四川省成都市树德中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试卷

这是一份四川省成都市树德中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试卷，共4页。试卷主要包含了填空题， 择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
审题人 肖兴佳
已知幂函数 f (x
= (3m2-2m xm 在 (0,+∞
上是严格减函数，则 m =- 1
本试卷满分考试时间分钟
第一部分 选择题58
函数 y = f(3x + 2) 的定义域为 l- 5 ,1
，则函数 y =
f(x)
的定义域为 1,5
x-1
3
一、选择题 本题共 小题 每小题共分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题
已知函数 f (
x +1
= x + 3，则 f(x) = x2 - 2x + 4(x ≥ 1)
目要求的
命题“∃ x > 1，lnx - x + 1 > 0”的否定为 ()
∃ x > 1，lnx - x + 1 ≤ 0B. ∃ x ≤ 1，lnx - x + 1 > 0
函数 f (x = lga(2 -3ax 在区间 (1,2 上单调递增，则 a ∈ (0, 1
C. ∀ x ≤ 1，lnx - x + 1 > 0D. ∀ x > 1，lnx - x + 1 ≤ 0
a ∙ 3 a2
计算a2的结果为 ()
若关于 x 的不等式 ax2 + bx + c < 0 的解集为 xx1 0
，x1 < x2，a,b,c 均为实数，则下列
3156
若 x1 =-1,x2 = 4，则 bx + c > 0 的解集为 (-∞,- 4
2
A. a 2B. a 2C. a 6D. a 5 .
已知非零实数 a，b，c，且 a > b，则下列式子中一定成立的是 ()
3
若 x1 =-1,x2 = 4，则 cx2 + 2bx - 2a > 0 的解集为 (-∞,-1
若 b =-4a，则 c < 4a
∪ (- 1 ,+∞
a +c
>
a
A. a2 > b2B. 2a > 2bC. b +c b
D. ac > bc
2
若函数 f (x) = ( 1
x，函数 f (x) 与函数 g(x) 图象关于直线 y = x 对称，则函数 g(4 -x2
的单调
已知 P (x1,y1
，Q (x2,y2
，定义直线 PQ 的斜率为 k= y2 -y1 ，对数函数 y = lg x 与 y =
PQx -x4
21
递减区间是 ()
A. [-2,0)B. (-2,0]C. (0,2]D. [0,2)
D.2 + 2
ab
已知函数 f (x = lg2(ax+b (a >0,b >0 恒过定点 (2,0 ，则 b + 1 的最小值为 ()．
lg2x 的图象如图所示，过原点 O 的直线交 y = lg4x 的图象于不同的 A，B 两点，过点 A，B 分别作 y 轴的平行线交 y = lg2x 于 C ，D 两点，交 x 轴于 M ，N 两点，则 ()
O，C ，D 三点共线
梯形 CDNM 的面积为梯形 ABNM 面积的 2 倍
2
A. 2 2 + 1B. 2
3
C. 3
C. kAD + kBC = 2kAB
D. 当 BC ⎳ x 轴时，点 A 坐标为 (2, 1
设 a = lg23，b = 0.30.2，c = 2 ，则 ()
A. a < c < bB. a < b < cC. b < c < aD. c < b < a
已知 f(x) 是定义在 R 上的偶函数，且在 [0, +∞) 上单调递减，若 f(-4) = 0，则不等式
8
9
(x - 2)f(x ) < 0 的解集是 ()
2
第二部分 非选择题92
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5
(-4,4)B. (-∞, -4) ∪ (4, +∞)
C. (-4,0) ∪ (4, +∞)D. (-4,2) ∪ (4, +∞)
计算：( 27 3 + 2lg32 - lg3 4
- lg98 ⋅ lg23 = .
2 1 b
已知函数 f (x = x2 + bx + c（，b,c 为实数）则“f (2 = f (-2 ”是“f (x 为偶函数”的
若 f(x) = ln(
4x +1 +2x + lna + 2 -x + b 是奇函数，则 lg2a + e 2 的值为 ()
条件 (用“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”填空)
A. - 2B. 0C. 1D. 2
二、 择题：本共，每6 分，共分．在每出有题目
2x-1 ,x≤1

2
已知函数 f (x) = (lg (x-1) ,x>1 ，若方程 f (x) = a 有四个不同的解 x1，x2，x3，x4，则 a 的
全部选对的得部分选对的得部分分 有选错的得 分．
取值范围是，若 x1 < x2 < x3 < x4，则 x1 + x2 + x3 +x4 +4
x x
3 4
的取值范围是 ．
四 解答题：本题共 小题 共 77 分。解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤。
18. 已知函数 f (x
= 3x 与函数 g(x
= lg2x，函数 φ(x
= g(2 +x
+ g(2 -x
的定义域为 D.
  -a
 ( 1
2-5x+6
(4 分) 求 φ(x
的定义域 D 和值域；
（13 分）已知全集为 U = R．集合 A = (x
3a 0,B = (x2
>1 ．
(7 分) 当 a = 1 时，求 A ∩ ∁ B；
(6 分) 若存在 x ∈ D，使得 mf (2x
≥ 1 - f (x
成立，求 m 的取值范围；
U
(6 分) 若 x ∈ A 是 x ∈ B 的必要非充分条件，求实数 a 的取值范围．
(7 分) 已知函数 y = h(x
- b
的图象关于点 P(a,b
1
中心对称的充要条件是函数 y = h(x+a
为奇函数. 利用上述结论，求函数 y =
f (x
+3 的对称中心.
16.（15 分）猴痘是由猴痘病毒所致的一种人畜共患病，既往猴痘疫情主要在非洲地区流行，2022年后逐渐扩散至全球大多数国家和地区，2022 年 1 月至 2024 年 7 月 31 日，全球已经有 121 个国家报告了猴痘病例 103048 例，其中死亡 229 例.2024 年 8 月，世卫组织宣布猴痘疫情构成“国际关注的突发公共卫生事件”. 猴痘病毒经过变异之后传染性极强，假设猴痘病毒在特定环境
下具有下表传染规律：每隔单位时间数进行一次记录，用 x(x∈N*
x
⋯
2
4
6
8
⋯
y
⋯
8
64
511
4097
⋯
y 表示猴痘感染人数.
表示经过的单位时间数，用
19.（17 分）若函数 f (x
的定义域为 (0,+∞
，且满足 f (x
+ f ( 1
x
= 0，则称 f (x
为“德函数”.
(8 分) 若从 y = m ⋅ xn(m≠0,n≠0
与 y = k ⋅ ax(k ≠ 0,a > 0 且 a ≠ 1) 两个函数模型中选择
(5 分) 分别判断下列函数是否为“德函数”，并说明理由；
① h(x = lg x(a > 0,a ≠ 1)； ② f (x = x + 1 (x>0 ； ③ g(x
x+lnx,x>1
= 0,x=1.
x
一个来刻画猴痘病毒感染规律，请推理说明选择哪一个更合适，并写出其对应的的解析式；a
(7 分) 求至少经过多少个单位时间数该病毒的感染人数会超过 10 万人.(参考数据： 2 ≈
(
x
lnx- 1
,0 0 且 a ≠ 1) 为定义在 R 上的奇函数.
ax +1
(3 分) 求 a 的值；
(6 分) 判断函数 f(x) 的单调性，并用定义证明；
(6 分) 解关于 x 的不等式 f(lg3x) + f(3x - 3) < 0.
树德中学高 2025 级高一上学期半期考试数学试题参考答案
22
2 ×3x
2 ×(3x+1 -2
一、选择题，共只有一项是符合题
当 a = 3 时，f (x
= 1 - 3x +1 ，f (-x
= 1 - 1
3x
+1 = 1 - 3x +1 = 1 -
3x +1=-1 +
目要求的。
1 — 8. DCBBACDB
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
2 =-f (-x
3x +1
设 x2 > x1，
，符合函数 f (x 为奇函数，可知 a = 3 符合题意．…3 分
2 2
2 2
2(3x2 -3x1
全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
ACD10. BD11. ABD
有 f (x2
- f (x1
= (1 - 3x2 +1
- (1 - 3x1 +1
= 3x1 +1 - 3x2 +1 = (3x1 +1
(3x2 +1 ，
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12. 213. 充要14.0,1 ;-∞,2
由 x2 > x1，有 3x2 > 3x1 ，有 f (x2 > f (x1 ，故函数 f (x 在 R 上单调递增；9 分
由 f(lg3x) + f(3x - 3) < 0 ⇔ f(lg3x) 1 = ( 1
0，因 y = ( 1
t 单调递减，故 x2 - 5x + 6 < 0，
可知 f (x
在定义域 (0,+∞
上单调递增，且 f (1
= 0，
2
2
即 (x-2
(x-3
< 0，解得 2 < x < 3，故 B = (2,3 . 则 ∁U
B = (-∞,2 ∪3,+∞ ，
对于不等式即为 f (x
< f (1
，解得 0 < x < 1，所以不等式 lg3x < 3 - 3x 的解集是 (0,1 .……15 分
因此 A ∩ ∁UB = (1,27 分
由 (1) 知 B = (2,3 .对于集合A，x-a < 0，即 (x-a (x-3a < 0.
1 8. (1) 因为 φ(x
= g(2 +x + g(2 -x
= lg2(2 +x + lg2(2 -x
= lg2(2 +x
(2 -x .
x-3a
所以要使得 φ(x
有意义，则 (2 +x
(2 -x > 0，解得 x ∈ (-2,2 .
A = (a,3a . 因 x ∈ A 是 x ∈ B 的必要非充分条件，故 B 是 A 的真子集，
因为 φ(x
= lg2(2 +x
(2 -x
= lg2(4 -x2
，0 < 4 - x2 ≤ 4，
则 (a ≤2
，且等号不同时成立，解得 1 ≤ a ≤ 2.实数a 的取值范围是 1,213 分
所以 φ(x ≤ lg24 = 2，所以 φ(x
的定义域为 (-2,2
，值域为 (-∞,24 分
3a ≥3
(2) 因为 mf (2x
≥ 1 - f (x
，所以 m32x + 3x - 1 ≥ 0.
因为 x ∈ (-2,2
，所以 3x ∈ ( 1 ,9
.令t = 3x，则 t ∈ ( 1 ,9
，则不等式变为 mt2 + t - 1 ≥ 0，
9
9
nm⋅ 2n =8,m=1,
所以 m ≥ 1 -t = 1
- 1 = 1 - 1 2 - 1 .
(1) 若选 y = mx ，将 x = 2,y = 8 和 x = 4,y = 64 代入得 (m⋅ 4n =64 ，解得 (n=3 ，
t2t2
t( t24
得 y = x3，代入 x = 6 得 y = 216，这与题干 x = 6 时 y = 511 差异很大，所以该函数模型不适合：
因为 t ∈ ( 1 ,9 ，所以 1
∈ ( 1 ,9 ，所以 - 1
≤ ( 1 - 1
2 - 1
≤ 72.
4
9t94t24
若选 y = k ⋅ ax(k>0,a >1
，将 x = 2,y = 8 和 x = 4,y = 64 代入得 k⋅ a2 =8, ，
(4
k⋅ a =64
所以存在 x 使得不等式成立，则 m 的取值范围是 m ≥- 110 分
解得 k=1,
，得 y = ( 8 )x，代入 x = 6 得 y = 512,x = 8 得 y = 4096，与表中数据接近，
设 y = h(x
= 1 的对称中心为 (a,b
，则函数 t(x
= h(x+a
- b 是奇函数，
8
(a =
f (x +3
∴ y = ( 8 )x 适合作为拟合猴痘病毒感染规律的函数模型；8 分
即 t(x
= 1 - b 是奇函数，则 t(-x
+ t(x
= 1 - b + 1 - b = 0 恒成立，
(2) 设至少需要 x 个单位时间数，则 ( 8 )x > 100000，两边同时取底数为 10 的对数得 xlg 8 > 5，
3x+a +3
(3x+a +3-x+a +6
-2b(31-x+a +31+x+a +32a +9
3-x+a +3
3x+a +3
即3 3
10
10
所以(3-x+a +3
(3x+a+3
= 0 恒成立，
x ⋅ (lg22
> 5，∴ 2 x ⋅ lg2 > 5，又 ∵ lg2 ≈ 0.301，∴ x > 3lg2 ≈ 0.903 ≈ 11.074，
所以 (3x+a +3-x+a +6
- 2b(31-x+a +31+x+a +32a +9
= 0 恒成立。
∵ x ∈ N *, ∴ x 的最小值为 12，
(3 -b32a -9b =0
即至少经过 12 个单位时间数该病毒的感染人数会超过 10 万人.15 分
所以 (1 -6b
(3x+a +3-x+a
+ 2(3 -b32a-9b
= 0.
a -1
因为上式对任意实数 x 恒成立，所以 1 -6b =0，
【解析】(1) 证明：由函数 f (x
为奇函数，有 f (0
= 1 -
2= 0，解得 a = 3，
b = 11 1
解得 (
6 . 所以函数 y =
a =1
f (x
+3 图象的对称中心为 (1, 6
.17 分
19.【详解】(1) ① h(x
+ h( 1
= lgax + lga( 1
= lga1 = 0，所以为“德函数”
从而 f (x
= lga(x2 -ax+4
- 2 在 (1, a
单调递减，( a ,+∞
在单调递增，
x
x
② f (x
+ f ( 1
= x + 1
1 + x ≠ 0，所以不为“德函数”
∴ f (x
∈ (lga(
4 - a2
-2,+∞
⊇ (0,+∞
x
+
③当 x > 1 时，则 1
∈ (0,1)，从而 g(x
+ g( 1
= x + lnx + ln 1
- 1 = 0
∴ lg (4 - a2
≤ 2 = lg a2 ⇔ 0 < 4 - a2
≤ a2 ⇔ 16
≤ a2 < 16 且 2 < a < 4，∴ a ∈ (2，4
x
4
x
xx
1 1
1 1
x 1
x
1
a4a45
 -1 + 21
当 x ∈ (0,1) 时，则 x > 1 从而 g(x
+ g( x
= lnx - x + x + ln x = 0
综上所述 ∴ a ∈ l
2，4
…17 分
当 x = 1 时，g(1 = 0，所以为“德函数”5 分
任取 x1,x2 ∈ (0,+∞ ，且 x1 < x2
0 在 (1,+∞
∴ 0 < a < 4 且 a ≠ 1
恒成立。 ∴ x2 + 4 > ax ⇔ (x+ 4
min
> a ⇔ a < 4
2
① 0 < a < 1, 令 t = x2 - ax + 4 = (x- a
2 + 4 - a2
在 (1,+∞
单调递增，从而 t > 5 - a
4
则 y = g(t) = lgat - 2 单调递减
从而 f (x
= lga(x2 -ax+4
- 2 在 (1,+∞
单调递减，∴ f (x
∈ (-∞,lga(5 -a)-2
⊇ (-∞,0
2
2
∴ lga(5 - a) ≥ 2 = lgaa2 ⇔ 0 < 5 - a ≤ a2 ⇔ a ≤ -1 - 21 或 5 > a ≥ -1 + 21 (舍去)
① 1 < a < 4
2
1 < a ≤ 2，则 1
a ≤ 1，则 t = x2 - ax + 4 = (x- a
4
2 + 4 - a2
在 (1,+∞
单调递增
a ≥ -1 + 21
2
∴ a ∈  -1 + 21 ，2
l2
2
2 < a < 4，则 1 < a
< 2，
2
则 t = x2 - ax + 4 = (x- a
2 + 4 - a2
在 (1, a
单调递减，( a ,+∞
在单调递增
2
2
4
2
2
而 y = g(t) = lgat - 2 单调递增