2025-2026学年广东省深圳市南山区前海学校九年级（上）期中数学试卷（含答案+解析）

这是一份2025-2026学年广东省深圳市南山区前海学校九年级（上）期中数学试卷（含答案+解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列方程是一元二次方程的是( )
A. x2−2y=0B. 2−x2=0C. 2x=1D. 2x2+x=2
2.已知x1，x2是方程x2−3x+1=0的两个实数根，则x1x2的值为( )
A. −1B. 1C. −3D. 3
3.如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，下列哪个条件能够使得▱ABCD是矩形( )
A. AB=AD
B. ∠ABC=∠BCD
C. ∠ABD=∠CBD
D. AO⊥BO
4.不透明袋子中仅有红、黄小球各一个，这两个小球除颜色外都相同.从中随机摸出一个小球，记下颜色后，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，则两次摸出相同颜色的小球的概率为( )
A. 14B. 13C. 12D. 23
5.大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金比.如图，点B为AC的黄金分割点(AB>BC)，若AC=100cm，则AB长为( )cm.
A. 150−50 5
B. 100 5−100
C. 50 5−50
D. 50 5+50
6.下列命题中，是真命题的是( )
A. 相等的角是对顶角
B. 四边都相等的四边形是矩形
C. 菱形的对角线垂直且相等
D. 相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方
7.若关于x的一元二次方程kx2+2x−1=0有实数根，则k的取值范围是( )
A. k≥−1且k≠0B. k≥−1C. k>−1D. k>−1且k≠0
8.如图，菱形ABCD的边长为3，∠ADC=60∘，过点D作DE⊥AB，交BA的延长线于点E，连接CE分别交BD、AD于点G、F，则CG的长为( )
A. 75
B. 2 75
C. 3 75
D. 4 75
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
9.若x=1是一元二次方程x2−3x+m=0的一个根，则m=______.
10.已知xy=35，则2x−yy= .
11.如图，若l1//l2//l3，AB=6，BC=4，DF=12，则EF长为 .
12.七巧板起源于我国宋代，后流传于世界各国.在“综合与实践”课堂上，兴趣小组同学用一张正方形纸板依据图1，经过折叠、剪切，制作了如图2所示的七巧板，再拼成如图3所示的作品，最后在作品上随机钉一枚图钉，将其固定在桌面上，则图钉的钉尖恰好落在①区域的概率是 .
13.如图，正方形ABCD的边长为6，点E是BC的中点，AE与BD交于点P，F是CD上一点，连接AF分别交BD，DE于点M、N，且AF⊥DE，连接PN，则PN的长为 .
三、解答题：本题共6小题，共50分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.(本小题8分)
解方程：
(1)x2−6x+5=0；
(2)(x−2)(x+3)=−6.
15.(本小题7分)
目前人工智能市场分为A：决策类人工智能，B：人工智能机器人，C：语音类人工智能，D：视觉类人工智能四大类型.为了了解人们对以上四类人工智能的兴趣，某学校就”你最关注的人工智能类型”进行了一次调查，并将调查结果绘制成如图统计图(不完整).请根据图中提供的信息，解答下列问题：
(1)此次共调查了______人，扇形统计图中C类对应的圆心角度数为______；
(2)该学校根据调查结果计划开展一门AI社团课，从众数的角度考虑，应将主题定为______类(填A、B、C或D)；
(3)将四个类型的图标依次制成A、B、C、D四张卡片(卡片背面完全相同)，将四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上.从中随机抽取一张，记录卡片的内容后放回洗匀，再随机抽取一张，用树状图或列表求抽取到的两张卡片内容相同的概率.
16.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示，顶点坐标分别为A(−2,−4)，B(−6,−2)，C(−4,−6).
(1)作出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1；
(2)以原点O为位似中心，在y轴右侧画出△ABC的位似图形△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC的位似比是1：2；
(3)若M(m,n)是线段AB上一点，M2是第(2)问△A2B2C2上的对应点，则M2坐标为______.
17.(本小题8分)
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，CD是Rt△ABC的斜边AB上的中线，过点A和点C分别作CD和AB的平行线交于点E.
(1)求证：四边形AECD是菱形；
(2)若∠E=45∘，AE=4，求四边形ABCE的面积.
18.(本小题9分)
某超市于今年年初以每件25元的进价购进一批商品，当商品售价为40元时，一月份销售256件，二、三月该商品十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，三月份的销售量达到400件，假设二、三这两个月的月平均增长率不变.
(1)求二、三这两个月的月平均增长率；
(2)从四月份起，超市决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量在400件的基础上增加5件，当商品降价多少元时，超市获利4250元？
19.(本小题10分)
定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形.
(1)将斜边相等的两块三角板按如图1放置，其中含45∘角的三角板ABC的斜边与含30∘角的三角板ADC的斜边重合，B、D位于AC的两侧，其中∠ACD=30∘，连接BD，若BC=2，则AB的长为______， AD的长为______，四边形 ABCD______邻等对补四边形(填“是”或“不是”)；
(2)如图2，在邻等对补四边形ABCD中，AB=AD，∠BCD=60∘，若BCCD=53，求ACAB的值；
(3)如图3，在Rt△ABC中，∠B=90∘，AB=6，BC=8，分别在边BC、AC上取点M、N，使四边形ABMN是邻等对补四边形，请直接写出BN的长.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A.该方程是二元二次方程，故本选项不符合题意；
B.该方程是一元二次方程，故本选项符合题意；
C.该方程是一元一次方程，故此选项不符合题意；
D、该方程是分式方程，故此选项不符合题意．
故选：B.
根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程进行分析即可．
此题主要考查了一元二次方程的定义，解题的关键是掌握判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
2.【答案】B
【解析】解：∵x1，x2是方程x2−3x+1=0的两个实数根，
∴x1x2=1.
故选：B.
利用根与系数的关系，即可求出x1x2的值．
本题考查了根与系数的关系，牢记“一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根之和等于−ba，两根之积等于ca”是解题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，AB=AD，
∴平行四边形ABCD是菱形，故选项A不符合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，
∴∠ABC+∠BCD=180∘，
∵∠ABC=∠BCD，
∴∠ABC=∠BCD=90∘，
∴平行四边形ABCD是矩形，故选项B符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，
∴∠ABD=∠CDB，
∵∠ABD=∠CBD，
∴∠CDB=∠CBD，
∴CD=CB，
∴平行四边形ABCD是菱形，故选项C不符合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，AO⊥BO，
∴平行四边形ABCD是菱形，故选项D不符合题意；
故选：B.
由矩形的判定和菱形的判定分别对各个选项进行判断即可．
本题考查了矩形的判定、菱形的判定以及平行四边形的性质，熟练掌握矩形的判定和菱形的判定是解题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：从中随机摸出一个小球，记下颜色后，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，列表如下：
共有4种等可能的结果，其中两次摸出相同颜色的小球的结果有2种，
∴两次摸出的都是红球的概率为24=12.
故选：C.
列表可得出所有等可能的结果数以及两次摸出相同颜色的小球的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法，概率公式，熟练掌握列表法与树状图法是解答本题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：由题意知，BCAB=ABAC= 5−12，即BCAB=AB100= 5−12，
解得AB=50( 5−1)=50 5−50.
故选：C.
由题意知，BCAB=ABAC= 5−12，即BCAB=AB100= 5−12，然后计算即可解答．
本题考查了黄金分割．熟练掌握黄金分割是解题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：A、相等的角不一定是对顶角，故本选项命题是假命题，不符合题意；
B、四边都相等的四边形是菱形，不一定是矩形，故本选项命题是假命题，不符合题意；
C、菱形的对角线垂直不一定相等，故本选项命题是假命题，不符合题意；
D、相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，是真命题，符合题意；
故选：D.
根据对顶角的定义、矩形的判定、菱形的性质、相似三角形的性质判断．
本题考查的是命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
7.【答案】A
【解析】解：根据题意得k≠0且△=22−4k×(−1)≥0，
解得k≥−1且k≠0.
故选：A.
根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k≠0且△=22−4k×(−1)≥0，然后求出两个不等式的公共部分即可．
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2−4ac：当△>0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△