江苏省无锡市2025_2026学年八年级上学期第一次月考数学（苏科版）试题-附解析

这是一份江苏省无锡市2025_2026学年八年级上学期第一次月考数学（苏科版）试题-附解析，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列三条线段的长度能构成三角形的是( )
A. 1，2，3B. 2，2，4C. 2，9，6D. 4，6，9
【答案】D
2.如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，AF是中线.则下列结论错误的是( )
A. BF=CFB. ∠BAE=∠EAC
C. ∠C+∠CAD=90∘D. S△BAE=S△EAC
【答案】D
3.如图所示的两个三角形全等，则∠α的度数为( )
A. 39°B. 47°C. 86°D. 94°
【答案】D
【解答】
解：∵两个三角形全等，
∴∠β=39°，
∴∠α=180°−47°−39°=94°．
故选：D．
4.如图，在△ABC中，AB=AC，点D在BC的延长线上，观察图中尺规作图的痕迹，则下列结论正确的是 ( )
A. AB // CEB. ∠B与∠ACE是同旁内角
C. ∠DCE=60°D. ∠A=∠DCE
【答案】D
【解析】由作图痕迹可知，∠ACE=∠ABC.∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠ACE=∠ABC=∠ACB.∵∠ABC+∠A+∠ACB=180°，∠ACB+∠ACE+∠DCE=180°，∴∠A=∠DCE.故选D．
5.如图，在△ABC中，∠B=∠C，BF=CD，BD=CE，∠FDE=64°，则∠A的度数是 ( )
A. 42°B. 52°C. 62°D. 51°
【答案】B
【解析】在△BDF和△CED中，BF=CD,∠B=∠C,BD=CE,∴△BDF≌△CED(SAS),∴∠BFD=∠CDE,∵∠FDE+∠CDE=∠B+∠BFD,∴∠B=∠FDE=64°,∴∠C=∠B=64°,∴∠A=180°−∠B−∠C=180°−64°−64°=52°，故选B．
6.如图，在△ABC中，分别以点A，C为圆心，大于12AC的长为半径画弧，两弧交于点P、Q，作直线PQ交AB于点D，连结CD.若∠A=36°，∠B=94°，则∠BCD的度数为( )
A. 10°
B. 14°
C. 20°
D. 24°
【答案】B
【解析】解：∵∠B=94°，∠A=36°，
∴∠ACB=180°−∠A−∠B=180°−36°−94°=50°，
∵PQ是AC的垂直平分线，
∴DA=DC，
∴∠DCA=∠A=36°，
∴∠BCD=∠BCA−∠DCA=50°−36°=14°．
故选：B．
首先根据三角形内角和定理可以求出∠ACB=50°，由尺规作图可知：PQ是AC的垂直平分线，所以可得DA=DC，根据等边对等角可得∠DCA=∠A=36°，根据∠BCD=∠BCA−∠DCA可求结果．
本题考查了尺规作图、三角形内角和定理、等腰三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
7.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交AB，AC于点D，E，再分别以点D，E为圆心，以大于12DE的长为半径作弧，两弧交于点F，作射线AF交BC于点G，若AB=12，CG=3，则△ABG的面积是 ( )
A. 12B. 18C. 24D. 36
【答案】B
【解析】如图，过点G作GH⊥AB于点H， 根据题意得，AF是∠CAB的平分线，∵∠C=90°，∴AC⊥CG，∵GH⊥AB，∴CG=GH=3，∴S▵ABG=12AB⋅GH=12×12×3=18，故选 B．
8.如图，在等腰△ABC中，AB=AC，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，过点O做DE/​/BC，分别交AB、AC于点D、E，若△ADE的周长为18，则AB的长是( )
A. 8B. 9C. 10D. 12
【答案】B
【解析】解：∵在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠ABO=∠OBC，∠ACO=∠OCB，
∵DE/​/BC，
∴∠DOB=∠OBC，∠EOC=∠OCB，
∴∠ABO=∠DOB，∠ACO=∠EOC，
∴BD=OD，CE=OE，
∴△ADE的周长是：AD+DE+AE=AD+OD+OE+AE=AD+BD+CE+AE=AB+AC=18，
∴AB=AC=9．
故选：B．
先根据角平分线的定义及平行线的性质证明∠ABO=∠DOB，∠ACO=∠EOC，再由等角对等边得BD=OD，CE=OE，则△ADE的周长=AB+AC，由此即可解决问题；
本题考查等腰三角形的性质和判定，平行线的性质及角平分线的定义．利用平行线+角平分线推出BD=OD，CE=OE是解题的关键；
9.如图，▵ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分线BP、AP交于点P，延长BA、BC，PM⊥BE，PN⊥BF，则下列结论中正确的个数( )
①CP平分∠ACF；②∠ABC+2∠ACP=180 ∘；③∠ACB=2∠APB；④S△PAC=S△MAP+S△NCP．
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】D
【解析】解：如图，过点P作PD⊥AC于D．
①∵PB平分∠ABC,PA平分∠EAC,PM⊥BE,PN⊥BF,PD⊥AC，
∴PM=PN，PM=PD，
∴PN=PD．
∵PN⊥BF，PD⊥AC，
∴点P在∠ACF的角平分线上，故①正确，符合题意．
②∵PM⊥AB,PN⊥BC，
∴∠ABC+90 ∘+∠MPN+90 ∘=360 ∘，
∴∠ABC+∠MPN=180 ∘．
在Rt▵PAM和Rt▵PAD中，
PM=PDPA=PA,
∴Rt▵PAM≌Rt▵PADHL，
∴∠APM=∠APD，
同理：Rt▵PCD≌Rt▵PCNHL，
∴∠CPD=∠CPN，
∴∠MPN=2∠APC，
∴∠ABC+2∠APC=180 ∘,②正确，符合题意．
③∵PA平分∠CAE,BP平分∠ABC，
∴∠CAE=∠ABC+∠ACB=2∠PAM,∠PAM=12∠ABC+∠APB，
∴∠ACB=2∠APB,③正确，符合题意．
由②可知，Rt▵PAM≌Rt▵PADHL，Rt▵PCD≌Rt▵PCNHL，
∴S▵APD=S▵APM,S▵CPD=S▵CPN，
∴S△APM+S△CPN=S△APC，故④正确，符合题意．
故选：D．
10.如图，AC=DC=3，AD平分∠BAC，AD⊥BD于点D，E为AC的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值为( )
A. 1.5B. 3C. 4.5D. 9
【答案】C
【解析】提示：如图，延长BD，AC交于点H，设AD交BE于点O.因为AD⊥BH，所以∠ADB=∠ADH=90∘，所以∠ABD+∠BAD=90∘，∠H+∠HAD=90∘.因为AD是∠BAC的平分线，所以∠BAD=∠HAD，所以∠ABD=∠H，所以AB=AH.因为AD⊥BH，所以BD=DH.因为AC=DC，所以∠CDA=∠CAD.因为∠CAD+∠H=90∘，∠CDA+∠CDH=90∘，所以∠CDH=∠H，所以CD=CH=AC.因为E为AC的中点，所以AE=EC.所以S▵ABE=14S▵ABH，S▵CDH=14S▵ABH.因为S▵OBD−S▵AOE=S▵ADB−S▵ABE=S▵ADH−S▵CDH=S▵ACD，AC=CD=3，所以当DC⊥AC时，▵ACD的面积最大，最大面积为12×3×3=92．
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.在等腰三角形ABC中，若AB=3，BC=7，则AC= ．
【答案】7
【解析】解：如果AC=AB=3，
3+37，满足三角形三边关系定理，
∴AC=7．
故答案为：7．
由三角形三边关系定理判定等腰三角形的腰长只能是7，于是得到答案．
本题考查等腰三角形的性质，三角形三边关系，关键是要分两种情况讨论．
12.如图，△ABC≌△ADE，BC的延长线经过点E，交AD于F，∠AED=105°，∠CAD=10°，∠B=50°，则∠AFE= °.
【答案】85
【解析】解：∵△ABC≌△ADE，∠AED=105°，
∴∠ACB=∠AED=105°，
∴∠ACF=75°，
又∠CAD=10°，
∴∠AFE=∠FAC+∠ACF=85°，
故答案为：85．
根据全等三角形的性质求出∠ACB=105°，根据平角定义求出∠ACF=75°，然后根据三角形外角的性质求解即可．
本题考查了全等三角形的性质，三角形外角的性质等知识，掌握其性质是解题的关键．
13.如图，为了测量池塘两端A、B的距离，小红在地面上选择了点O、C、D，使OA=OC，OB=OD，且点A、O、C和点B、O、D分别都在一条直线上，只要量出CD的长，就可以知道A、B之间的距离．那么判定△AOB≌△COD的理由是 ．
【答案】SAS
【解答】
解：∵OA=OC，OB=OD，∠AOB=∠COD，
∴△AOB≌△COD(SAS)
所以理由是SAS．
故答案为SAS．
14.如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=54°，点D为AB中点，且OD⊥AB，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将∠C沿EF(E在BC上，F在AC上)折叠，点C与点O恰好重合，则∠OEC= °.
【答案】108
【解析】解：连接OB，OC，
∵∠BAC=54°，AO为∠BAC的平分线，
∴ ∠BAO=12∠BAC=27∘ ．
又∵AB=AC，
∴ ∠ABC=12×180∘−∠BAC=12×180∘−54∘=63∘ ．
∵DO是AB的垂直平分线，
∴OA=OB，
∴∠ABO=∠BAO=27°．
∴∠OBC=∠ABC−∠ABO=36°．
∵AO=AO，∠BAO=∠CAO，AB=AC，
∴△AOB≌△AOC(SAS)．
∴OB=OC，
∴点O在BC的垂直平分线上，
∴∠OCB=∠OBC=36°．
∵将∠C沿EF(E在BC上，F在AC上)折叠，点C与点O恰好重合，
∴OE=CE，
∴∠COE=∠OCB=36°．
在△OCE中，∠OEC=180°−∠COE−∠OCB=108°．
15.如图，△ABC中，∠C=90∘，AC=BC，AD平分∠CAB，交BC于点D，DE⊥AB于点E，且AB=6cm，则△DEB的周长为 ．
【答案】6cm
【解答】
解： ∵AD平分∠CAB，∠C=90∘，DE⊥AB，
∴CD=DE．
在Rt△ACD和Rt△AED中，AD=AD,CD=ED,
∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL)，
∴AC=AE，
∴△DEB的周长=BD+DE+BE=BD+CD+BE=BC+BE=AC+BE=AE+BE=AB，
∵AB=6cm，
∴△DEB的周长为6cm．
16.如图，点P为等边△ABC内一点，若PC=3，PB=4，PA=5，则∠BPC的度数是 ．
【答案】150°
【解析】解：如图，将△BPC绕点B逆时针旋转60°得到△ABD，连接PD，
由旋转的性质得，BD=PB=4，AD=PC=3，∠BPC=∠ADB，
所以，△BDP是等边三角形，
所以，PD=PB=4，∠BDP=60°，
∵AD2+DP2=32+42=25，PA2=52=25，
∴AD2+DP2=PA2，
∴△ADP是直角三角形，∠ADP=90°，
∴∠ADB=60°+90°=150°，
∴∠BPC=150°．
故答案为：150°．
将△BPC绕点B逆时针旋转60°得到△ABD，连接PD，根据旋转的性质可得BD=PB=4，AD=PC=3，∠BPC=∠ADB，判断出△BDP是等边三角形，根据等边三角形的性质可得PD=PB，∠BDP=60°，利用勾股定理逆定理判断出△ADP是直角三角形，∠ADP=90°，然后求出∠ADB，即可得解．
本题考查了旋转的性质，勾股定理逆定理，等边三角形的判定与性质，利用旋转作辅助线构造出直角三角形和等边三角形是解题的关键．
17. 在△ABC中，已知∠A=60°，∠ABC的平分线BD与∠ACB的平分线CE相交于点O，∠BOC的平分线交BC于F，则下列说法中正确的是___．
①∠BOE=60°；②∠ABD=∠ACE；③OE=OD；④BC=BE+CD．
【答案】①③④
【解析】解：①∵∠A=60°，
∴∠ABC+∠ACB=180°−60°=120°，
∵BD、CE分别是∠ABC和∠BCA的平分线，
∴∠OBC+∠OCB=12×120°=60°，
∴∠BOE=∠OBC+∠OCB=60°，
故①正确；
②∵BD、CE分别是∠ABC和∠BCA的平分线，
∴∠ABD=12∠ABC，∠ACE=12∠ACB，
无法通过已知条件得到∠ABC=∠ACB，
∴∠ABD=∠ACE不一定成立，
故②不正确；
③∵∠OBC+∠OCB=60°，
∴∠BOC=120°，
∵OF平分∠BOC，
∴∠BOF=∠COF=60°，
∵∠BOE=60°，
∴∠BOE=∠BOF，
在△BOE和△BOF中，
∵∠BOE=∠BOFOB=OB∠EBO=∠FBO，
∴△BOE≌△BOF(ASA)，
∴OE=OF，
同理得：△CDO≌△CFO，
∴OD=OF，
∴OD=OE，
故③正确；
④∵△BOE≌△BOF，△CDO≌△CFO，
∴BF=BE，CF=CD，
∴BC=CF+BF=BE+CD，
故④正确；
则正确的是：①③④
故答案为①③④．
①正确．根据外角的性质得：∠BOE=∠OBC+∠OCB=60°；
②不正确．∠ABD=12∠ABC，∠ACE=12∠ACB，当AB=AC时，∠ABC=∠ACB，才有∠ABD=∠ACE；
③只要证明△BOE≌△BOF，△CDO≌△CFO，即可解决问题；
④根据③中的三角形全等，可得对应边相等，相加可得结论．
本题考查角平分线的定义，三角形外角的性质，全等三角形的判定和性质．解题的关键是熟练掌握证明三角形全等的方法解决问题，属于中考常考题型．
18.如图，在锐角△ABC中，∠A=30°，BC=3，S△ABC=8，点P是边BC上的一动点，点P关于直线AB，AC的对称点分别是M，N，连接MN，则MN的最小值为 ．
【答案】163
【解析】如图，连接PM，PN，AM，AP，AN，
∵点P关于直线AB，AC的对称点分别是M，N，∴AB垂直平分PM，AC垂直平分PN，∴AM=AP，AN=AP，∠MAB=∠PAB，∠NAC=∠PAC.∵∠PAB+∠PAC=30°，∴∠MAB+∠NAC=30°，∴∠MAN=60°，∴△AMN是等边三角形，∴MN=AM=AP.当AP⊥CB时，AP最小，此时NM最小．∵S△ABC=8，∴ 12BC⋅AP=8 ，∴ AP=163 ，∴MN的最小值是 163 ．
三、解答题：本题共8小题，共96分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
(1)小明在生活中遇到了这样一个问题：如图①，A，B，C表示三个村庄，现在要建一个货物中转站P，要求它到三个村庄的距离相等，请确定其位置.你能帮助小明解决这个问题吗？(简要说明你的思路，不要求作图)
(2)通过上述题目的解决，我们在平时的学习中可以解决很多类似的问题，那么请你利用手中的直尺(不能使用圆规)，在下列正方形网格(如图②，③)中找到一点O，使它到A，B，C三点的距离相等.(注意保留作图痕迹)
【答案】(1)构造线段AB，AC，分别作两条线段的垂直平分线，交于点P，此时P为所作的货物中转站，原理是线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.
(2)如图①②即为所求.（合理即可）

【解析】1. 略
2. 略
20.(本小题8分)
如图，AD是△ABC的高，CE是△ABC的角平分线，BF是△ABC的中线．
(1)若∠ACB=50°，∠BAD=65°，求∠AEC的度数；
(2)若BC−AB=9，求△BCF与△BAF的周长之差．
【答案】50°；
9
【解析】(1)∵AD是△ABC的高，
∴∠ADB=90°，
∴∠ABD=90°−∠BAD=90°−65°=25°，
∵CE是△ABC的角平分线，
∴∠BCE=12∠ACB=12×50°=25°，
∴∠AEC=∠ABD+∠BCE=50°；
(2)∵BF是△ABC的中线，
∴AF=CF，
∴BC+BF+CF−(AB+AF+BF)=BC−AB=9，
∴△BCF与△BAF的周长之差为9．
(1)由直角三角形的性质求出∠ABD=25°，由角平分线的定义得到∠BCE=12∠ACB=25°，由三角形的外角性质得到∠AEC=∠ABD+∠BCE=50°；
(2)由三角形的中线定义得到AF=CF，因此△BCF与△BAF的周长之差=BC−AB=9．
本题考查三角形的角平分线、中线和高，关键是掌握三角形的角平分线和中线的定义．
21.(本小题8分)
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，延长AB至点D，使DB=AB，连接CD，以CD为边作△CDE，其中∠DCE=90°，CD=CE，连接BE．
(1)求证：△ACD≌△BCE；
(2)BE与AD有何位置关系？请说明理由．
【答案】∵△CDE是等腰直角三角形，∠DCE=90°，
∴CD=CE，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠DCE，
∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
AC=BC∠ACD=∠BCECD=CE，
∴△ACD≌△BCE(SAS)；
BE⊥AD，理由如下：
由 得：△ACD≌△BCE，
∴∠ADC=∠BEC，
∵∠BOD=∠COE，
∴∠DBE=∠DCE=90°，
∴BE⊥AD
【解析】(1)证明：∵△CDE是等腰直角三角形，∠DCE=90°，
∴CD=CE，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠DCE，
∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
AC=BC∠ACD=∠BCECD=CE，
∴△ACD≌△BCE(SAS)；
(2)解：BE⊥AD，理由如下：
由(1)得：△ACD≌△BCE，
∴∠ADC=∠BEC，
∵∠BOD=∠COE，
∴∠DBE=∠DCE=90°，
∴BE⊥AD．
(1)根据等腰直角三角形的性质得到CD=CE，CA=CB，然后利用“SAS”可判断△ACD≌△BCE即可；
(2)由全等三角形的性质得出∠ADC=∠BEC，由∠BOD=∠COE，根据三角形内角和定理得出∠DBE=∠DCE=90°即可．
本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、四点共圆、圆周角定理等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等是解决问题的关键．
22.(本小题8分)
已知△ABC中，BE平分∠ABC，BE交AC于点E，CD平分∠ACB，交AB于点D，BE与CD交于点O．
(1)如图1.求证：∠BOC=90°+12∠BAC；
(2)如图2，连接OA，求证：OA平分∠BAC．
【答案】∵BE平分∠ABC，CD平分∠ACB，
∴设∠ABE=∠CBE=12∠ABC=α，∠ACD=∠BCD=12∠ACB=β，
∴∠BAC=180°−∠ABC−∠ACB=180°−2∠ABE−∠ABC=180°−2α−2β，
∠BOC=180°−∠CBO−∠BCO=180°−α−β，
∴∠BOC=90°+12∠BAC；
过O作OF⊥AB于点F，作OG⊥BC于点G，作OH⊥AC于点H，

∵BE平分∠ABC，
∴OF=OG，
∵CD平分∠ACB，
∴OG=OH，
∴OF=OH(等量代换)．
∴OA平分∠BAC
【解析】证明：(1)∵BE平分∠ABC，CD平分∠ACB，
∴设∠ABE=∠CBE=12∠ABC=α，∠ACD=∠BCD=12∠ACB=β，
∴∠BAC=180°−∠ABC−∠ACB=180°−2∠ABE−∠ABC=180°−2α−2β，
∠BOC=180°−∠CBO−∠BCO=180°−α−β，
∴∠BOC=90°+12∠BAC；
(2)过O作OF⊥AB于点F，作OG⊥BC于点G，作OH⊥AC于点H，
∵BE平分∠ABC，
∴OF=OG，
∵CD平分∠ACB，
∴OG=OH，
∴OF=OH(等量代换)．
∴OA平分∠BAC．
(1)根据角平分线和三角形内角和定理得到∠BAC=180°−∠ABC−∠ACB=180°−2α−2β，∠BOC=180°−∠CBO−∠BCO=180°−α−β，即可得到结论；
(2)过O作OF⊥AB于点F，作OG⊥BC于点G，作OH⊥AC于点H，根据角平分线的性质得到OF=OG，OG=OH，则OF=OH.根据角平分线的判定即可得到结论．
此题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是关键．
23.(本小题8分)
如图，在等腰△ABC中，AB=AC，E，F分别是AB，AC的中点．
(1)如图，用直尺和圆规作∠BAC的平分线交BC于点D，连接DE，DF.(要求：只保留作图痕迹)
(2)已知：如图，等腰△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，E，F分别是AB，AC的中点.求证：DE=DF．
【答案】用直尺和圆规作∠BAC的平分线交BC于点D，连接DE，DF，补全图形如下：

∵E，F分别是AB，AC的中点，
∴AF=12AC，AE=12AB，
∵AB=AC，
∴AE=AF，
∵AD平分∠BAC，
∴∠EAD=∠FAD，
在△ADE和△ADF中，
AE=AF∠EAD=∠FADAD=AD，
∴△ADE≌△ADF(SAS)．
∴DE=DF
【解析】(1)解：用直尺和圆规作∠BAC的平分线交BC于点D，连接DE，DF，补全图形如下：
(2)证明：∵E，F分别是AB，AC的中点，
∴AF=12AC，AE=12AB，
∵AB=AC，
∴AE=AF，
∵AD平分∠BAC，
∴∠EAD=∠FAD，
在△ADE和△ADF中，
AE=AF∠EAD=∠FADAD=AD，
∴△ADE≌△ADF(SAS)．
∴DE=DF．
(1)用直尺和圆规作∠BAC的平分线交BC于点D，连接DE，DF即可；
(2)用SAS证明△ADE≌△ADF即可得出结论．
本题考查了作图−作角平分线，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质定理为解题关键．
24.(本小题8分)
已知在△ABC中，∠ABC=90∘，BA=BC，点D是AC边的中点，点E、F分别在射线AB、BC上，且DE⊥DF．
(1)试说明BD=12AC的理由；
(2)如图1，当点E在AB上、点F在BC上时，试说明DE=DF的理由；
(3)如图2，当点E在AB的延长线上、点F在BC的延长线上时，试问△BEF、△DEF与△ABC三者面积间有怎样的数量关系，并说明理由．
【答案】解：(1)∵在△ABC中，BA=BC，∠ABC=90∘，
∴∠A=∠C=45°，
∵BA=BC，点D是AC边的中点，
∴BD⊥AC，∠ABD=∠CBD=12∠ABC=45°
∴∠ABD=∠CBD=∠A=∠C，
∴AD=BD=CD，即BD=12AC；
(2)∵DE⊥DF，
∴∠FDB+∠BDE=90°．
由(1)可知：BD⊥AC，
∴∠FDB+∠CDF=90°，
∴∠BDE=∠CDF，
在△EDB和△FDC中，
∠BDE=∠CDFDB=DC∠DBE=∠C
∴△EDB≌△FDC(ASA)，
∴DE=DF；
(3)S△DEF=12S△ABC+S△BEF，理由如下：
∵∠DBE+∠ABD=180°，∠DCF+∠ACB=180°，∠ABD=∠ACB，
∴∠DBE=∠DCF，
同(2)可得∠BDE=∠CDF，
在△EDB和△FDC中，
∠BDE=∠CDFDB=DC∠DBE=∠DCF
∴△EDB≌△FDC(ASA)，
∴S△DBE=S△DCF
∴S△DEF=S四边形DBEF−S△DBE=S△DBC+S△DCF+S△BEF−S△DBE=S△DBC+S△BEF
∵S△DBC=12⋅DC⋅DB，S△ABC=12⋅AC⋅DB，DC=12AC，
∴S△DBC=12S△ABC
∴S△DEF=12S△ABC+S△BEF．
25.(本小题8分)
如果一个三角形被一条线段分割成两个等腰三角形，那么这种分割称为等腰分割，这条线段称为这个三角形的等腰分割线．如图①，当△ABD和△ACD为等腰三角形时，AD为△ABC的等腰分割线．
(1)如图②，在△ABC中，∠B=2∠C，线段AC的垂直平分线ED交AC于点D，交BC于点E.求证：AE是△ABC的一条等腰分割线；
(2)在△ABC中，AD为△ABC的等腰分割线，AD=BD，∠C=30°，请你画出所有可能的图形并求出∠B的度数．
【答案】(1)∵DE是线段AC的垂直平分线，∴EA＝EC，即△EAC是等腰三角形，∴∠EAC＝∠C，∴∠AEB＝∠EAC＋∠C＝2∠C．∵∠B＝2∠C，∴∠AEB＝∠B，即△EAB是等腰三角形，∴AE是△ABC是一条等腰分割线．
(2)∵线段AD即为所求分割线，∴△ABD和△ACD都是等腰三角形．①如图①，当AD＝CD＝BD时，∠C＝∠CAD＝30°，∴∠ADB＝∠C＋∠CAD＝30°＋30°＝60°．∵AD＝BD，∴∠B＝∠BAD＝60°；②如图②，当AD＝BD＝AC时，∠ADC＝∠C＝30°．∵AD＝BD，∴∠B＝∠DAB．∵∠ADC＝∠B＋∠BAD＝30°，∴∠B＝15°；③如图③，当AD＝BD，AC＝CD时，∠CAD=∠ADC=180∘−30∘2=75∘，∵∠ B＝∠BAD，∠ADC＝∠B＋∠BAD，∴∠B＝37.5°．综上所述，∠B的度数为60°或15°或37.5°．

【解析】1. 见答案
2. 见答案
26.(本小题8分)
通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：
(1)【模型理解】如图①，△ABC，△ADE共顶点A，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，连接BD，CE.由∠BAC−∠DAC=∠DAE−∠DAC，得∠BAD=∠CAE.又AB=AC，AD=AE，可以推理得到△ABD≌△ACE，进而得到BD= ，∠ABD= ．
(2)【问题研究】
小明同学在思考完上述问题后，解决了下面的尺规作图问题．
如图②，已知直线a，b及点P，a与b不平行.作等腰直角三角形PAB，使得点A，B分别在直线a，b上.小明同学作法简述如下：如图③，过点P作PD⊥a，垂足为点D，以P为直角顶点作等腰直角三角形PDE，过点E作EB⊥PE，交b于点B，在a上截取DA=BE，连接AB．△PAB即为所要求作的等腰直角三角形．
请证明小明的作法是正确的．
(3)【深入研究】小明同学经过研究发现：在上题条件下，也能作出等边三角形PAB，使得点A，B分别在直线a，b上.请你简述作法，并在图④中画出示意图.(不需要尺规作图)
【答案】(1)CE
;∠ACE
(2)∵△PDE是以P为直角顶点的等腰直角三角形，∴PE=PD，∠DPE=90 ∘.
∵EB⊥PE，PD⊥a，∴∠PEB=∠PDA=90 ∘，
在△PEB和△PDA中，EB=DA,∠PEB=∠PDA,PE=PD,
∴△PEB≌△PDASAS，∴PB=PA，∠BPE=∠APD，
∴∠APB=∠APE+∠BPE=∠APE+∠APD=∠DPE=90 ∘，
∴△PAB即为所要求作的等腰直角三角形.

(3)如图，△PAB即为所求.
作法：1.作PF⊥a于点F；
2.以PF为边在PF右侧作等边三角形PFG；
3.以FG为边在FG上方作等边三角形FGH；
4.连接PH交直线a于点I；
5.连接并延长IG交直线b于点B；
6.在射线FI上取一点A，连接PB，PA，使PA=PB，连接AB.

【解析】1.
∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC−∠DAC=∠DAE−∠DAC，∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，AB=AC,∠BAD=∠CAE,AD=AE,∴△ABD≌△ACESAS,
∴BD=CE，∠ABD=∠ACE.故答案为CE，∠ACE．
2. 略
3. 略