江苏省南京市金陵中学2026届高三上学期数学9月月考数学试题

这是一份江苏省南京市金陵中学2026届高三上学期数学9月月考数学试题，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.i 是虚数单位，复数−1+3i1+2i=( )
A. 1+iB. 5+5iC. −5−5iD. −1−i
2.某学校调查了200名学生每周的自习时间(单位：小时)，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5,30]，样本数据分组为[17.5,20),[20,22.5),[22.5,25),[25,27.5),[27.5,30].根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是( )
A. 56B. 60C. 140D. 120
3.已知alg169=1，则3−a=( )
A. 116B. 16C. 4D. 14
4.已知正整数n满足Cn+1n−2=An2，则n=( )
A. 7B. 6C. 5D. 4
5.已知a=−3,4，b=2,−1，则a在b上的投影向量的模为( )
A. 2B. 2 5C. 5D. 25
6.如果实数x、y满足x2+y2−6x+4=0，那么yx+2的最大值是( )
A. 55B. 2 55C. 5D. 12
7.若角α满足csπ4+α=13，则1tanα+tanα=( )
A. 79B. 97C. 187D. 718
8.已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为36π，且3≤l≤3 3，则该正四棱锥体积的取值范围是( )
A. 18,814B. 274,814C. 274,643D. [18,27]
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知正项等比数列an的前n项和为Sn，若S3=6a3+1,a2=2，则( )
A. q=12B. 数列an有最小项
C. 数列an为递减数列D. an+Sn=8
10.已知点F1、F2分别为双曲线C:x24−y22=1的左、右焦点，点P为C上一动点，则下列说法正确的是( )
A. 双曲线C与双曲线y22−x24=1有相同的渐近线
B. 若PF1=2PF2，则△PF1F2的周长为12+2 6
C. 若PF1⊥PF2，则△PF1F2的面积为2 3
D. 若直线l与双曲线C的两支各有一个交点，则直线l的斜率k∈−12,12
11.已知函数f(x)=1sinx+1csx，则( )
A. f(x)的图象关于点(3π4,0)对称B. f(x)的最小正周期为2π
C. f(x)在区间(π2,π)上单调递减D. 当x∈(0,π2)，f(x)的最小值为2 2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知x+1x=2 2，则x−1x+x3+1x3= .
13.3名男生和3名女生中随机选择两人，设选到男生的人数为X，则3X+2的方差为 .
14.已知椭圆C1:x24+y2=1，抛物线C2:x2=2py(p>0)，点A是C1与C2在第一象限的交点，B是C1的左顶点，直线AB交C2于点D，若点D恰为线段AB的中点，则p2的值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知等差数列an的前n项和为Sn，且Sn=3n2+kn+k.
(1)求an的通项公式；
(2)若bn=1anan+1，求数列bn的前n项和Tn.
16.(本小题15分)
△ABC中，角A，B，C对边分别为a，b，c，acsB= 3，bsinA=1.
(1)求∠B的大小；
(2)若b= 2，求△ABC的面积.
17.(本小题15分)
如图，在四面体ABCD中，DA,DB,DC两两垂直，DA=DB=DC=2,M是线段AD的中点，P是线段BM的中点，点Q在线段AC上，且AC=4QC.

(1)求证：PQ//平面BCD;
(2)若点G在平面ABC内，且DG⊥平面BMC，求直线MG与平面ABC所成角的正弦值.
18.(本小题17分)
已知双曲线W:x2a2−y2b2=1的离心率为 52，且经过点4, 3.
(1)求W的方程；
(2)已知M(1,0)，若垂直于x轴的直线与W相交于A,B两点，直线AM和W的另外一个交点为C.
(i)求证：直线BC过定点G；
(ii)过点G作直线l交W的右支于E,F两点，求△MEF的面积的最小值.
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=ln(2x+m)+12x2m∈R.
(1)若曲线y=f(x)在x=1处的切线的斜率为2，求切点的坐标；
(2)讨论函数f(x)的单调性；
(3)当m=2,x∈0,π2时，求证：f(x)0，
且x1+x2=8k24k2−1,x1x2=4k2+44k2−1，
由kBC=y2+y1x2−x1，则直线BC:y+y1=y2+y1x2−x1x−x1，
整理得y=y2+y1x2−x1⋅x−x1y2+x2y1x2−x1=1x2−x1y2+y1x−x1y2+x2y1，
又y1+y2=kx1+x2−2k=2k4k2−1，
x1y2+x2y1=2kx1x2−kx1+x2=8k4k2−1,
∴y=2kx2−x14k2−1⋅(x−4)，显然直线BC过定点G(4,0)，得证；
(ii)由直线l过点G(4,0)，与双曲线右支交于E,F，故斜率必不为0，
∴可设l:x=my+4,Ex3,y3,Fx4,y4，联立双曲线x24−y2=1，
整理得m2−4y2+8my+12=0,Δ=64m2−48m2−4>0，
则y3+y4=-8mm2−4,y3y4=12m2−4.
∵l与W的右支交于两点，其中一条渐近线的斜率为12，所以1m>12，
∴m2∈[0,4).
S△MEF=12|MG|⋅y3−y4=32 64m2−48m2−4m2−42=32 16m2+12m2−42=6 m2+12m2−42,
令t=m2+12∈[12,16),则S△MEF=6 t(t−16)2=6 1t+256t−32，
令H(t)=t+256t，则H′(t)=1−256t20，即m< -4，或m>4时，
方程2x2+mx+2=0的两根为x1,2=−m± m2−164.
①当m>4时，由于−m− m2−164−−m2=m− m2−164>0，
所以−m2