运用上面的规律填一填。
875+123+485
＝875+12□+48□
＝1000+48□
＝ 。
（4）小数加法也有这样的规律吗？请举例验证。
2025-2026学年上学期深圳小学数学四年级期末模拟卷2
参考答案与试题解析
一．选择题（共13小题）
一．选择题（共11小题）
1．2□9341000≈3亿，□里可以填（ ）
A．4B．0～4C．9D．5～9
【考点】亿以上数的改写与近似．
【专题】综合题；数据分析观念．
【答案】D
【分析】2□9341000≈3亿，是五入法求得的近似数，所以□≥5，□里可以填5～9。
【解答】解：根据分析可知，2□9341000≈3亿，□里可以填5～9。
故选：D。
【点评】熟练掌握整数近似数求法是解答本题的关键。
2．我国古代《易经》一书中记载，远古时期人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”。如图，一位母亲在从右到左依次排在的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是（ ）
A．60B．42C．24D．18
【考点】古代表示数的方法．
【专题】推理能力．
【答案】D
【分析】第1列是2个结，表示2个7；第2列是4个结，表示4，相加即可。
【解答】解：4+7×2
＝4+14
＝18（天）
答：孩子出生后的天数是18天。
故选：D。
【点评】此题的关键是先像十进制的数位一样找出每列代表的数是多少，然后再进一步解答。
3．菜市场外面有一个收费的停车场。一些人总是不沿着停车场周围的路行走，而是破坏花坛，直接踩出了一条路。从数学的角度来分析，产生这样不文明行为的原因是（ ）
A．花坛植物比人矮，很容易踩出小路。
B．这条路是别人踩出来的，和自己没有关系。
C．可以减轻所购物品的质量。
D．踩出来的这条路比较近。
【考点】两点间线段最短与两点间的距离．
【专题】几何直观．
【答案】D
【分析】根据两点之间，线段最短，在两点之间连接出若干条折线、曲线和线段，其中线段的长度最小，结合题意分析解答即可。
【解答】解：从数学的角度来分析，产生这样不文明行为的原因是踩出来的这条路比较近。
故选：D。
【点评】本题考查了两点之间，线段最短知识，结合题意分析解答即可。
4．转动如图转盘后，指针停在（ ）区域的可能性最大。
A．黄色B．白色C．蓝色D．红色
【考点】可能性的大小．
【专题】综合判断题；应用意识．
【答案】B
【分析】哪种颜色区域占圆盘面积越大，指针停在该种颜色的可能性越大。据此选择。
【解答】解：图示白色区域占圆盘面积最大，即指针停在白色区域的可能性最大。
故选：B。
【点评】本题考查了可能性大小的应用。
5．6～12岁小学生平均每天至少摄入75克的豆类及豆制品，合（ ）千克。
A．0.75B．7.5C．0.075D．0.0075
【考点】质量的单位换算．
【专题】综合判断题；应用意识．
【答案】C
【分析】根据1千克＝1000克进行选择。
【解答】解：75克＝0.075千克
故选：C。
【点评】本题考查的主要内容是质量单位换算问题。
6．下面说法正确的有（ ）句。
（1）零上3摄氏度与零下7摄氏度相差4摄氏度。
（2）在放大镜下观察30度的角，角度变大了。
（3）假分数的倒数一定是真分数。
（4）一个硬币连续掷3次都是正面朝上，那第4次正面朝上的可能性还是50%。
（5）如图，小明不小心把墨水倒在线段图上，原来的甲、乙相比，乙比甲长。
A．1B．2C．3D．4
【考点】负数的意义及其应用；角的概念和表示；可能性的大小；倒数的认识．
【专题】几何直观；数据分析观念；运算能力．
【答案】B
【分析】根据正负数知识、角的大小与开口有关与边的长短无关、假分数及倒数的认识、可能性知识、分数的意义等知识，结合选项逐一分析解答即可。
【解答】解：（1）零上3摄氏度与零下7摄氏度相差10摄氏度。所以原题说法错误。
（2）在放大镜下观察30度的角，角度大小不变。所以原题说法错误。
（3）假分数的倒数可能是真分数，也可能是1。所以原题说法错误。
（4）根据可能性知识可知，一个硬币连续掷3次都是正面朝上，那第4次正面朝上的可能性还是50%。所以原题说法正确。
（5）如图，小明不小心把墨水倒在线段图上，甲的12与乙的13一样长，所以原来的甲、乙相比，乙比甲长。所以原题说法正确。
所以说法正确的有2句。
故选：B。
【点评】本题考查了正负数知识、角的大小与开口有关与边的长短无关、假分数及倒数的认识、可能性知识、分数的意义等知识，结合题意分析解答即可。
7．下面每组中运算顺序一样的是（ ）
A．3×(4+5)3×4+5B．20-10÷5(20-10)÷5
C．6×3+1818+6×3
【考点】带括号的四则混合运算；无括号四则混合运算．
【专题】运算能力．
【答案】C
【分析】比较每组两个算式的运算顺序是否相同。根据运算规则：先乘除后加减，有括号先算括号内的，据此逐项分析并解答。
【解答】解：A．3×（4+5）：先算括号内加法，再算乘法。
3×4+5：先算乘法，再算加法。运算顺序不同。
B．20﹣10÷5：先算除法，再算减法。
（20﹣10）÷5：先算括号内减法，再算除法。
运算顺序不同。
C．6×3+18：先算乘法，再算加法。
18+6×3：先算乘法，再算加法。
运算顺序相同，符合题意。
故选：C。
【点评】本题考查了简单的四则混合运算，计算时先理清楚运算顺序，根据运算顺序逐步求解即可。
8．每套桌椅200元，3500元能买多少套？列竖式计算时，箭头所指部分表示（ ）
A．能买17套，还剩1元
B．能买17套，还剩100元
C．能买1700套，还剩1元
D．能买1700套，还剩100元
【考点】两位数乘三位数．
【专题】应用意识．
【答案】B
【分析】从竖式中可得，3500÷200＝17……100，表示3500元能买17套桌椅，还剩100元，据此解答。
【解答】解：由分析可得，箭头所指部分表示能买17套，还剩100元。
故选：B。
【点评】本题考查整数除法的竖式计算以及应用。重点理解商的每一位数字和余数的含义。
9．两数相除，商是25，余数是30，如果被除数和除数同时除以5，那么结果是（ ）
A．25……30B．25……6C．5……6
【考点】商不变的规律（被除数和除数同时乘或除以相同不为零的数）．
【专题】运算顺序及法则；运算能力．
【答案】B
【分析】根据在有余数的除法里，“被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变，但余数也随之乘或除以相同的数”，据此解答即可。
【解答】解：两数相除，商是25，余数是30，如果被除数和除数同时除以5，那么商不变是25，余数是：30÷5＝6。
故选：B。
【点评】解答此题应明确：被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变，但余数也随之乘或除以相同的数。
10．下面选项中能说明“（10+8）×4”与“10×4+8×4”相等的有（ ）种。
A．4B．3C．2D．1
【考点】整数乘法分配律．
【专题】运算能力；应用意识．
【答案】B
【分析】图一：长方形的面积公式是：长×宽，图一有2个长方形，宽相等，可以利用合并成一个大长方形，大长方形的长是（10+8）cm，宽是4cm，因此利用“（10+8）×4”可以求出两个长方形面积；还可以分别利用10×4，8×4求出每个小长方形面积，再相加，与题意相符；
图二：黑圆圈和白圆圈都有4行，黑圆圈每行有10个，白圆圈每行有8个，求一共多少个，可以利用“（10+8）×4”与“10×4+8×4”进行计算；
图三：三个小长方形可以合并成一个大长方形，长方形的长等于三条线段的总长，利用加法计算，与题意不符；
图四：求一共长多少千米，可以分别求出每段的长度，再相加；也可以先求出每小时行多少千米，再乘时间。可以利用“（10+8）×4”与“10×4+8×4”进行计算。
【解答】解：根据分析可知，图一、二、四能说明“（10+8）×4”与“10×4+8×4”相等。图三不能说明。所以能说明“（10+8）×4”与“10×4+8×4”相等的有3种。
故选：B。
【点评】本题考查了乘法分配律分应用及图示方法。
11．下面是在探究角的度量时同学们的一些思考，正确的是（ ）
A．明明：长度、面积、角是3个不同的概念，它们的度量毫无关联。
B．涛涛：度量长度、面积、角的大小在本质上是相同的，都是看包含了几个相应的度量单位。
C．丽丽：我们在学习数学时，一定要专心致志。所以学习角的度量就不要想长度的度量、面积的度量，容易混淆。
D．测量长度和测量面积有关联，度量角和它们是没有关联的。
【考点】角的度量；长度的测量方法．
【专题】几何直观．
【答案】B
【分析】长度、面积、角是3个不同的概念；度量长度、面积、角的大小在本质上是相同的，都是看包含了几个相应的度量单位；测量长度、测量面积和度量角都是有联系的；学习角的度量要想长度的度量、面积的度量，才不容易混淆。据此解答。
【解答】解：A．长度、面积、角是不同的概念，它们的度量是有联系的，所以原说法错误；
B．度量长度、面积、角的大小在本质上是相同的，都是看包含了几个相应的度量单位，所以原说法正确；
C．学习角的度量要想长度的度量、面积的度量，才不容易混淆，所以原说法错误；
D．测量长度、测量面积和度量角都是有联系的，所以原说法错误。
故选：B。
【点评】本题主要考查角的度量几长度的测量方法的应用。
二．填空题（共9小题）
12．全国土地资源情况如下表，请按要求把数据填在横线内。
256500 ＜ 1259300 ＜ 2307200 ＜ 2635200 。
【考点】亿以内数比较大小．
【专题】整数的认识；数感．
【答案】256500、1259300、2307200、2635200。
【分析】整数比较大小的方法：比较两个整数的大小，首先要看他们的数位，如果数位不同，那么数位多的数就大，如果数位相同，从最高位开始，相同数位上的数大的那个数就大，据此把所给的各数按从小到大的顺序排列起来即可。
【解答】解：根据整数比较大小的方法，可得：
256500＜1259300＜2307200＜2635200。
故答案为：256500、1259300、2307200、2635200。
【点评】此题主要考查了整数比较大小的方法的应用，要熟练掌握。
13．下列算式中的□代表一个不为零的数字，请用“可能”“不可能”“一定”填空。
75×□，积的末尾 可能 有0；207×□，积的末尾 不可能 有0；□43÷25，商 可能 是一位数；3□4÷26，商 一定 是两位数。
【考点】事件的确定性与不确定性；一位数乘两位数；两位数除两、三位数．
【专题】数据分析观念；运算能力．
【答案】可能，不可能，可能，一定。
【分析】根据可能性知识，□代表一个不为零的数字，75×□，如果□中是2，积的末尾是0，如果不是2，积的末尾就不是0，所以积的末尾可能有0；
□代表一个不为零的数字，207×□，□中无论是几，积的末尾不可能有0；
□代表一个不为零的数字，□43÷25，□中最小是1，所以商可能是一位数；
□代表一个不为零的数字，3□4÷26，□中最小是1，□中最大是9，所以商一定是两位数。
【解答】解：75×□，积的末尾可能有0；207×□，积的末尾不可能有0；□43÷25，商可能是一位数；3□4÷26，商一定是两位数。
故答案为：可能，不可能，可能，一定。
【点评】本题考查了可能性大小知识以及整数乘除法计算知识，结合题意分析解答即可。
14．小李同学从学校打出租车回家，起步价为10元（不超过3千米），之后每多1千米增加2元（不足1千米按1千米计算），小李一共付了18元，则小李学校到她家最多有 7 千米。
【考点】带括号的四则混合运算．
【专题】运算能力；应用意识．
【答案】7。
【分析】根据题意，先用减法求出比3千米多的路程收取的费用，再除以单价即可求出多的路程，最后再加上3千米即可得到结论。
【解答】解：（18﹣10）÷2+3
＝8÷2+3
＝4+3
＝7（千米）
答：小李学校到她家最多有7千米。
故答案为：7。
【点评】本题属于整数复合应用题，解题的关键是明确收费的方法。
15．
【考点】简单的行程问题．
【专题】行程问题；应用意识．
【答案】15，60，45。
【分析】根据“速度＝路程÷时间”，即可解答。
【解答】解：30÷2＝15（千米/时）
30÷12=60（千米/时）
30÷23=45（千米/时）
答：自行车的速度是15千米/时，汽车的速度是60千米/时，摩托车的速度是45千米/时。
故答案为：15，60，45。
【点评】本题考查的是行程问题，掌握“速度＝路程÷时间”是解答关键。
16．甲、乙两人从相距480米的A、B两地同时出发，相向而行。甲速度是乙的1.5倍，相遇时甲比乙多走（ 96 ）米。
【考点】简单的行程问题．
【专题】行程问题；应用意识．
【答案】96。
【分析】相向而行时两人时间相同，路程比等于速度比。已知甲速度是乙的1.5倍，即甲的速度与乙的速度比是1.5：1＝3：2，因此甲、乙路程比也为3：2。把甲路程看作3份，乙路程看作2份，总路程共3+2＝5份，甲比乙多3﹣2＝1份，总路程为480米，那么每份是480÷5＝96米，所以相遇时甲比乙多走了96米。
【解答】解：路程比等于速度比，甲的速度与乙的速度比是1.5：1。
1.5：1
＝（1.5×2）：（1×2）
＝3：2
3+2＝5（份）
3﹣2＝1（份）
480÷5×1
＝96×1
＝96（米）
答：相遇时甲比乙多走了96米。
故答案为：96。
【点评】本题考查的是行程问题，掌握相向而行时两人时间相同，路程比等于速度比是解答关键。
17．已知1÷a＝0.0303……，2÷a＝0.0606……，3÷a＝0.0909……，4÷a＝0.1212……，按照这样的规律，5÷a＝ 0.1515…… ，9÷a＝ 0.2727…… 。
【考点】“式”的规律．
【专题】推理能力；模型思想．
【答案】0.1515……；0.2727……。
【分析】已知1÷a＝0.0303……，2÷a＝0.0606……，3÷a＝0.0909……，4÷a＝0.1212……，按照这样的规律，n÷a的结果是0.0303……的n倍，据此解答。
【解答】解：根据所给算式可知：
5÷a＝0.1515……
9÷a＝0.2727……
故答案为：0.1515……；0.2727……。
【点评】解答此题的关键是观察所给出的算式，找出算式之间数与数的关系，得出规律，再根据规律解决问题。
18．零下十一摄氏度可以记作 ﹣11 ℃，它比11℃ 低 （填“低”或“高”）。
【考点】负数的意义及其应用．
【专题】数的认识；数据分析观念．
【答案】﹣11，低。
【分析】对于零下温度的表示：首先，明确用正负数来表示具有相反意义的两种量，零上温度记为正，那么零下温度就记为负。所以零下十一摄氏度可以记作﹣11℃。
比较温度高低：首先，回忆负数的大小比较方法，负数小于正数。因为﹣11是负数，11是正数，所以﹣11℃比11℃低。
【解答】解：零下十一摄氏度可以记作﹣11℃，它比11℃低。
故答案为：
【点评】本题考查了正负数的意义。
19．李老师为全校学生都编了一个号码，如20180332表示2018年入学的3班学号是32的同学，根据编号的规则，2020年入学的6班学号是9的同学编号是 20200609。 。
【考点】数字编码．
【专题】应用题；应用意识．
【答案】20200609。
【分析】编码规则：前四位代表入学年份，第五和第六位代表班级，最后两位代表学生的学号。据此解答。
【解答】解：该同学的编码：前四位是入学年份：2020；第五和第六位是班级：06；最后两位是学号：09；该同学的编号为：20200609。
故答案为：20200609。
【点评】本题考查的是学生对编码规则的理解和应用能力。
20．中药在我国悠久的历史中发挥了巨大作用。下面是两份经典的中药处方，这两份处方一共需要生姜 12 两。（注：药方按照古时1斤＝16两）
【考点】表内乘除混合．
【专题】应用题；应用意识．
【答案】12。
【分析】根据题意，一斤＝16两，一斤里有2个半斤，第一份处方用半斤生姜，第二份处方用生姜四两，半斤是16除以2等于8两，再加四两即可。
【解答】解：16÷2＝8（两）
8+4＝12（两）
答：这两份处方一共需要生姜12两。
故答案为：12。
【点评】本题考查的是除法和加法意义的运用，知道一斤是2个半斤是解答本题的关键。
三．解答题（共3小题）
21．在括号里填上合适的计数单位。
【考点】两位数乘三位数；两位数除两、三位数．
【专题】运算能力．
【答案】
【分析】根据上图可知，170是34乘5的积，表示170个十；余数2在十位上，表示2个十。
【解答】解：
【点评】熟练掌握整数乘法的计算方法是解答本题的关键。
22．数学医院。
【考点】两位数除两、三位数．
【专题】计算题；运算能力．
【答案】20……7，12，16……16。
【分析】三位数除以两位数，从被除数的高位除起，先用除数试除被除数的前两位数，如果比除数小，再试除前三位数，除到被除数的哪一位，就在那一位上面写商，求出每一位商，余下的数必须比除数小。
【解答】解：
【点评】此题考查了两位数除三位数的竖式计算，要求学生掌握。
23．白云小学庆祝六一节买了22套演出服，每套服装为168元，一共需要多少元？
（1）解决这个问题应用的数量关系式是 单价 × 数量 ＝ 总价
（2）用竖式计算时两次使用2乘168，竖式中2个336有什么不同？把你的想法写在下面。
【考点】两位数乘三位数．
【专题】应用意识．
【答案】（1）单价、数量、总价；
（2）竖式中上面的336表示336个一，也就是336元；下面的336表示336个十，也就是3360元。
【分析】（1）根据单价、数量、总价三者之间的关系，单价×数量＝总价。
（2）根据两位数乘三位数的计算法则可知，用第二个因数个位上的2乘168结果表示2套的总价，即336个一，也就是336元；用第二个因数十位上2×168结果表示20套的总价，即336个十，也就是3360元。然后把两次的乘积相加。
【解答】解：（1）解决这个问题应用的数量关系式是：单价×数量＝总价。
（2）竖式中上面的336表示336个一，也就是336元；下面的336表示336个十，也就是3360元。
故答案为：单价、数量、总价。
【点评】此题考查的目的是理解掌握单价、数量、总价三者之间的关系及应用，两位数乘三位数的乘法法则及应用。
四．解答题（共5小题）
24．台球中的数学知识。
李叔叔最喜欢看我国著名台球运动员丁俊晖参加的比赛。他发现台球选手打球时，当球撞向桌边的时候就会向另一个方向弹走。如图。
（1）请量出∠1、∠2的度数。
（2）猜一猜：如果∠1的度数变为15°，∠2会是多少度？
（3）通过上面的度量，你发现台球运动的路线有何特点？
【考点】角的度量．
【专题】几何直观．
【答案】（1）
（2）15度。
（3）台球撞向桌边时，与桌边所形成的锐角与弹走后与桌边所形成的锐角相等。（合理即可，答案不唯一）
【分析】（1）用量角器即可分别量出各角的度数（用量角器度量角的方法是：把量角器的中心与角的顶点重合，0刻度线与角的一边重合，角的另一边所经过的量角器上所显示的刻度就是被量角的度数）。
（2）由（1）可以发现：台球撞向桌边时，与桌边所形成的锐角与弹走后与桌边所形成的锐角相等。
（3）根据（2）发现解答即可。
【解答】解：（1）测量如下：
（2）如果∠1的度数变为15°，∠2会是15度。
（3）通过上面的度量，发现台球撞向桌边时，与桌边所形成的锐角与弹走后与桌边所形成的锐角相等。（合理即可，答案不唯一）
【点评】用量角器度量角的度数，关键是量角器的正确、熟练使用，然后结合题意分析解答即可。
25．找一找，如图中共有几组平行线？几组互相垂直的线？
平行线有 3 组，垂线有 4 组。
【考点】垂直与平行的特征及性质．
【专题】几何直观．
【答案】3；4。
【分析】根据平行线和垂线的定义：在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线；当两条直线相交成90度时，这两条直线就互相垂直，它们的交点叫做垂足；据此解答即可。
【解答】解：根据图示，平行线有3组，垂线有4组。
故答案为：3；4。
【点评】明确平行和垂直的性质，是解答此题的关键，注意不要多数，也不能漏数。
26．按下列要求操作。
（1）把图中的平行四边形向上平移5格得到平行四边形A’B’C’D’。
（2）用数对表示两个平行四边形各顶点的位置。平移前图形：A（ 2 ， 1 ）B（ 7 ， 1 ）C（ 8 ， 4 ）D（ 3 ， 4 ）
平移后图形：A′（ 2 ， 6 ）B′（ 7 ， 6 ）C′（ 8 ， 9 ）D’（ 3 ， 9 ）
（3）通过对比，我发现： 各个点对应的位置，列的位置不变，只是行的位置发生了变化。（答案不唯一）
【考点】数对与位置．
【专题】应用题；应用意识．
【答案】（1）；
（2）（2，1），（7，1），（8，4），（3，4）；（2，6），（7，6），（8，9），（3，9）；
（3）各个点对应的位置，列的位置不变，只是行的位置发生了变化。（答案不唯一）
【分析】（1）根据平移的特征，将这个平行四边形的四个顶点分别向上平移5格，确定出各顶点的对应点的位置，再按照原图的形状连接即可；
（2）用数对表示位置时，第一个数表示列，第二个数表示行，据此解答；
（3）写出发现的规律即可。
【解答】解：（1）作图如下：
（2）用数对表示两个平行四边形各顶点的位置。平移前图形：A（2，1），B（7，1），C（8，4），D（3，4）；
平移后图形：A′（2，6），B′（7，6），C′（8，9），D′（3，9）；
（3）通过对比，我发现：各个点对应的位置，列的位置不变，只是行的位置发生了变化。（答案不唯一）
故答案为：（2，1），（7，1），（8，4），（3，4）；（2，6），（7，6），（8，9），（3，9）；各个点对应的位置，列的位置不变，只是行的位置发生了变化。（答案不唯一）
【点评】本题考查了平移作图以及用数对表示位置，作图关键是确定各个关键点的对应点的位置，还要明确数对表示位置的方法，列数在前，行数在后。
27．据南京智慧旅游大数据运行监测平台显示，2025年端午假期全市接待游客568万人次，乡村旅游点游客量达429300人次，其中，外地游客文旅消费总额17.6亿元，同比增长5.6%。
（1）乡村旅游点游客量改写成用“万”作单位是 42.93 万人次；外地游客文旅消费总额精确到“亿”位约是 18 亿元。
（2）568万是一个近似数，请在数轴上用“•”表示出来。
【考点】亿以内数的改写与近似；亿以上数的改写与近似．
【专题】综合题；数据分析观念．
【答案】（1）42.93，18；（2）。
【分析】（1）将一个数改写成用“万”作单位的数，要先找到万位，再在万位的右下角点上一个小数点，再将这个小数进行化简，然后添上“万”字即可；省略“亿”后面的尾数就是四舍五入到亿位，再在数的后面写上“亿”字。
（2）根据题意，结合数轴的认识解答即可。
【解答】解：（1）乡村旅游点游客量改写成用“万”作单位是42.93万人次；外地游客文旅消费总额精确到“亿”位约是18亿元。
（2）568万是一个近似数，请在数轴上用“•”表示出来。
故答案为：42.93，18。
【点评】此题考查了亿以内数的改写与求近似数等知识，要求学生掌握。
28．有302套图书，每箱装6套，估一估：一共有48个纸箱，装得下吗？
【考点】数的估算．
【专题】整数的认识；数据分析观念．
【答案】装不下。
【分析】利用图书的总数除以每箱装的套数即可。计算时利用估算的方法解答。
【解答】解：302÷6≈300÷6＝50（个）
因为50＞48，所以48个纸箱装不下。
答：装不下。
【点评】本题考查了整数除法的估算方法。
五．应用题（共5小题）
29．随着“一盔一带”安全守护行动的开展，人们纷纷在各电商平台上购买头盔。王叔叔的专卖店一天卖出134个头盔，其中成人头盔104个，其余是儿童头盔。这天王叔叔可以赚多少元？
【考点】带括号的四则混合运算．
【专题】运算能力；应用意识．
【答案】1280元。
【分析】先用卖出的头盔总数减去成人头盔，求出卖出的儿童头盔；根据总价＝单价×数量可知，用每一个头盔赚的钱乘头盔的数量，即可求出卖出头盔一共赚的钱，所以代入数据分别求出卖成人头盔和卖儿童头盔赚的钱；最后相加即可。
【解答】解：根据分析可得：
134﹣104＝30（个）
104×10+30×8
＝1040+240
＝1280（元）
答：这天王叔叔可以赚1280元。
【点评】本题主要考查了整数乘法的意义，明确总价、单价和数量之间的关系是关键。
30．中国铁路的快速发展，我国建成了世界上最发达的高铁网和最现代的铁路网，高铁已成为中国一张“闪亮”的名片。普通列车的最高时速是120千米/时，高铁最高时速是350千米/时。哪吒和敖丙准备一起从北京到洛阳旅游，由于敖丙临时有事，哪吒先乘坐普通列车出发，而后敖丙乘坐高铁出发，3小时后两车在郑州相遇，那么敖丙出发时哪吒已经行了多少千米？（要求：列综合算式解答）
【考点】简单的行程问题．
【专题】行程问题；应用意识．
【答案】690千米。
【分析】已知普通列车的最高时速是120千米/时，高铁最高时速是350千米/时，根据“路程＝速度×时间”，用高铁的速度减去普通列车速度，再乘相遇时间3小时，即可求出高铁3小时比普通列车多走的路程，也就是敖丙出发时哪吒已经行了多少千米。
【解答】解：路程＝速度×时间
（350﹣120）×3
＝230×3
＝690（千米）
答：敖丙出发时哪吒已经行了690千米。
【点评】本题考查的是行程问题，掌握“路程＝速度×时间”是解答关键。
31．三十岗乡王叔叔的农庄今年种植了2片桃树林，每片桃树林有38棵桃树，每棵桃树收获25千克桃。王叔叔今年可以收获多少千克桃？大约多少吨？
【考点】连乘；质量的单位换算．
【专题】应用意识．
【答案】1900千克；2吨。
【分析】用每棵桃树收获桃子的质量乘38棵，即可计算出每片桃树收货的质量，再乘2，即可计算出王叔叔今年可以收获多少千克桃，再换算单位即可。
【解答】解：25×38×2
＝950×2
＝1900（千克）
1900千克≈2吨
答：王叔叔今年可以收获1900千克桃，大约2吨。
【点评】本题解题关键是根据乘法的意义，列式计算，熟练掌握两位数乘两位数的计算方法。
32．一套《数学故事》共4册，各册的单价如表：
买31套《数学故事》，准备3500元钱，够吗？请写出估算过程。
【考点】带括号的表外乘加、乘减．
【专题】运算能力；应用意识．
【答案】不够。
【分析】首先算出一套《数学故事》多少钱，将每一册的单价相加即可，用一套《数学故事》的价格乘31，即可求出买31套《数学故事》一共多少钱，最后与3500元比较大小，即可确定买31套《数学故事》，准备3500元钱，够还是不够，据此解答即可。
【解答】解：31+32+30+33＝126（元）
126×31＝3906（元）
3500＜3906
答：不够用。
【点评】本题考查了数的估算以及整数大小的比较。
33．下面是小小书店两个月的销售情况统计表：
（1）一月份卖出的 自然科学 类图书最多，卖出的 世界名著 类图书最少。
（2）从这两个月的销售情况看， 自然科学 类的书最畅销。
（3）观察统计结果，你有什么建议？
【考点】从统计图表中获取信息．
【专题】数据分析观念．
【答案】（1）自然科学，世界名著；（2）自然科学；（3）可以对世界名著进行减价促销。（答案不唯一）
【分析】（1）比较一月份各类图书销售的本数，即可解答；
（2）分别将四种图书一月和二月销售的本数相加求和，再比较即可解答；
（3）观察表中数据，写出建议，注意答案不唯一，合理即可。
【解答】解：（1）47＞39＞28＞12
答：一月份卖出的自然科学类图书最多，卖出的世界名著类图书最少。
（2）39+41＝80（本）
12+13＝25（本）
28+25＝53（本）
47+52＝99（本）
99＞80＞53＞25
答：自然科学类的书最畅销。
（3）可以对世界名著进行减价促销。（答案不唯一）
故答案为：自然科学，世界名著；自然科学。
【点评】此题考查的目的是理解掌握统计表的特点及作用，并且能够根据统计表提供的信息，解决有关的实际问题。
六．选择题（共2小题）
34．已知三位数3□2正好是三个连续自然数的和，□里的数字可能是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【考点】数字问题．
【专题】综合判断题；运算能力．
【答案】B
【分析】三个连续自然数是3的倍数，3的倍数的数数字和是3的倍数，因为3+2＝5，故□可以为1、4、7，据此选择。
【解答】解：三个连续自然数是3的倍数，3的倍数的数数字和是3的倍数，因为3+2＝5，故□可以为1、4、7。
即只有B选项4符合题意，三位数可以是342。三个连续的自然数是113、114、115。
故选：B。
【点评】本题考查了能被3整除的数的应用。
35．如图，张叔叔准备给卧室的地面铺设同样大小的正方形地砖，选用边长是（ ）的地砖正好铺满且块数最少。
A．40厘米B．60厘米C．80厘米
【考点】公因数和公倍数应用题．
【专题】约数倍数应用题；应用意识．
【答案】C
【分析】给长方形卧室的地面铺设同样大小的正方形地砖，地砖正好铺满，说明小正方形的边长是长、宽的公因数；要使块数最少，那么正方形地砖的边长要最大，也就是求长、宽的最大公因数；
把320、240分解质因数后，将公有的相同质因数乘起来就是最大公因数，即可求出地砖的最大边长。
【解答】解：320＝2×2×2×2×2×2×5
240＝2×2×2×2×3×5
320和240的最大公因数是：
2×2×2×2×5
＝16×5
＝80
答：选用边长是80厘米的地砖正好铺满且块数最少。
故选：C。
【点评】本题考查的是求最大公因数应用题，掌握求最大公因数的方法是解答关键。
七．应用题（共1小题）
36．学习了加法交换律，四（1）班的同学有了不一样的发现。
352+416和356+412，虽然交换了个位上的数，但两道算式的和都是768，所以352十416＝356+412。
也可以交换十位上的数：352十416＝768，312+456＝768，所收352+416＝312+456。
（1）交换百位上的数：312+456＝412+ 356 。
（2）我发现：两个数相加，交换 相同数位 上的数， 和 不变。
（3）请你运用上面的规律填一填。
875+123+485
＝875+12□+48□
＝1000+48□
＝ 1483 。
（4）小数加法也有这样的规律吗？请举例验证。
【考点】运算定律与简便运算．
【专题】运算定律及简算；运算能力．
【答案】（1）356；
（2）相同数位，和；
（3）5，3，1483；
（4）小数加法也有这样的规律，如：12.5+23.4＝22.5+13.4＝13.5+22.4＝12.4+23.5。
【分析】（1）根据上面的例子，两个加数相互交换个位、十位上数字后和不变，那么交换了百位上的数字后和也不变，即3和4交换位置，由此填空；
（2）通过给出的例子发现，两个数相加，两个加数百位、十位的数字或者个位上的数字交换位置，和不变，也就是交换相同数位上的数，和不变；
（3）运用上面的规律，先交换123和485个位上的数字，再进行计算；
（4）根据上面的规律，举一道小数加法的例子进行验证。
【解答】解：（1）交换百位上的数：312+456＝412+356。
（2）我发现：两个数相加，交换相同数位上的数，和不变。
（3）请你运用上面的规律填一填。
875+123+485
＝875+125+483
＝1000+483
＝1483。
（4）小数加法也有这样的规律，如：
12.5+23.4＝22.5+13.4＝13.5+22.4＝12.4+23.5
故答案为：356；相同数位，和；5，3，1483。
【点评】本题考查了加法交换律的拓展，由交换两个加数的位置和不变，拓展到两个数相加，交换相同数位上的数，和不变。
考点卡片
1．亿以内数比较大小
【知识点归纳】
亿以内数的大小比较的方法：
1、比较两个数的大小，先看两个数各是几位数。
2、位数不同时，位数多的数就大。
3、位数相同时，从最高位开始比起，最高位上的数大的那个数就大；如果最高位上的数相同，就比较下一个数位上的数。
【方法总结】
位数相同的两个数，从最高位比起，最高位上的数大的那个数就大，如果最高位上的数相同，就比较下一个数位上的数。
【常考题型】
比较下面每组中两个数的大小。
92504〇103600 50140〇63140 28906〇28890
答案：＜；＜；＞
按照从小到大的顺序排列下面各数。
50500 500500 55000 40005
答案：40005＜50500＜55000＜500500
2．亿以内数的改写与近似
【知识点归纳】
一、数的改写
1、亿以内数的改写方法：把整万的数改写成用“万”作单位的数时，先分级，再去掉个级的4个“0”，然后在后面加上一个“万”字。
2、亿以上数的改写方法：
找到亿位，去掉亿位后面的8个0，换成“亿”字，用“＝”连接。
二、求近似数
1、求亿以内数的近似数的方法：
省略万位后面的尾数，要看千位上的数，如果千位上的数小于5，就舍去尾数；如果千位上的数等于或大于5，就向前一位进1，再舍去尾数。这种方法叫“四舍五入”法。
2、求亿以上数的近似数的方法：
省略亿位后面的尾数时，要先分级，再看千万位上的数，如果千万位上的数满5，就向前一位进1，然后再舍去尾数，加上一个“亿”字；如果千万位上的数不满5，就直接舍去尾数，再加上一个“亿”字。
【方法总结】
1、注意：改写前后数的大小不变，中间要用“＝”连接。
2、提示：无论是省略万位后面的尾数还是省略亿位后面的尾数，都可以用“四舍五入”法求近似数，要根据尾数部分的最高位上的数来决定是“四舍”还是“五入”，并且“五入”时不要忘记向前一位进1，而且有时还会遇到连续进位的情况。
【常考题型】
1、新疆的塔卡拉玛干沙漠是我国最大的沙漠，它的面积大约为320000平方干米。横线上的数字改写成以“万”为单位的数是（ ）。
A、32万
B、320万
C、3200万
答案：A
2、将一个数改写成以“万”为单位的数是413万，那么这个数原来是（ ）。
A、413000
B、4130000
C、41300000
答案：B
3、摩纳哥是一个位于欧洲地中海沿岸的“袖珍国家”，国土面积狭小，却页是世界上人口密度最大的国家，每平方千米大约有14700人，省略万位后面的尾数大约是（ ）万人。
A、1万
B、2万
C、14万
答案：A
3．亿以上数的改写与近似
【知识点归纳】
一、数的改写
1、亿以上数的改写方法：把整万的数改写成用“万”作单位的数时，先分级，再去掉个级的4个“0”，然后在后面加上一个“万”字。
2、亿以上数的改写方法：
找到亿位，去掉亿位后面的8个0，换成“亿”字，用“＝”连接。
二、求近似数
1、求亿以上数的近似数的方法：
省略亿位后面的尾数时，要先分级，再看千万位上的数，如果千万位上的数满5，就向前一位进1，然后再舍去尾数，加上一个“亿”字；如果千万位上的数不满5，就直接舍去尾数，再加上一个“亿”字。
【方法总结】
1、注意：改写前后数的大小不变，中间要用“＝”连接。
2、提示：无论是省略万位后面的尾数还是省略亿位后面的尾数，都可以用“四舍五入”法求近似数，要根据尾数部分的最高位上的数来决定是“四舍”还是“五入”，并且“五入”时不要忘记向前一位进1，而且有时还会遇到连续进位的情况。
【常考题型】
1、改写。（4个0换一个“万”字，将整万的数改写成以“万”作单位的数；8个0换一个“亿”字，将整亿的数改写成以“亿”作单位的数。）
3000000＝（ ）万
8230000＝（ ）万
1200000000＝（ ）亿
50700000000＝（ ）亿
答案：300；823；12；507
4．古代表示数的方法
【知识点归纳】
1、结绳记事
原始社会创始的以绳结形式反映客观经济活动及其数量关系的记录方式。结绳记事是被原始先民广泛使用的记录方式之一。
《易•系辞下》文献记载：“上古结绳而治，后世圣人易以书契，百官以治，万民以察”。意思是上古时期，人们使用绳结来记数，后来圣人们则以书契记数。百官利用此来治理政务，百姓通过此来知晓世情。
结绳计数直到20世纪中期一直在云南的少数民族地区延续着。而且不止是中国，世界各地的不同民族都有类似的计数方法。据说，古秘鲁印加族人（印第安人的一支）用来打结的绳子名为“魁普”（quipus），表示的数目清楚、完备，用来登录账目、人口数及税收数。
2、书契记数
古代记数结绳方法之后出现的记数方法。当时主要用于剩余粮食数量的记数。“书契”指的就是文字。
因为这些刻有文字的竹木简经常被用作订立契约关系的凭证，因此“契”和“书契”也有“契约”的意思，我们今天常用的“地契”“房契”等词的意思正源于此。至于“契”字在“默契”等词语中表示情义相投的意义，则是后来发展出来的。
《管子•揆度篇》记述：“上古结绳，后易之以书契。”即是用刻刀将数刻在兽骨、竹木、龟甲、土石崖上，以便长久保存，不易损坏。
3、算筹计数
根据史书的记载和考古材料的发现，古代的算筹实际上是用竹子、木头、兽骨等材料制成一些长短、粗细差不多的小棍子用来计算数目，不用时则把它们放在小袋子里面保存或携带。
算筹是我国古代广泛应用的一种计算工具，它的出现年代现在难以考证，但据史料推测，至迟在春秋晚期战国初年时已经出现。算筹制作规范、体积小、便于携带，更利于精确计算，作为一种计数方式，显然要比结绳计数和刻痕计数成熟得多。
事实也的确如此，一直到算盘发明推广之前，算筹都是我国古代最重要的计算工具。算筹计数法遵循十进位制，在世界数学史上是一个伟大的创造，跟世界上其他古老民族的计数法相比，具有显而易见的优越性。
4、罗马人计数
大约在两千五百年前，罗马人还处在文化发展的初期，当时他们用手指作为计算工具。为了表示一、二、三、四个物体，就分别伸出一、二、三、四个手指；表示五个物体就伸出一只手；表示十个物体就伸出两只手。
当时，罗马人为了记录这些数字，便在羊皮上画出Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ来代替手指的数；表示一只手时，就写成“Ⅴ”形，表示大指与食指张开的形状；表示两只手时，就画成“ⅤⅤ”形，后来又写成一只手向上，一只手向下的“Ⅹ”，这就是罗马数字的雏形。
之后为了表示较大的数，罗马人用符号C表示一百，用符号M表示一千，用符号L表示五十，用字母D表示五百。若在数的上面画一横线，这个数就扩大一千倍。
5．倒数的认识
【知识点解释】＜BR＞若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．＜BR＞＜BR＞【解题思路点拨】＜BR＞求倒数的方法：求一个分数的倒数，例如34，我们只需把34这个分数的分子和分母交换位置，即得34的倒数为43．＜BR＞求一个整数的倒数，只需把这个整数看成是分母为1的分数，然后再按求分数倒数的方法即可得到，如3的倒数为13．＜BR＞求一个小数的倒数，可以先把小数化成分数，然后分子和分母调换位置．＜BR＞＜BR＞【注意事项】＜BR＞0没有倒数．＜BR＞＜BR＞【命题方向】＜BR＞常考题型：＜BR＞例1：0.3的倒数是
＜DIVclass＝quizPutTagcntentEditable＝true＞103＜/DIV＞．＜BR＞分析：根据倒数的定义求解．＜BR＞解：0.3=310的倒数是103．＜BR＞故答案为：103．＜BR＞点评：此题主要考查了倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．＜BR＞例2：一个数除以97等于187的倒数，求这个数．＜BR＞分析：根据题意，187的倒数是1÷187，再乘上97即可．＜BR＞解：1÷187×97，＜BR＞=718×97，＜BR＞=12；＜BR＞答：这个数是12．＜BR＞点评：根据题意，先求出187的倒数，再根据被除数＝商×除数，列式解答．
6．负数的意义及其应用
【知识点归纳】
（1）任何正数前加上负号都等于负数．负数比零小，用负号（即相当于减号）“﹣”标记．
（2）在数轴线上，负数都在0的左侧，没有最大与最小的数，所有的负数都比自然数小．
【命题方向】
常考题型：
例1：在8.2、﹣4、0、6、﹣27中，负数有3个． × ．（）
分析：根据正、负数的意义，数的前面加有“+”号的数，就是正数；数的前面加有“﹣”号的数，就是负数，0既不是正数也不是负数，据此判断即可．
解：负数有：﹣4，﹣27，共有2个．
故答案为：×．
点评：此题考查正、负数的意义和分类．
例2：小华从0点向东行5m，记作+5m，那么从0点向西行3m，应该记作 ﹣3 m．
分析：此题主要用正负数来表示具有意义相反的两种量：向从0点向东记为正，则从0点向西就记为负，直接得出结论即可．
解：小华从0点向东行5m，记作+5m，那么从0点向西行3m，应该记作﹣3m．
故答案为：﹣3．
点评：此题主要考查正负数的意义，正数与负数表示意义相反的两种量，看清规定哪一个为正，则和它意义相反的就为负．
7．一位数乘两位数
【知识点归纳】
1、两位数乘一位数（不进位）：
计算两位数乘一位数我们可以把两位数分成几十和几，先分别乘以一位数，再把两次乘得的数合起来就是所求的积。
2、两位数乘一位数（进一位）：
①归纳：用一位数乘被乘数个位上的数，积满几十，就向十位进几；用一位数乘被乘数十位上的数，积满几百，就向百位进几。
②注意：为了防止忘记，进位数可写小一些记在横线上。
3、两位数乘一位数（连续进位）：
①用一位数乘两位数上个位上的数，积满几十向十位进几；
②用一位数乘两位数上十位上的数，积满几百向百位进几；
③不要漏加进位数字。
【方法总结】
1、两位数乘一位数的口算方法：把两位数分成整十数和一位数，用整十数和一位数分别与一位数相乘，最后把两次乘得的积相加。
2、整百整十数乘一位数的口算方法：
（1）先用整百数乘一位数，再用整十数乘一位数，最后把两次乘得的积相加。
（2）先用整百整十数的前两位与一位数相乘，再在乘积的末尾添上一个0。
3、一个数与10相乘的口算方法：
一位数与10相乘，就是把这个数的末尾添上一个0。
4、两位数乘整十数的口算方法：
先用这个两位数与整十数十位上的数相乘，然后在积的末尾添上一个0。
小技巧：口算乘法：整十、整百的数相乘，只需把0前面的数字相乘，再看两个因数一共有几个0，就在结果后面添上几个0。
如：30×500＝15000 可以这样想，3×5＝15，两个因数一共有3个0，在所得结果15后面添上3个0就得到30×500＝15000。
【常考题型】
计算38×4时，用第一个因数十位上的3乘第二个因数4，得（ ）。
答案：120
口算题。
26×6＝19×7＝53×2＝
答案：156；133；106
8．连乘
【知识点归纳】
1、两步计算的连乘解决实际问题的方法：
（1）根据已知条件找出中间量，确定先求什么，再求什么。
（2）可以先求出每份的数量，再乘总份数得出总数；也可以先求出总份数，再乘每份的数量得出总数。
【方法总结】
连乘、连除乘除混合运算的计算方法：无论是连乘、连除还是乘除混合运算都属于同级运算，都要按照从左到右的顺序依次计算。
【常考题型】
1、小红坚持锻炼身体，每天跑4圈。跑道每圈500米，她一个星期（7天）跑多少米？
答案：4×500×7＝14000（米）
2、妈妈买了240个苹果，每层装8个，每箱装3层，一共可以装多少箱？
答案：240÷8÷3＝10（箱）
3、一瓶药共150片，每日3次，每次2片，这瓶药够吃30天吗？
答案：30×3×2＝180（片）
180＞150，
所以不够吃。
9．两位数乘三位数
【知识点归纳】
1、三位数乘两位数的方法：先用一个因数的个位与另一个因数的每一位依次相乘，再用这个因数的十位与另一个因数的每一位依次相乘，乘到哪一位，积的个位就与哪一位对齐，哪一位满十就向前一位进“1”，再把两次相乘的积加起来。末尾有0时，把两个因数0前面的数对齐，并将它们相乘，再在积的后面添上没有参加运算的几个0。中间有0时，这个0要参加运算。
【方法总结】
因数是两、三位数的乘法的估算方法：先把两个因数的最高位后面的尾数省略，求出近似数，再把这两个近似数相乘。
2、三位数乘两位数的笔算
①先用两位数个位上的数去乘三位数，得数的末位和两位数的个位对齐，再用两位数十位上的数去乘三位数，得数的末位和两位数的十位对齐，最后把两次乘得的积相加。
②计算因数中间有0的三位数乘两位数，中间的0也要参与计算，计算方法同三位数乘两位数的笔算方法。
③末尾有0的两个因数相乘时，我们可以先把0前面的数相乘，然后再数两个因数的末尾一共有几个0就在积的末尾添上几个0。
【常考题型】
谷子每袋23元，要买114袋谷子，需要花多少钱？
答案：114×23＝2622（元）
从北京到济南每张火车票195元，一个旅游团有28人，准备6000元买火车票够吗？
答案：195×28＝5460（元）
5460元＜6000元
答：准备6000元买火车票够。
10．两位数除两、三位数
【知识点归纳】
1、怎样计算除数是两位数的除法：
①把除数看作和它接近的整十数试商。
②计算时从高位算起，先用被除数的前两位除以除数，如果被除数前两位比除数小，就用前三位除以除数。
③除到被除数的第几位，商就写在这一位上。
④注意每次的余数要比除数小。
【方法总结】
1、试商时，用四舍五入法将除数看作最接近的整十数来试商；
若除数看大，则初商可能偏小；
若除数看小，则初商可能偏大。
2、余数要比除数小：最小的余数是1；最大的余数＝除数﹣1。
【常考题型】
1、765÷23的商是（ ）位数，商的最高位是（ ）位。
答案：两；十
2、□÷☆＝5……21，☆最小是（ ），这时的□是（ ）。
答案：22；131
3、□÷16＝9……△，△最大是（ ），这时□是（ ）。
答案：15；159
4、56÷5＝11……1，其中56是除法算式中的（ ），5是（ ），11是（ ），1是（ ）。
答案：被除数；除数；商；余数
11．商不变的规律（被除数和除数同时乘或除以相同不为零的数）
【知识点归纳】
1、商不变的规律：
被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变
2、被除数不变，除数扩大或缩小若干倍（0除外），商随着缩小或扩大相同的倍数。
除数不变，被除数扩大或缩小若干倍（0除外），商随着扩大或缩小相同的倍数
【方法总结】
规律一：除数不变，被除数乘几或除以几（0除外），商也乘几或除以几。
规律二：被除数不变，除数乘几或除以几（0除外），商就除以几或乘几。
规律三：被除数和除数都乘或除以一个相同的数（0除外），商不变。
【常考题型】
利用商不变的规律进行简便计算。
500÷25 12500÷500
答案：500÷25＝（500×4）÷（25×4）＝2000÷100＝20
12500÷500＝（12500÷100）÷（500÷100）＝125÷5＝25
2、已知两数相除商是50。
若被除数和除数同时乘5，商是（ ）；
若被除数和除数同时除以5，商是（ ）；
若被除数不变，除数乘5，商是（ ）；
答案：50；50；10
12．表内乘除混合
【知识点归纳】
加减乘除混合运算规则：
1、同级运算时，从左到右依次计算。
2、两级运算时，先乘除后加减。
3、有括号时，先算括号里面的，再算括号外面的。
【方法总结】
1、一个乘法算式可以表示两个意义，
如“4×2”既可以表示“4个2相加”，也可以表示“2个4相加”。
2、乘法规则：
①两个因数交换位置，积不变。
②一个因数扩大或缩小几倍，另一个因数不变，乘积也随着扩大或缩小相同的倍数。
3、连乘、连除乘除混合运算的计算方法：无论是连乘、连除还是乘除混合运算都属于同级运算，都要按照从左到右的顺序依次计算。
【常考题型】
1、口算题。
答案：3；6；6；4
2、菊花有36朵，平均分给6个小组，每组分得几朵？每组2个小朋友，每个小朋友分到几朵？
答案：36÷6＝6（朵）
答：每组分得6朵。
6÷2＝3（朵）
答：每个小朋友分到3朵。
13．无括号四则混合运算
【知识点归纳】
1、加法、减法、乘法和除法统称四则运算。
2、在没有括号的算式里，如果只有加、减法或者只有乘、除法，都要从左往右按顺序计算。
3、在没有括号的算式里，既有乘、除法又有加、减法的，要先算乘除法，再算加减法。
4、算式有括号，要先算括号里面的，再算括号外面的；大、中、小括号的计算顺序为小→中→大。括号里面的计算顺序遵循以上1、2、3条的计算顺序。
【常考题型】
1、解决问题。
（1）学校合唱团有男生37人，女生人数比男生的3倍多5人。学校合唱团一共有多少人？
（2）学校合唱团有男生37人，比女生的3倍少5人。学校合唱团一共有多少人？
答案：（1）37×3+5+37＝153（人）
答：学校合唱团一共有153人。
（2）37+5＝42（人）
42÷3＝14（人）
14+37＝51（人）
答：学校合唱团一共有51人。
14．带括号的表外乘加、乘减
【知识点归纳】
加减乘除混合运算规则：
1、同级运算时，从左到右依次计算。
2、两级运算时，先乘除后加减。
3、有括号时，先算括号里面的，再算括号外面的。
【方法总结】
在乘加乘减的学习过程中，乘加的解题思路，其实就是把问题分成“同数连加”加一个“其他数”，也就是比几个几多几。
而乘减是需要运用“假设法”来理解，假设把那个“其他数”看成和“同数连加”是一样的加数，然后再去掉缺少的部分，其实就是比几个几少几。
【常考题型】
小明邀请3个好朋友来家做客，3个好朋友每人吃4块糖，小明自己吃2块，他准备15块糖够吗？
答案：3×4+2＝14（块）
14＜15
答：他准备15块糖够。
15．带括号的四则混合运算
【知识点归纳】
加减乘除混合运算规则：
1、同级运算时，从左到右依次计算。
2、两级运算时，先乘除后加减。
3、有括号时，先算括号里面的，再算括号外面的。
【方法总结】
1.含有小括号的混合运算的运算顺序：
要先算小括号里面的，再算小括号外面的；小括号里面的，要先算乘、除法，再算加、减法。
2.含有中括号的三步混合运算的运算顺序：
在一个算式里，既有小括号，又有中括号，要先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算中括号外面的。
【常考题型】
填一填。
计算（230+48）÷（200﹣61）时，应先算（ ）法和（ ）法，最后算（ ）法。
答案：加；减；除
计算888÷[200﹣（40+50）]时，应先算（ ）法，再算（ ）法，最后算（ ）法。
答案：加；减；除
先说一说下面各题的运算顺序，再计算。
360÷（70﹣4×16）158﹣[（27+54）÷9]
答案：乘法﹣减法﹣除法，60；
加法﹣除法﹣减法，149
16．整数乘法分配律
【知识点归纳】
1、乘法分配律：两个数的和（或差）与一个数相乘，可以把两个加数（或被减数、减数）分别与这个数相乘，在把两个积相加（或相减），结果不变。用字母表示数：（a+b）×c＝a×c+b×c或（a﹣b）×c＝a×c﹣b×c
2、式子的特点：在两个乘法式子中，有一个相同的因数；另为两个不同的因数之和（或之差）基本上是能凑成整十、整百、整千的数。
3、102×88、99×15这类题的特点：两个数相乘，把其中一个比较接近整十、整百、整千的数改写成整十、整百、整千与一个数的和（或差），再应用乘法分配律可以使运算简便。
【方法总结】
乘法分配律简算例子：
（一）分解式
25×（40+4）
＝25×40+25×4
＝1000+100
＝1100
（二）合并式
135×12—135×2
＝135×（12—2）
＝135×10
＝1350
（三）特殊1
99×256+256
＝99×256+256×1
＝256×（99+1）
＝256×100
＝25600
（四）特殊2
45×102
＝45×（100+2）
＝45×100+45×2
＝4500+90
＝4590
（五）特殊3
99×26
＝（100—1）×26
＝100×26—1×26
＝2600—26
＝2574
（六）特殊4
35×8+35×6—4×35
＝35×（8+6—4）
＝35×10
＝350
【常考题型】
1、练习：
91×111+111×9 25×78+22×25 43×98+43×2
答案：11100；2500；4300
2、李阿姨购进了60套运动服，这种运动服上衣75元，裤子45元，花了多少钱？
答案：（75+45）×60＝7200（元）
17．运算定律与简便运算
【知识点归纳】
1、加法运算：
①加法交换律：两个加数交换位置，和不变．如a+b＝b+a
②加法结合律：先把前两个数相加，或先把后两个数相加，和不变．如：a+b+c＝a+（b+c）
2、乘法运算：
①乘法交换律：两个因数交换位置，积不变．如a×b＝b×a．
②乘法结合律：先乘前两个数，或先乘后两个数，积不变．如a×b×c＝a×（b×c）
③乘法分配律：两个数的和，乘以一个数，可以拆开来算，积不变．如a×（b+c）＝ab+ac
④乘法分配律的逆运算：一个数乘另一个数的积加它本身乘另一个数的积，可以把另外两个数加起来再乘这个数．如ac+bc
＝（a+b）×c
3、除法运算：
①除法性质：一个数连续除以两个数，可以先把后两个数相乘，再相除．如a÷b÷c＝a÷（b×c）
②商不变规律：被除数和除数同时乘上或除以相同的数（0除外）它们的商不变．如a÷b＝（an）÷（bn）＝（a÷n）÷（b÷n） （n≠0 b≠0）
4、减法运算：
减法性质：一个数连续减去两个数，可以用这个数减去两个数的和．如a﹣b﹣c＝a﹣（b+c）
【命题方向】
常考题型：
例1：0.65×201＝0.65×（200+1）＝0.65×200+0.65运用了乘法的（ ）
A、交换律 B、结合律 C、分配律
分析：乘法分配律的概念为：两个数的和乘另一个数，等于把这个数分别同两个加数相乘，再把两个积相加，得数不变，用字母表示：（a+b） c＝ac+ac．据此可知，0.65×201＝0.65×（200+1）＝0.65×200+0.65运用了乘法分配律．
解：根据乘法分配律的概念可知，
0.65×201＝0.65×（200+1）＝0.65×200+0.65运用了乘法分配律．
故选：C．
点评：本题利用具体的算式考查了学生对于乘法分配律的理解．
例2：125×25×32＝（125×8）×（25×4），这里运用了（ ）
A、乘法交换律 B、乘法结合律 C、乘法交换律和乘法结合律
分析：在125×25×32＝（125×8）×（25×4）中，是把32看作8×4，然后用乘法交换律变成125×8×25×4，再运用乘法结合律计算，即（125×8）×（25×4）．
解：125×25×32＝（125×8）×（25×4），运用了乘法交换律和乘法结合律．
故选：C．
点评：此题重点考查了学生对乘法交换律和结合律的掌握与运用情况．
18．数的估算
【知识点解释】
没有经过准确计算，是对计算结果的一种估计，叫做估算．
估算方法：
①四舍五入法：
例：π（保留两位小数）≈3.14
②进一法：
例：一支笔2.6元，四支需多少钱（保留到整数）
解：2.6×4＝10.4元≈11元
如果四舍五入的话是10元，是不够的，所以是要进上去的
③去尾法：
例：有20元，买3元一支的笔，可卖多少支？
解：20÷3＝6.6666…支≈6支
如果四舍五入是7支，买不到，所以是要去掉的．
【命题方向】
常考题型：
例：估计与288.9×1.756的积最接近的数是（ ）
A、400 B、500 C、600 D、1000
分析：根据小数乘法的估算方法：把相乘的因数看成最接近它的整数来算；288.9≈290，1.756≈1.8，所以与288.9×1.756的积最接近的数是290×1.8≈500，据此选择即可．
解：因为288.9×1.756≈290×1.8≈500，
所以与288.9×1.756的积最接近的数是500．
故选：B．
点评：此题考查了小数乘法的估算方法，注意把相乘的数看成最接近它的整数．
19．质量的单位换算
【知识点归纳】
1吨＝1000千克＝1000000克，
1千克＝1000克，
1公斤＝1000克＝2斤，
1斤＝500克．
单位换算：大单位换小单位乘以它们之间的进制，小单位换大单位除以它们之间的进制．
【命题方向】
常考题型：
例1：1千克的沙子与1000克的棉花相比（ ）
A、一样重 B、沙子重 C、棉花重
分析：把1千克换算成用克作单位的数，要乘它们之间的进率1000，然后再进一步解答即可．
解：根据题意可得：
1×1000＝1000；
1千克＝1000克；
所以，1千克的沙子与1000克的棉花一样重．
故选：A．
点评：单位不同，先换成统一单位，再比较大小，然后进一步解答即可．
例2：2.05千克＝ 2 千克 50 克＝ 2050 克．
分析：把2.05千克化成复名数，整数部分2就是千克数，再把0.05千克化成克数，用0.05乘进率1000；
把2.05千克化成克数，用2.05乘进率1000，即可得解．
解：0.05×1000＝50（克），
2.05千克＝2千克50克；
2.05×1000＝2050（克），
2.05千克＝2050克；
故答案为：2，50，2050．
点评：此题考查名数的换算，把高级单位的名数换算成低级单位的名数，就乘单位间的进率，反之则除以进率．
20．“式”的规律
【知识点归纳】
把一些算式排列在一起，从中发现规律，也是探索规律的重要内容．在探索“式”的规律时，要从组成“式”的要素中去探索．
【命题方向】
常考题型：
例：观察1+3＝44+5＝99+7＝1616+9＝2525+11＝36这五道算式，找出规律，则下一道算式是 36+13＝49 ．
分析：观察所给出的式子，知道从第二个算式起，第一个加数分别是前一算式的和；从第二个式子起，第二个加数分别是前一算式中的第二个加数加2所得；由此得出要求的算式．
解：因为，要求的算式的前一个算式是：25+11＝36，
所以，要求的算式的第一个加数是：36，
第二个加数是：11+2＝13，
所以要求的算式是：36+13＝49，
故答案为：36+13＝49．
点评：解答此题的关键是观察所给出的算式，找出算式之间数与数的关系，得出规律，再根据规律解决问题．
21．简单的行程问题
【知识点归纳】
计算路程，时间，速度的问题，叫做行程问题．
解题关键及规律：
同时同地相背而行：路程＝速度和×时间
同时相向而行：两地的路程＝速度和×时间
同时同向而行（速度慢的在前，快的在后）：追及问题＝路程÷速度差
同时同地同向而行（ 速度慢在后，快的在前）：路程＝速度差×时间．
【命题方向】
常考题型：
例1：甲乙两车从A、B两地同时相对开出，甲车每小时行63.5千米，乙车每小时行56.5千米，4小时相遇．A、B两地相距多少千米？
分析：要求A、B∝两地相距多少千米，根据题意，应先求出两车的速度和，即63.5+56.5＝120（千米），然后乘相遇时间，列式解答即可．
解：（63.5+56.5）×4
＝120×4
＝480（千米）
答：A、B两地相距480千米．
点评：此题考查了关系式：速度和×相遇时间＝路程．
例2：王华以每小时4千米的速度从家去学校，16小时行了全程的23，王华家离学校有多少千米？
分析：先依据路程＝速度×时间，求出王华16小时行驶的路程，再运用分数除法意义即可解答．
解：4×16÷23，
=23÷23，
＝1（千米），
答：王华家离学校有1千米．
点评：分数除法意义是解答本题的依据，关键是求出王华16小时行驶的路程．
例3：甲、乙两车同时从两地相向而行，距中点14千米的地方相遇，两车相遇时，它们所行路程的差是（ ）千米．
A、7 B、14 C、28 D、42
分析：由题意可知：两车相遇时，快车超过中点14千米，而慢车距离终点还有14千米，因此它们的路程差为14×2＝28千米，据此即可进行解答．
解：因为两车相遇时，快车超过中点14千米，
而慢车距离终点还有14千米，
因此它们的路程差为14×2＝28千米；
故选：C．
点评：本题主要考查学生时间、路程、速度差的掌握情况．
22．数字编码
【知识点归纳】
【命题方向】
常考题型：
例：小丽是第二实验小学三年级四班的七号运动员，她的号码是23407．小亮是第一实验小学五年级三班的22号运动员，他的号码是15322．
（1）小红的号码是24611，根据这个号码，你都能知道什么？
（2）第三实验小学张梅是2年级5班的8号运动员，请你写出她的号码．
分析：根据“23407”表示第二实验小学三年级四班的7号运动员，以及“15322”表示第一实验小学五年级三班的22号运动员，可知：这个编号的第一位是学校的名称，第二位表示年级，第三位表示班，最后两位表示第几号；由此进行求解．
解：（1）小红的号码是24611，所以小红是第二实验小学四年级六班的11号运动员．
（2）第三实验小学张梅是2年级5班的8号运动员编号是：32508．
点评：先根据给出的编号，找出各个位上数字表示的含义，再根据这个含义求解．
23．公因数和公倍数应用题
【知识点归纳】
公倍数指在两个或两个以上的自然数中，如果它们有相同的倍数，这些倍数就是它们的公倍数．
给定若干个正整数，如果他们有相同的因数，那么这个（些）因数就叫做它们的公因数．
【命题方向】
常考题型：
例1：有两根木料，一根长12米，另一根长18米，现在要把它们截成长度相等的小段，每根不准有剩余，每小段最长是多少？一共可以截成多少段？
分析：根据题意，可计算出18与12的最大公约数，即是每根小段的最长，然后再用18除以最大公约数加上12除以最大公约数的商，即是一共截成的段数，列式解答即可得到答案．
解：18＝2×3×3，
12＝2×2×3，
所以最大公因数是2×3＝6，
所以每段最长6米，
18÷6+12÷6
＝3+2
＝5（段），
可以截成5段，
答：每小段木条最长6米；一共可以截成5段．
点评：解答此题的关键是利用求最大公约数的方法计算出每小段的最长，然后再计算每根木条可以截成的段数，再相加即可．
例2：甲、乙、丙三人到图书馆去借书，甲每6天去一次，乙每8天去一次，丙每9天去一次，如果4月25日他们三人在图书馆相遇，那么下一次都到图书馆是几月几日？
分析：由甲每6天去一次，乙每8天去一次，丙每9天去一次，可知：他们从4月25日到下一次都到图书馆之间的天数是6、8、9的最小公倍数的数，最小公倍数是72，72天比要比两个月的时间要多，因此再求出4月里还有几天，5月和6月的天数，最后用72减去4月里剩下的天数，再减去5月和6月的天数，得数是几就是7月几日，据此解答．
解：6＝2×3，8＝2×2×2，9＝3×3，
所以6、8、9的最小公倍数：2×3×2×2×3＝72；
4月和6月是小月有30天，5月是大月有31天，
所以4月里还有：30﹣25＝5，5月里有31天，6月里有30天，
还剩下：72﹣5﹣31﹣30＝6（天）；
即下一次都到图书馆是7月6日；
答：下一次都到图书馆是7月6日．
点评：解答本题的关键是：理解他们从4月25日到下一次都到图书馆之间的天数是6、8、9的最小公倍数，再根据年月日的知识，找出4、5、6月里的天数．
24．两点间线段最短与两点间的距离
【知识点归纳】
1．两点之间，线段最短：在两点之间连接出若干条折线、曲线和线段，其中线段的长度最小．
2．应用：当两点在直线两侧时，直接连接两点即可，而不必找对称点；当两点在直线同侧时，需要作出其中一个点关于直线的对称点．
【命题方向】
常考题型：
例1：从直线外一点到这条直线所画的垂直线段 最短 ，它的长度叫做这点到直线的 距离 ．
分析：根据垂直的性质：从直线外一点向已知直线画垂直线段和斜线，垂线段最短；进行解答即可．
解：由垂直的性质得：从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短，它的长度叫做这点到直线的距离．
故答案为：最短，距离．
点评：此题考查了垂直的性质，是基础题型．
例2：如图中过A点最短的一条线段是（ ）
A、AB B、AC C、AD D、AE
分析：根据“点到直线的距离，垂线段最短”进行解答即可．
解：图中过A点到直线BE的所有线段中，最短的一条是AD；
故选：C．
点评：解答此题应明确：点到直线的距离，垂线段最短．
25．角的概念和表示
【知识点归纳】
定义1：有公共端点的两条射线组成的图形叫角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边.角的大小只与开口的大小有关，而与角的边画出部分的长短无关．这是因为角的边是射线而不是线段．
定义2：角由一条射线绕着它的端点旋转到另一个位置所成的图形，处于初始位置的那条射线叫做角的始边，终止位置的那条射线叫做角的终边.
（1）如果角的终边是由角的始边旋转半周而得到，这样的角叫平角.
（2）如果角的终边是由角的始边旋转一周而得到，这样的角叫周角.
注意：由角的定义可知：
（1）角的组成部分为：两条边和一个顶点；
（2）顶点是这两条边的交点；
（3）角的两条边是射线，是无限延伸的.
（4）射线旋转时经过的平面部分称为角的内部，平面的其余部分称为角的外部.
角的表示方法：
（1）用三个字母表示，如∠AOB；（2）用数字表示角，如∠1；（3）用一个大写字母表示，如∠A
【命题方向】
常考题型：
1.从一点引出两条______所组成的图形叫做角，角的计量单位用_______来表示。
答案：射线，度。
2.组成角的两条边是两条（ ）
A．线段B．射线C．直线
答案：B
26．垂直与平行的特征及性质
【知识点归纳】
1．垂线的定义：
两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直．其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．
直线AB，CD互相垂直，记作“AB⊥CD”（或“CD⊥AB”），读作“AB垂直于CD”（或“CD垂直于AB”）．
2．垂线的性质：
性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
性质2：连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简称：垂线段最短．
3．垂直的判定：垂线的定义．
4．平行线的概念：
在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线．平行用符号“∥，如“AB∥CD”，读作“AB平行于CD”．
5．平行线的判定方法：
（1）平行于同一条直线的两直线平行．
（2）垂直于同一条直线的两直线平行．
（3）平行线的定义．
【命题方向】
常考题型：
例1：如果同一平面内两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线（ ）
A、平行 B、互相垂直 C、互相平行 D、相交
分析：根据垂直和平行的特征：两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行；进而解答即可．
解：如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行；
故选：C．
点评：此题考查了垂直和平行的特征及性质．
例2：不相交的两条直线叫平行线． × ．（）
分析：根据平行线的定义，在同一平面内，不相交的两条直线是平行线．所以说法错误．
解：在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线，所以本题成立的前提是：在同一平面内．
故答案为：×．
点评：解答此题抓住在同一平面内理解两条直线的位置：平行或相交．
27．角的度量
【知识点归纳】
1．角的度量：角度的测量是最基本的测量，最常用的工具是量角器．
2．角的度量单位通常有两种，一种是角度制，另一种就是弧度制．
角度制，就是用角的大小来度量角的大小的方法．在角度制中，我们把周角的1360看作1度，那么，半周就是180度，一周就是360度．由于1度的大小不因为圆的大小而改变，所以角度大小是一个与圆的半径无关的量．
弧度制，顾名思义，就是用弧的长度来度量角的大小的方法．单位弧度定义为圆周上长度等于半径的圆弧与圆心构成的角．由于圆弧长短与圆半径之比，不因为圆的大小而改变，所以弧度数也是一个与圆的半径无关的量．角度以弧度给出时，通常不写弧度单位，有时记为rad或R．
3．度量方法：
量角要注意两对齐：量角器的中心和角的顶点对齐．
量角器的0刻度线和角的一条边对齐．
做到两对齐后看角的另一条边对着刻度线几，这个角就是几度．
看刻度要分清内外圈．
【命题方向】
常考题型：
例1：用一个放大10倍的放大镜看一个50°的角，看到的角是（ ）
A、50° B、500° C、100°
分析：用放大镜看角时，放大的是角的边，不改变角的形状，根据角的大小与边长无关可知角的度数不会改变．
解：用放大镜看角时，放大的是角的边，不改变角的形状，根据角的大小与边长无关可知角的度数不会改变．
所以用放大10倍的放大镜看一个50度的角，看到的度数仍是50度．
故选：A．
点评：用放大镜看角，很容易错误认为角的度数会被放大相同倍数，关键要学生理解角的大小与边的长短无关．也要认识到一个普遍规律：放大镜只改变物体大小，不改变物体形状，对角而言只是一种图形，既然形状不变，角度也不会改变．
例2：下面每对时刻中，时钟的时针和分针所成的角不一样的有（ ）
A、1：30和2：30 B、3：30和8：30 C、9：00和3：00 D、10：30和1：30
分析：因为钟表上的刻度是把一个圆平均分成了12等份，每一份是30°，借助图形，找出不同时间下，时针和分针之间相差的大格数，用大格数乘30°即可进行判断，选择．
解：A，1：30时针和分针中间相差，4.5个大格，夹角是：30×4.5＝135度，
2：30时针和分针中间相差3.5个大格，夹角是：30×3.5＝105度；符合题意；
B，3：30时针和分针中间相差2.5个大格，夹角是2.5×30＝75度，
8点30分，时针和分针中间相差2.5个大格，夹角是2.5×30°＝75度；
C，9：00时针和分针中间相差3个大格，夹角是：30×3＝90度，
3：00时针和分针中间相差3个大格，夹角是：30×3＝90度；
D，10：30时针和分针中间相差4.5个大格，夹角是：30×4.5＝135度，
1：30时针和分针中间相差，4.5个大格，夹角是：30×4.5＝135度；
所以夹角不同的是A．
故选：A．
点评：本题考查了钟面角，用到的知识点为：钟表上12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为30°．
28．长度的测量方法
【知识点归纳】
1．长度的测量：长度的测量是最基本的测量，最常用的工具是刻度尺．
2．正确使用刻度尺刻度线、量程、分度值．
使用时要注意：
（1）尺子要沿着所测长度放，尺边对齐被测对象，必须放正重合，不能歪斜．
（2）不利用磨损的零刻度线，如因零刻线磨损而取另一整刻度线为零刻线的，切莫忘记最后读数中减掉取代零刻线的刻度值．
（3）厚尺子要垂直放置
（4）读数时，视线应与尺面垂直．
【命题方向】
常考题型：
例：量出每条边的长度，以毫米为单位．
分析：用直尺的“0”刻度线和线段的一个端点重合，另一个端点在直尺上的刻度，就是该线段的长度．
解：测量数据如下图：
点评：本题考查了学生测量线段的能力．
29．数对与位置
【知识点归纳】
1．数对的意义：用有顺序的两个数表示出一个确定的位置就是数对．
2．用数对表示位置时，先表示第几列，再表示第几行．
3．给出物体在平面图上的数对，就可以确定物体所在的位置了．
【命题方向】
常考题型：
例：如图：如果将△ABC向左平移2格，则顶点A′的位置用数对表示为（ ）
A、（5，1）B、（1，1）C、（7，1）D、（3，3）
分析：将△ABC向左平移2格，顶点A′的位置如下图，即在第1列，第1行，由此得出A′的位置．
解：
因为，A′在第1列，第一行，
所以，用数对表示是（1，1），
故选：B．
点评：此题考查了数对的写法，即先看在第几列，这个数就是数对中的第一个数；再看在第几行，这个数就是数对中的第二个数．
30．从统计图表中获取信息
【知识点归纳】
图象信息题是指由图形、图象（表）及易懂的文字说明来提供问题情景的一类问题，它是近几年所展示的一种新的题型．这类问题题型多样，取材广泛，形式灵活，突出对考生收集、整理和加工信息能力的考查．是近几年中考的热点．解图象信息题的关键是“识图”和“用图”．解这类题的一般步骤是：
（1）观察图象，获取有效信息；
（2）对已获信息进行加工、整理，理清各变量之间的关系；
（3）选择适当的数学工具，通过建模解决问题．
【命题方向】
常考题型：
例1：在一个圆形花坛内种了三种花（如图所示），用条形统计图表示各种花的占地面积是（ ）
A、 B、 C、 D、
【分析】有扇形统计图可知：
水仙占25%，丁香占25%，而菊花占50%，即水仙的数量与丁香的数量相等，菊花的数量是水仙的2倍．
解：由图可知：水仙的数量与丁香的数量相等，菊花的数量是水仙的2倍；
在条形统计图上，有2根直条相等，另一根是这两根的2倍；
只有D选项符合这一形状．
故选：D．
【点评】本题关键是先读懂扇形统计图，找出各个量之间的关系，再把这一关系在条形统计图上表示出来．
31．事件的确定性与不确定性
【知识点归纳】
事件可分为确定事件和不确定事件，确定事件可分为必然事件和不可能事件．不确定事件又称为随机事件．
【命题方向】
常考题型：
例1：一个盒子里面分别放了一些花，任意摸一朵的可能性会怎样？用线连一连
【分析】根据可能性的大小进行依次分析：
盒子有1朵白花，9朵红花，摸出一朵，因为9＞1，所以摸出红花的可能性大，白花的可能性小；
盒子有5朵白花，5朵红花，摸出一朵，因为5＝5，所以摸出红花的可能性大和白花的可能性一样；
盒子里有9朵白花，1朵红花，摸出一朵，因为9＞1，所以摸出白花的可能性大，红花的可能性小；
盒子里有10朵红花，摸出一朵，肯定是红花，不可能是白花，据此解答．
解：根据分析，连线如下：
【点评】此题应根据可能性的大小进行分析、解答．
32．可能性的大小
【知识点归纳】
事件的概率的表示方法：一般地，事件用英文大写字母A，B，C，…，表示事件A的概率p，可记为P（A）＝P．必然事件的概率为1．
【命题方向】
常考题型：
例1：从如图所示盒子里摸出一个球，有 两 种结果，摸到 白 球的可能性大，摸到 黑 球的可能性小．
【分析】（1）右边盒子里只有白球和黑球，所以摸球的结果只有两种情况；
（3）白球3个，黑球1个，3＞1，所以摸到白球可能性大，黑球的可能性小．
解：（1）因为盒子里只有白球和黑球，
所以摸球的结果只有两种情况．
（2）因为白球3个，黑球1个，
所以3＞1，
所以摸到白球可能性大，黑球的可能性小．
故答案为：两，白，黑．
【点评】此题考查可能性的大小，数量多的摸到的可能性就大，根据日常生活经验判断．
33．数字问题
【知识点归纳】
1．数字问题的主要题型：
数字问题是研究有关数字的特殊结构、特殊关系以及数字运算中变换问题的一类问题，相对来说，难度较大．通常情况下题目会给出某个数各个位数关系，求这个数为多少．
2．核心知识
（1）数字的拆分
是将一个数拆分成几个因数相乘或者相加的形式，经常需要综合应用整除性质、奇偶性质、因式分解、同余理论等．
（2）数字的排列与位数关系
解答数字的排列与位数关系时，经常需要借助于首尾数法进行考虑、判断，同时可以利用列方程法、代入法、假设法等一些方法，进行快速求解．
【命题方向】
常考题型：
例1：在1到400的整数中，至少能被3和5中的一个数整除的数有（ ）个5．
A、213 B、187 C、133 D、80
分析：先求出400里面有几个3，就是1﹣400中有多少个数能被3整除，再求出400里面有几个5，就是1﹣400中有多少个数能被5整除；能同时倍3和5整除的数是15的倍数；求出400里面有多少个15，就是能同时被3和5整除的数，然后用3的倍数的个数加上5的倍数的个数然后减去15的倍数的个数即可．
解：1到400中能被3整除有：400÷3≈133（个）；
1到400中能被5整除有：400÷5＝80（个）；
1到400中既能被3也能被5整除有：400÷（3×5）≈26（个）；
在1到400的整数中，至少能被3和5中的一个数整除的数：133+80﹣26＝187（个）；
故选：B．
点评：本题要注意能同时被3和5整除的数，是重复计算的数字．
例2：自然数12321，90009，41014…有一个共同特征：它们倒过来写还是原来的数，那么具有这种“特征”的五位偶数有 400 个．
分析：倒过来写还是原来的数，具有这种“特征”的五位偶数万位和个位有2，4，6，8这4种选择；千位和十位有0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10种选择；百位有0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10种选择．可以组成倒过来写还是原来的数具有这种“特征”的五位偶数则有4×10×10＝400个．
解：根据分析，倒过来写还是原来的数，具有这种“特征”的五位偶数有4×10×10＝400个．
答：具有这种“特征”的五位偶数有400个．
故答案为：400．
点评：根据这种数的特征，分析各对称数位会出现的数字可能，把出现可能的种数相乘即可得这种特征数的个数．

种类
耕地
林地
牧草地
其它农用地
面积/平方千米
1259300
2307200
2635200
256500
交通工具
路程/千米
30
30
30
时间/时
2
12
23
速度/（千米/时）



橘皮竹茹汤：橘皮二升，竹茹二升，大枣三十枚，生姜半斤，甘草五两，人参一两。
生姜泻心汤：甘草、人参、黄芪各三两，干姜一两，半夏半升，生姜四两，黄连一两，大枣十二枚。
第1册
第2册
第3册
第4册
31元/本
32元/本
30元/本
33元/本
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
D
D
D
B
C
B
C
B
B
B
B
题号
34
35
答案
B
C
种类
耕地
林地
牧草地
其它农用地
面积/平方千米
1259300
2307200
2635200
256500
交通工具
路程/千米
30
30
30
时间/时
2
12
23
速度/（千米/时）
15
60
45
橘皮竹茹汤：橘皮二升，竹茹二升，大枣三十枚，生姜半斤，甘草五两，人参一两。
生姜泻心汤：甘草、人参、黄芪各三两，干姜一两，半夏半升，生姜四两，黄连一两，大枣十二枚。
第1册
第2册
第3册
第4册
31元/本
32元/本
30元/本
33元/本
54÷6÷3＝
4×9÷6＝
4×3÷2＝
6×6÷9＝