江西省南昌市2026届高三上学期开学考试数学试卷

这是一份江西省南昌市2026届高三上学期开学考试数学试卷，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.设复数z满足z=1+ii，则|z|=( )
A. 2B. 2C. 5D. 1
2.已知a=λ,−2，b=1,2，a⊥b，则λ=( )
A. −4B. 4C. 1D. −1
3.已知函数f(x)=sinx−csx，则下列选项中是f(x)的一个单调递增区间的是( )
A. [−π2,π2]B. [−π4,3π4]C. [−3π4,π4]D. [3π4,7π4]
4.已知全集U={x|x0恒成立，故f(x)在区间(1,+∞)上单调递增，
又因为f(x)的图象关于直线x=1对称，
故f(x)在区间(−∞,1)上单调递减，
故x=1为f(x)的极小值点，也是最小值点，最小值为2e，
C正确；
选项D： 由对称性f(1x)=f(2−1x)；
当x>1时，1x∈(0,1)，故2−1x∈(1,2)；
证明x>2−1x(x>1)：
两边乘x得x2>2x−1，即(x−1)2>0，显然成立；
因x>1时f(x)递增，故x>2−1x⟹f(x)>f(2−1x)=f(1x)，D正确.
故选：BCD.
12.【答案】12
【解析】解：(2+x)6展开式中x5的系数为C65×2=12，即a5=12.
故答案为：12.
13.【答案】2 33
【解析】解：因为BA=AC，
所以OA为△OBC的中线，
又BC⊥OA，
所以△OBC为等腰三角形，即∠AOC=∠BOA，
又∠AOF=∠BOF，
所以∠AOC=2∠AOF，
又∠FOC=90∘，
所以∠AOF=30∘，
所以ba=tan30∘= 33，
所以双曲线的离心率为e=ca= 1+(ba)2= 1+( 33)2=2 33.
故答案为：2 33
14.【答案】 35
【解析】解：如图，设BD=4m，EC=m，AD=DE=AE=n，
设∠ABC=θ，则∠EAC=θ，∠BAD=60∘−θ，∠ACE=60∘−θ，
故△ABD∽△CAE，即ADBD=CEAE，解得n=2m，
在△ABD中AB2=AD2+BD2−2AD⋅BD⋅cs120∘⇒AB=2 7m，
在△CAE中AC2=AE2+EC2−2AE⋅EC⋅cs120∘⇒AC= 7m，
而BC=BD+DE+EC=7m，
故ACsinθ=BCsin120∘，解得sinθ= 32 7，则csθ=52 7，故tanθ= 35.
故答案为： 35.
15.【答案】解：(1)当直线l⊥y轴时，AB为抛物线的通径，
所以2p=4，解得p=2，
故抛物线C的标准方程为x2=4y.
(2)设点A(x1,y1)，B(x2,y2)，而F(0,1)，所以直线l:y=x+1，
联立直线l与抛物线C方程y=x+1x2=4y得到x2−4x−4=0，故x1+x2=4，x1x2=−4
所以|x1−x2|= (x1+x2)2−4x1x2=4 2，
所以△ABO的面积S=S△AFO+S△BFO=12×|OF|×|x1−x2|=12×1×4 2=2 2.
【解析】详细解答和解析过程见【答案】
16.【答案】解：(1)因为数列{an}是等比数列，所以an=a1qn−1，则an+1=a1qn
所以an⋅an+1=a12q2n−1=4n=22n，所以a1= 2，q=2，
则an= 2×2n−1=22n−12;
(2)因为a1=1，an⋅an+1=4n，所以a2=4，
因为an⋅an+1=4n，所以an+1⋅an+2=4n+1，
所以an+2an=4，
则S2n=a1+a2+a3+a4+⋯+a2n−1+a2n
=(a1+a2)+(a3+a4)+⋯+(a2n−1+a2n)=5(1−4n)1−4=53(4n−1).
【解析】详细解答和解析过程见【答案】
17.【答案】解：(1)p=0.53+C32×0.52×(1−0.5)=0.5；
(2)因为X∼B(3,0.4)，所以P(X=k)=C3k×0.4k×(1−0.4)3−k(k=0,1,2,3)，
所以随机变量X的分布列为
其数学期望E(X)=3×0.4=1.2；
(3)记进入第二阶段前提下，该阶段获得费用数为随机变量Z(单位：亿元)，则Z=5X，
所以E(Z)=5E(X)=6，
所以E(Y)=1+(C32×0.53+0.53)×E(Z)+(1−C32×0.53−0.53)×0=4.
【解析】详细解答和解析过程见【答案】
18.【答案】(1)f′(x)=1+1x2−ax=x2−ax+1x2，
令f′(x)=0，则x2−ax+1=0，△=a2−4，
当a2−4≤0即00即a>2时，方程x2−ax+1=0有两根x1=a− a2−42，x2=a+ a2−42，
又x1+x2=a>0,x1x2=1>0，所以0