重庆市2026届高三上学期9月调研测试数学试题（康德卷）

这是一份重庆市2026届高三上学期9月调研测试数学试题（康德卷），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.计算(1−i)(1+i)=( )
A. 2B. 2iC. 2D. 2i
2.已知集合A={1,2,3,4}，B={x|x2−2x−3=0}，则A∩B=( )
A. {1}B. {3}C. {1,3}D. {2,4}
3.已知向量a=(−1,k)，b=(2,1)，若(a−b)⊥b，则实数k=( )
A. 7B. 5C. 3D. 2
4.已知α，β∈[0,π2]，sin(α+β)=35，sinβ=45，则sinα=( )
A. 1B. 2425C. 1225D. 725
5.利用一只小白鼠进行的一项记忆功能试验中，训练次数x(x=1,2,3,4,5)与完成任务的时间y(单位：分)的一元线性回归方程为：y=−2.9x+34.9，则这只小白鼠完成任务的平均时长约为( )
A. 23分B. 25分C. 26分D. 28分
6.将一个底面直径与高相等的实心圆柱体挖去足够大的球，使得剩余部分最少，则球的体积与剩余部分体积之比为( )
A. 1:1B. 2:1C. 3:1D. 4:1
7.已知函数f(x)=22x−1，若f(a)0)的虚轴长为2，一条渐近线方程为x+2y=0.
(1)求C;
(2)已知P，Q，R是C上的三个不同点.
①若P(a,0)，点Q，R在C的同一支上，且△PQR是等边三角形，求|QR|;
②若D(异于原点O)是△PQR外接圆的圆心，直线PQ，QR，RP，OD的斜率均存在，并分别记为k1，k2，k3，k4，求k1k2k3k4的值.
19.(本小题17分)
设函数f(x)=xlnx.
(1)讨论f(x)的单调性和极值;
(2)证明：f(x)≥x−1;
(3)已知C为常数，且C>1，α>0，若∀x1，x2∈(0,1)，|f(x1)−f(x2)|≤C|x1−x2|α，证明：α≤1−1eC.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：(1−i)(1+i)=1+i−i−i2=2.
故选C.
2.【答案】B
【解析】解：∵A={1,2,3,4}，B={−1,3}，
∴A∩B={3}.
故选：B.
3.【答案】A
【解析】解：a−b=(−1−2,k−1)=(−3,k−1)，
由(a−b)⋅b=0得到(−3)×2+(k−1)×1=0.
解得k=7.
故选A.
4.【答案】A
【解析】解：已知 α,β∈0,π2,sinα+β=35< 22 ，
所以 α+β∈0,π4∪3π4,π .
已知 β∈0,π2,sinβ=45> 22 ，
所以 β∈(π4,π2] ， csβ= 1−sin2β=35 .
结合α+β∈0,π4∪3π4,π,β∈π4,π2,
可得 α+β∈3π4,π ， csα+β=− 1−sin2α+β=−45 .
根据两角差的正弦公式可得
sinα=sin[(α+β)−β]
=sin(α+β)csβ−cs(α+β)sinβ
=35×35−(−45)×45=1 .
故选A.
5.【答案】C
【解析】解：训练次数平均值x=1+2+3+4+55=3，
根据一元线性回归方程的性质，样本中心点(x,y)必在回归直线上，
即y=−2.9x+34.9，
将x=3代入回归方程，得y=−2.9×3+34.9=26.2≈26，约为26分.
故选C.
6.【答案】B
【解析】解：因为实心圆柱体的底面直径与高相等，所以设该圆柱体底面半径为r，则高h=2r，
因此该圆柱体的体积V圆柱=πr2×2r=2πr3.
因为要在该圆柱体内挖去足够大的球，所以该球与圆柱侧面和上、下底面都相切，因此挖去的球的最大半径为r，
所以挖去的球的体积V球=43πr3，因此剩余部分体积V剩余=V圆柱−V球=2πr3−43πr3=23πr3，
所以球的体积与剩余部分体积比为 V球:V剩余=43πr3:23πr3=2:1.
故选B.
7.【答案】D
【解析】解：因为f(x)=22x−1，所以由f(a)