专题7.7 期末复习之解答压轴题十三大题型总结-【新教材】2024-2025学年七年级数学上册举一反三系列（浙教版2024）习题+答案

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\l "_Tc14916" 【题型1 化简绝对值求最值问题】 PAGEREF _Tc14916 \h 1
\l "_Tc23378" 【题型2 数轴上的动点问题】 PAGEREF _Tc23378 \h 7
\l "_Tc12151" 【题型3 有理数运算的规律探究】 PAGEREF _Tc12151 \h 14
\l "_Tc29770" 【题型4 有理数运算的实际应用】 PAGEREF _Tc29770 \h 21
\l "_Tc27777" 【题型5 整式加减的应用】 PAGEREF _Tc27777 \h 26
\l "_Tc20603" 【题型6 由整式加减解决整除问题】 PAGEREF _Tc20603 \h 31
\l "_Tc7327" 【题型7 由整式加减解决图形周长问题】 PAGEREF _Tc7327 \h 37
\l "_Tc30247" 【题型8 解特殊的一元一次方程】 PAGEREF _Tc30247 \h 41
\l "_Tc32035" 【题型9 与一元一次方程有关的新定义问题】 PAGEREF _Tc32035 \h 45
\l "_Tc1321" 【题型10 与线段有关的定值问题】 PAGEREF _Tc1321 \h 52
\l "_Tc20249" 【题型11 与线段有关的动点问题】 PAGEREF _Tc20249 \h 61
\l "_Tc24688" 【题型12 三角板中的角度计算】 PAGEREF _Tc24688 \h 69
\l "_Tc24427" 【题型13 实际问题中的角度计算】 PAGEREF _Tc24427 \h 77
【题型1 化简绝对值求最值问题】
【例1】（2024七年级·四川眉山·期末）数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作a，数轴上表示数a的点与表示数b的点的距离记作a−b，如数轴上表示数5的点与表示数7的点的距离为5−7=2，5+7=5−−7表示数轴上表示数5的点与表示数−7的点的距离，a−5表示数轴上表示数a的点与表示数5的点的距离．根据以上材料回答下列问题：
(1)①若x−2=3，则x=_____，
②x−3+x+2=5，则x的取值为_____；
(2)x+1+x−2+x−3最小值为_____；
(3)求x−2020+2x−2021+3x−2022+4x−2023+5x−2024的最小值，并求出此时x的取值范围．
【答案】(1)①5或−1；②−2≤x≤3
(2)4
(3)15，当x=2023时其和取得最小值
【分析】本题考查绝对值的几何意义，数轴上两点之间的距离，正确掌握数轴上两点之间的距离的计算方法是解题的关键．
（1）①根据绝对值的几何意义，以及数轴上两点之间的距离求解，即可解题；
②根据绝对值的几何意义，以及数轴上两点之间的距离求解，即可解题；
（2）在数轴上表示x的点到三个点表示的数之间的距离之和最小，即x取三个数中间的数时，距离之和取最小值，据此求解即可；
（3）根据绝对值的几何意义，以及数轴上两点之间的距离，结合数轴直观可得当x=2023时其和取得最小值，即可解题．
【详解】（1）解：①x−2=3表示数轴上表示x的点到−1的距离为3，
∴x−2=3或x−2=−3，
解得x=5或−1，
故答案为：5或−1．
②x−3+x+2=5，表示的意义是数轴上表示x的点到表示3和−2两点的距离之和为5，可得−2≤x≤3，
故答案为：−2≤x≤3．
（2）解：x+1+x−2+x−3表示的意义是数轴上表示x的点到表示−1，2和3三点的距离之和，
∵ x+1+x−3，当−1≤x≤3时取得最小值4，
x−2≥0，当x=2时为0，
∴当x=2时，x+1+x−2+x−3取得最小值，
其最小值为：2+1+2−2+2−3=4，
故答案为：4；
（3）解：∵x−2020+2x−2021+3x−2022+4x−2023+5x−2024表示的意义是数轴上表示x的点到表示2020的点的距离，2个表示x的点到表示2021的点的距离，3个表示x的点到表示2022的点的距离，4个表示x的点到表示2023的点的距离，5个表示x的点到表示2024的点的距离之和，
相当于有1+2+3+4+5=15个分段点，
第8个分段点是2023，
∴当x=2023时其和取得最小值，
即x−2020+2x−2021+3x−2022+4x−2023+5x−2024=3+4+3+0+5=15．
【变式1-1】（24-25七年级·四川眉山·期中）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
(1)数轴上表示3和2的两点之间的距离是______；表示−2和1两点之间的距离是______；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于m−n．
(2)如果x+1=2，那么x=______；
(3)若数轴上表示数a的点位于−3与5之间，则a+3+a−5=______．
(4)当a=______时，a−1+a+5+a−4的值最小，最小值是______．
【答案】(1)1；3
(2)1或−3
(3)8
(4)1；9
【分析】此题考查绝对值的意义，数轴上两点距离，绝对值方程，结合数轴上两点的距离是解题的关键．
（1）根据题意列式计算即可．
（2）化简绝对值方程即可．
（3）根据题意可得原式表示数−3到5的距离，从而可得答案．
（4）根据题意可得a−1+a+5+a−4表示数轴上表示数a的点与点−5、1、4之间的距离之和，根据数轴即可得当a=1时，a−1+a+5+a−4的最小值是．
【详解】（1）解：∵数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于m−n，
∴数轴上表示3和2的两点之间的距离是3−2=1，表示−2和1两点之间的距离是−2−1=3，
故答案为：1；3．
（2）解：∵x+1=2，
∴x+1=±2，
∴x=−1±2，
∴x1=−3，x2=1，
故答案为：1或−3．
（3）解：∵数a的点位于−3与5之间，
∴a+3+a−5表示数−3到5的距离
∴a+3+a−5=8，
故答案为：8．
（4）解：∵a−1表示数轴上表示数a的点与表示数1的点的距离，a+5表示数轴上表示数a的点与表示数−5的点的距离，a−4表示数轴上表示数a的点与表示数4的点的距离，
∴结合数轴可知：a−1+a+5+a−4表示数轴上表示数a的点与点−5、1、4之间的距离之和，
当a=1时，a−1+a+5+a−4最小，最小值是4−−5=9，
故答案为：1；9．
【变式1-2】（24-25七年级·广东佛山·阶段练习）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．如图，已知数轴上点A、B分别表示a、b，且b+6与a−92互为相反数，O为原点．
(1)a= ，b= ；
(2)将数轴沿某个点折叠，使得点A与表示−10的点重合，则此时与点B重合的点所表示的数为 ．
(3)m、n两数在数轴上所对的两点之间的距离可以表示为m−n，如5与−2两数在数轴上所对的两点之间的距离可以表示为5−(−2)，从而很容易就得出在数轴上表示5与−2两点之间的距离是7．
①若x表示一个有理数，则x−3+x−6的最小值= ．
②若x表示一个有理数，且x−4+x+3=7，则满足条件的所有整数x的和是 ．
【答案】(1)−6，9
(2)5
(3)①3；②4
【分析】本题考查绝对值的几何意义，根据绝对值的几何意义，探索出最小值存在时x的取值的一般规律是解题的关键．
（1）根据相反数和非负数的性质，求解即可；
（2）由折叠可知，折痕点对应的数是−12，再由对称性可知点B与数字5重合；
（3）①当3≤x≤6时，|x−3|+|x−6|有值最小；
②|当−3≤x≤4时，|x−4|+|x+3|的值最小，最小值为7，再求出符合条件的整数即可求解．
【详解】（1）解：由题意得|b+6|+(a−9)2=0，
∴b+6=0，a−9=0，解得b=−6，a=9，
故答案为：−6，9；
（2）解：∵点A与表示−10的点重合，
∴折痕点对应的数是−10+92=−12，
∴与点B重合的点所表示的数为−12×2+6=5，
故答案为：5；
（3）解：①|x−3|+|x−6|表示数轴上表示x的点到表示3的点和6的点的距离之和，
∴当3≤x≤6时，|x−3|+|x−6|的值最小，
∴|x−3|+|x−6|的最小值为3，
故答案为：3；
②|x−4|+|x+3|表示数轴上表示x的点到表示−3的点和4的点的距离之和，
∴当−3≤x≤4时，|x−4|+|x+3|的值最小，最小值为7，
∵|x−4|+|x+3|=7，
∴x的整数值为−3，−2，−1，0，1，2，3，4，
∴ −3+−2+−1+0+1+2+3+4=4
∴满足条件的所有整数x的和是4，
故答案为：4．
【变式1-3】（24-25七年级·重庆綦江·期中）认真阅读下面的材料，完成有关问题：已知数轴上两个点之间的距离等于这两个点表示的数的差的绝对值．如图1，在数轴上点A表示的数为−2，点B表示的数为1，点C表示的数为3，则B，C之间的距离表示为：BC=3−1，A，C之间的距离表示为：AC=3−−2=3+2．若点P在数轴上表示的数为x，则P，A之间的距离表示为：PA=x−−2=x+2，P，B之间的距离表示为：PB=x−1．
利用数轴探究下列问题：
(1)x+2+x−1的最小值是_____，此时x的取值范围______；
(2)请按照（1）问的方法思考：x+3+x−1+x−2的最小值是_____，此时x的值是_____；
(3)如图2，在一条笔直的街道上有E，F，G，H四个小区，且相邻两个小区之间的距离均为100m，已知E，F，G，H四个小区各有2个，1个，2个，2个学生在同一所中学的同一班级上学，安全起见，这7个同学约定先在街道上某处汇合，再一起去学校，聪明的他们通过分析，发现在街道上的M处汇合会使所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和最小，请直接写出汇合地点M的位置和所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和的最小值．
【答案】(1)3，−2≤x≤1
(2)5，1
(3)700米
【分析】（1）由x+2+x−1=x−−2+x−1可知式子x+2+x−1表示x到−2和到1的距离之和，当x在−2和1之间时，距离之和最小，进而根据两点间距离公式即可求解；
（2）同理（1）解答即可；
（3）以其中一点F为原点，一个单位表示200建立数轴，则点E、F、G、H四点分别表示−100，0，100，200，设点M表示的数为x，可得所有小朋友从小区门口到汇合地点的路程之和表示为2x+100+x+2x−100+2x−200，分−100≤x3，
∴当x在−2和1之间时，距离之和最小，最小值为1−−2=3，此时x的取值范围−2≤x≤1，
故答案为：3，−2≤x≤1；
（2）解：∵x+3+x−1+x−2=x−−3+x−1+x−2，
∴式子x+3+x−1+x−2表示x分别到−3、1、2的距离之和，
同（1）可知，−3≤x≤2时，x到到−3、2的距离之和最小，
∴当x−1=0时，x分别到−3、1、2的距离之和最小，
即x=1时，x分别到−3、1、2的距离之和最小，最小值为2−−3=5，
故答案为：5，1；
（3）解：如图，以其中一点F为原点，一个单位表示100建立数轴，则点E、F、G、H四点分别表示−100，0，100，200，设点M表示的数为x，则所有小朋友从小区门口到汇合地点的路程之和表示为2x+100+x+2x−100+2x−200，
由（1）（2）可知点M在E、H之间，
当−100≤x；
（2）图1长方形的周长M=2(a+b+b)=2a+4b，图2长方形的周长N=2(a+2c+b−c)=2a+2b+2c，
∵M−N=2a+4b−2a−2b−2c=2b−2c，
∴当b>c时，M>N，
当b=c时，M=N；
当b2x+6y，
∴从省料角度考虑，应选方案二．
【变式5-1】（23-24七年级·广东广州·期中）水果批发市场梨的价格如下表：
(1)小明第一次购买梨5千克．需要付费________元；小明第二次购买梨x千克（x超过10千克但不超过20千克），需要付费________元（用含x的式子表示，并化成最简形式）；
(2)若小强买梨花了54元，则小强购买梨________千克；若小强买梨花了105元，则小强购买梨________千克；若小强买梨花了130元，则小强购买梨________千克；
(3)小强分两次共购买50千克梨，且第一次购买的数量为a千克0