辽宁省实验中学2025-2026学年高二上学期期中阶段测试数学试卷（Word版附解析）

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数学试卷
一、单选题
1．直线的一个方向向量是（ ）
A．B．C．D．
2．若直线∥平面α，且l的方向向量为，平面α的法向量为，则为（ ）
A．4B．1C．D．
3．已知在正四面体ABCD中，M为棱BD的中点，O为的重心，设，，，则（ ）
A．B．
C．D．
4．阿基米德（公元前287年－公元前212年）不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家.他利用“逼近法”得到椭圆的面积为圆周率π乘以椭圆的长半轴长和短半轴长，若椭圆C的对称轴为坐标轴，焦点在y轴上，且椭圆C的离心率为，面积为，则椭圆C的方程为（ ）
A．B．
C．D．
5．如图，在平行六面体中，，，，，，则线段的长为（ ）
A．B．C．3D．5
6．已知直线，的斜率分别为，，倾斜角分别为，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
7．已知三棱锥，平面，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
8．若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
9．下面四个结论正确的是（ ）
A．已知向量，，若，则为钝角
B．已知，，则向量在向量上的投影向量是
C．若直线经过第三象限，则，
D．已知A，B，C三点不共线，对于空间任意一点O，若，则P，A，B，C四点共面
10．已知正方体的棱长为1，则下列四个命题中正确的是（ ）
A．两条异面直线和所成的角为B．直线与平面所成的角等于
C．点C到平面的距离为D．四面体的体积是
11．已知椭圆的左、右焦点分别为、，且焦距为2c，离心率为e，直线与椭圆交于A，B两点，则下列说法中正确的有（ ）
A．的周长为4aB．若，则的最小值为3c
C．若AB的中点为M，则D．若，则的取值范围为
三、填空题
12．已知直线，当k变化时，点到直线l的距离的取值范围是 .
13．已知点关于坐标平面Oxy的对称点为，点关于坐标平面Oxz的对称点为，点关于y轴的对称点为，则 .
14．已知实数x，y满足，则的取值范围是 .
四、解答题
15．已知直线；直线．
(1)若，求实数的值；
(2)若，且它们之间的距离为，求直线的斜截式方程．
16．已知两圆和.求：
(1)取何值时，两圆相内切？
(2)当时，求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长.
17．如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面ABC，，，，D，E分别是线段和上的点，且，，为线段的中点.
(1)求证：∥平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值；
(3)求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
18．已知椭圆的左右焦点分别为，，短轴的上下端点分别为，，长轴长为，为等腰直角三角形.
(1)求椭圆C的方程；
(2)请求出过点且与椭圆C相切的直线方程，并表示为一般式；
(3)过左焦点且与坐标轴不垂直的直线l，与曲线C相交于A，B两点，AB的中点为M，求三角形面积的取值范围.
19．已知圆方程、椭圆方程都是二元二次方程，但是二元二次方程可以表示多种曲线，甚至可以表示两条直线，例如“”可以写为“”即表示直线“和”，请解决如下问题
(1)已知方程表示两条直线，请写出这两条直线的一般式方程.
(2)已知方程表示中心在原点，经过“旋转”之后的椭圆，请求出该椭圆的对称轴所在的直线方程，椭圆的长轴长，短轴长和焦距.
(3)已知旋转变换的规则如下：点绕原点逆时针旋转后得到点，其中，现有二元二次方程，是一个中心在原点，焦点在轴上的椭圆E逆时针旋转角（）后所得的方程，请求出椭圆E的标准方程和的值.
参考答案
1．A
【详解】直线的斜率，所以直线的一个方向向量为，
故选：A.
2．C
【详解】因为直线∥平面α，
所以,
得,
得,
故选：C
3．A
【详解】在正四面体ABCD中，连接并延长交于，由O为的重心，得是的中点，
而M为棱BD的中点，则
.
故选：A
4．B
【详解】设椭圆的长短半轴长分别为，由椭圆C的离心率为，得，
则，由椭圆的面积为，得，则，
因此，而椭圆的焦点在y轴上，
所以椭圆的方程为.
故选：B
5．A
【详解】在平行六面体中，取为空间的一个基底，
由，，得，
，而，
因此.
故选：A
6．A
【详解】若，则，
又，可得，
所以或，
所以中较大的倾斜角在内，其斜率为负，
较小的倾斜角在内，其斜率为正，所以，
所以“”是“”的充分条件，
若，不妨取，此时，
所以，
所以“”不是“”的必要条件.
故选：A.
7．B
【详解】如图：以A为原点，平行与的直线为轴，
所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
设，则，，，
则，，
所以直线与所成角的余弦值.
故选：B.
8．D
【详解】由可得，
即直线过定点，
由可得，
即或，
作直线与曲线的图像，
由圆心到直线的距离可得或（舍去），
即切线的斜率，同理可得，
又，所以，,
由图象可知，当或时，直线与曲线有2个交点，
故选：D
9．BD
【详解】对于A，当时，，，，
此时，故A错误；
对于B，向量在向量上的投影向量为，故B正确；
对于C，令，则直线为，且经过第三象限，但此时，故C错误；
对于D，因为，，所以由空间向量共面定理的推论可得，，，四点共面，故D正确；
故选：BD
10．ACD
【详解】以点为坐标原点，建立下图所示空间直角坐标系，
正方体的棱长为1，
，
，
，
两条异面直线和所成的角为，故A正确；
平面的法向量，，
设直线与平面所成的角为，
则，
，故B错误；
，，
设平面的法向量，
，令，则，
，点到平面的距离如下，
为，故C正确；
而四面体为正方体减去4个角剩余的部分，
即
，故D正确．
故选：ACD．
11．ACD
【详解】
对于A，因点是椭圆上的两点，则，
而的周长为，故A正确；
对于B，因，则，由消去，
整理得，因直线恒过点，则，
设，则有，
则，
设，则，且，于是，
因，易得，则有，故B错误；
对于C，同B项，设，则，则，即得，
又，两式相减，可得，整理得，故有，即C正确；
对于D，依题意，，
则，则（*），
由可得，代入（*），可得，解得，
因，则，化简得，
因，则，即得，解得，故D正确.
故选：ACD.
12．
【详解】因为直线，所以直线过定点，
所以当直线与直线垂直时，到直线l的距离最大，
此时，
又因为当直线过点时，，所以.
故答案为：.
13．
【详解】点关于平面Oxy的对称点，点关于平面Oxz的对称点，
点关于y轴的对称点，所以.
故答案为：
14．
【详解】如图，设直线方程为，设为圆上任意一点，
则，由图可知圆在直线的上方，且在第一象限，所以.
而，所以.
所以要求的取值范围，只需求的范围即可.
由图可知，过原点与圆相切的一条直线为，设另一条切线为，
那么的范围在与之间，
则，化简得，解得或.
可以得到，联立直线与圆的方程得，
解得，所以.
计算，此时；
计算，此时.
所以，解得.
故答案为：.
15．(1)
(2)或
【详解】（1），，直线的斜率，
直线的斜率，解得．
（2），，解得，
直线的方程，即，
又直线，
两平行直线间距离，解得或，
当时，直线的方程为，斜截式方程为；
当时，直线的方程为，斜截式方程为．
16．(1)；
(2)公共弦所在直线方程为，公共弦长为.
【详解】（1）设圆：，可化为，
则圆心，半径，
设圆：，可化为，
则圆心，，
由于圆心距，，
则要使得两圆内切，需，即，解得.
（2）当时， 圆：，
两圆的方程相减，可得，即，
则两圆的公共弦方程为.
则圆心到公共弦的距离为，
由弦长公式，可得弦长为.
17．(1)证明见解析；
(2)
(3)
【详解】（1）设的中点为，连接，则，
又平面，平面，所以平面；
连接，因为且，
所以是平行四边形，所以，
又平面，平面，所以平面；
又，且平面，平面，
所以平面平面， 又平面，
所以平面；
（2）依题意，以为原点，分别以的方向为轴，建系如图，
得，，，，，，，，．
所以，，
设平面的法向量为，则，
令，则平面的一个法向量为，
于是．
所以，与平面所成角的正弦值为．
（3）设平面的法向量为，
，
则，取，
由（2）知，平面的一个法向量为，
则，
故平面与平面所成锐二面角的余弦值为．
18．(1)
(2)和
(3)
【详解】（1）根据题意，，
又为等腰直角三角形，所以，
根据，所以，
所以椭圆C的方程为；
（2）过点的直线斜率不存在时为，
此时直线与椭圆显然相切，
当斜率存在时，设直线为，
联立方程组，
得，
得，
解得，则直线方程为,
所以过点且与椭圆C相切的直线方程为和；
（3）由（1）可知，
设过左焦点且与坐标轴不垂直的直线l：，
，
联立方程组，
得，
所以，
所以，即，
又，则，且，
则点到直线的距离为，
所以，
设，则，
若，即时，，
若，则，
解得，
又当时，，
令，解得，即或，
因为，所以当时面积，
因此函数在的定义域上可以取到值，其值域为，
所以面积的取值范围为.
19．(1)和；
(2)对称轴方程，长轴长，短轴长，焦距；
(3)，.
【详解】（1）方程，
则或，
所以这两条直线的一般式方程为和.
（2）在椭圆上任取点，则点关于直线对称点分别为
显然，
即点都在椭圆上，因此该椭圆对称轴方程为；
由，得椭圆顶点，
由，得椭圆顶点，
因此该椭圆的长轴长，短轴长，
.
（3）依题意，原椭圆方程为，
整理得
，
而原椭圆方程是标准方程，无项，因此，
即，则，由，得，
解得，于是，椭圆的方程为，题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
C
A
B
A
A
B
D
BD
ACD
题号
11









答案
ACD