湖北省部分学校2026届高三上学期九月测试数学试题

这是一份湖北省部分学校2026届高三上学期九月测试数学试题，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.复数z满足z⋅3+4i=1+i，则|z|=( )
A. 225B. 2C. 25D. 225
2.已知{a,b}⊆{−1,0,1,2,3,4},(a,b)∈{(x,y)|x2+y2≤4}，则(a,b)可能的取值的个数为( )
A. 5个B. 6个C. 7个D. 8个
3.已知函数fx=xln2+x2−x，则不等式fx+1>f2x−1的解集为( )
A. 0,1B. 0,2C. −12,0D. −1,2
4.17世纪，法国数学家马林⋅梅森在欧几里得、费马等人研究的基础上，对2p−1(p为素数)型的数作了大量的研算，他在著作《物理数学随感》中断言：在p≤257的素数中，当p=2，3，5，7，13，17，19，31，67，127，257时，2p−1是素数，其它都是合数．除了p=67和p=257两个数被后人证明不是素数外，其余都已被证实．人们为了纪念梅森在2p−1型素数研究中所做的开创性工作，就把2p−1型的素数称为“梅森素数”，记为Mp=2p−1.几千年来，人类仅发现51个梅森素数，由于这种素数珍奇而迷人，因此被人们誉为“数海明珠”．已知第7个梅森素数M19=219−1，第8个梅森素数M31=231−1，则lg1+M311+M19约等于( )(参考数据：lg5≈0.7)
A. 17.1B. 8.4C. 6.6D. 3.6
5.已知函数fx= 3sinωx2⋅csωx2−cs2ωx2ω>0在0,4π3上单调递增，在4π3,2π上单调递减，若函数fx在17π3,a上单调，则a的最大值为( )
A. 35π6B. 23π3C. 20π3D. 22π3
6.已知圆C1:x2+y2=b2与椭圆C2:x2a2+y2b2=1(a>b>0)，若在椭圆C2上存在一点P，过P点能作圆C1的两条切线，切点为A,B，且∠APB=π2，则椭圆C2离心率的取值范围为( )
A. 0, 22B. 22,1C. 0,12D. 12,1
7.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，在以A1、C为球心，1为半径的两个球在正方体内的公共部分所构成的几何体中，被平行于平面BDC1的平面所截得的截面面积的最大值为( )
A. 34πB. π2C. π4D. π8
8.记数列an的前n项和为Sn，若Sn=n，则a1+a2+⋅⋅⋅+a10的值不可能为( )
A. 96B. 98C. 100D. 102
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.设三个向量e1,e2,e3不共面，那么对任意一个空间向量a，存在唯一的有序实数组(x,y,z)，使得：a=xe1+ye2+ze3成立．我们把e1,e2,e3叫做基底，把有序实数组(x,y,z)叫做基底e1,e2,e3下向量a的斜坐标．已知三棱锥P−ABC，∠PAB=π4,∠PAC=π3,∠BAC=π2,PA=2,AB=AC=1.以A为坐标原点，以AB为x轴正方向，以AC为y轴正方向，以AP为z轴正方向，以AB,AC,AP同方向上的单位向量e1,e2,e3为基底，建立斜坐标系，则下列结论正确的是( )
A. BP=(−1,0,2)B. △PBC的重心坐标为G=13,13,23
C. 若Q(1,1,1)，则AQ⊥BCD. 异面直线AP与BC所成角的余弦值为14
10.设函数f(x)=3x+22x+3，数列xn满足x1=32，xn+1=f(xn)，则( )
A. x2=1312B. f(xn)+f(1xn)为定值
C. 数列xn+1xn−1为等比数列D. xn0)的直线AB交抛物线y2=2px(p>0)于A，B两点，连接AO、BO，并延长，分别交直线x=−a于M，N两点，则下列结论中一定成立的有( )
A. BM//ANB. 以AB为直径的圆与直线x=−a相切
C. S△AOB=S△MOND. S△MCN2=4S△ANC⋅S△BCM
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.2025年，省属“三位一体”综合评价招生政策进行了调整，每位考生限报四所大学．某考生从6所大学中选择4所进行报名，其中甲、乙两所学校至多报一所，则该考生报名的可能情况有 种．
13.已知f(x)=ln(x+1),g(x)=f(x),x≥0f(−x),xx+2−e的解集为 .
14.函数fx=lne2x+1x在区间−e,−1∪1,e上的最大值与最小值之和为a+ba>0,b>0，则1a+3b的最小值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
某学校有A，B两家餐厅，王同学第1天午餐时随机选择一家餐厅用餐．如果第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.6；如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.8.
(1)①求王同学第2天去A餐厅用餐的概率；
②如果王同学第2天去A餐厅用餐，求他第1天在A餐厅用餐的概率．
(2)A餐厅对就餐环境、菜品种类与品质等方面进行了改造与提升．改造提升后，A餐厅对就餐满意程度进行了调查，统计了100名学生的数据，如下表(单位：人).
根据以上数据，是否有99.5%的把握认为学生对于A餐厅的满意程度与餐厅的改造提升有关联？
附：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d.
16.(本小题15分)
已知an为等差数列，且a1=1，a6=3a4−a2.
(1)求数列an的通项公式；
(2)若数列bn满足：b1+2b2+22b3+...+2n−1bn=an2n∈N*，求bn前n项和Sn.
17.(本小题15分)
如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，AB=AD=AA1=1，∠A1AB=∠A1AD=∠BAD=60 ∘.

(1)求证：四边形BDD1B1为正方形；
(2)求体对角线AC1的长度；
(3)求异面直线AB1与BD1所成角的余弦值.
18.(本小题17分)
已知f(x)=x2−2csx−kxsinx+csx,k∈R.
(1)当k=0时，讨论f(x)在−π2,π2上的单调性；
(2)若f(x)在0,π2上为单调递增函数，求k的取值范围.
19.(本小题17分)
费马原理，也称为时间最短原理：光传播的路径是光程取极值的路径．在凸透镜成像中，根据费马原理可以推出光线经凸透镜至像点的总光程为定值(光程为光在某介质中传播的路程与该介质折射率的乘积).一般而言，空气的折射率约为1.如图是折射率为2的某平凸透镜的纵截面图，其中平凸透镜的平面圆直径MN为6，且MN与x轴交于点−2,0.平行于x轴的平行光束从左向右照向该平凸透镜，所有光线经折射后全部汇聚在点(2,0)处并在此成像．(提示：光线从平凸透镜的平面进入时不发生折射)
(1)设该平凸透镜纵截面中的曲线为曲线C，试判断C属于哪一种圆锥曲线，并求出其相应的解析式．
(2)设曲线F为解析式同C的完整圆锥曲线，直线l与F交于A，B两点，交y轴于点H，交x轴于点Q(点Q不与F的顶点重合).若HQ=k1QA=k2QB，k1+k2=−83，试求出点Q所有可能的坐标．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：因为复数z=1+i3+4i=1+i3−4i3+4i3−4i=7−i25，所以|z|= 72+(−1)225= 25.
故选C.
2.【答案】D
【解析】解：当a=-1时，由(a,b)∈{(x,y)|x2+y2≤4}，可得b∈{0,1}，所以(a,b)为(−1,0)或(−1,1)，
当a=0时，由(a,b)∈{(x,y)|x2+y2≤4}，可得b∈{−1,1,2}，
所以(a,b)为(0,-1)或(0,1)或(0,2)，
当a=1时，由(a,b)∈{(x,y)|x2+y2≤4}知，b∈{−1,0}，
所以(a,b)为(1,-1)或(1,0)，
当a=2时，b=0，所以(a,b)为(2,0)，
综上，(a,b)共有8种取值．
故选D.
3.【答案】A
【解析】解：由2+x2−x>0，解得−2f2x−1，则−21，则ln(1−x)>0，
易知x+2−ex+2−e的解集为(−∞,0).
综上所述，不等式g(x)>x+2−e的解集为−∞,e−1.
故答案为：−∞,e−1.
14.【答案】 3+2
【解析】【分析】
本题考查奇偶函数图象特征的应用，由基本不等式求最值或取值范围，属于中档题.
将解析式变形为fx=1+lnex+e−xx，令gx=lnex+e−xx，利用函数奇偶性即可得a+b=2，然后妙用“1”求解即可.
【解答】
解：fx=lne2x+1x=lnexex+e−xx=lnex+lnex+e−xx
=x+lnex+e−xx=1+lnex+e−xx，
令gx=lnex+e−xx，x∈−e,−1∪1,e，
因为定义域关于原点对称，且g−x=lne−x+ex−x=−gx，
所以gx为奇函数，所以gx在区间−e,−1∪1,e上的最大值与最小值之和为0，
则函数fx在区间−e,−1∪1,e上的最大值与最小值之和为2，即a+b=2.
又a>0，b>0，
所以1a+3b=121a+3ba+b=124+ba+3ab=2+12ba+3ab
≥2+12×2 ba⋅3ab= 3+2，
当且仅当ba=3ab，a+b=2，即a= 3−1，b=3− 3 时，等号成立．
故答案为： 3+2
15.【答案】解：(1)设事件Ai：第i天去A餐厅用餐，事件Bi：第i天去B餐厅用餐，其中i=1,2，
①王同学第2天去A餐厅用餐的概率为：
PA2=PA2A1+PA2B1=PA2A1 PA1+PA2B1 PB1=0.6×0.5+0.8×0.5=0.7，
②如果王同学第2天去A餐厅用餐，那么他第1天在A餐厅用餐的概率为：
PA1A2 =PA1A2PA2=PA2A1 PA1PA2=0.6×；
(2)提出零假设H0：学生对于A餐厅的满意程度与餐厅的改造提升没有关联．
χ2=100×(28×3−57×12)285×15×40×60=20017>7.879，
根据α=0.005的独立性检验，认为推断H0不成立，
故有99.5%的把握认为学生对于A餐厅的满意程度与餐厅的改造提升有关联．

【解析】详细解答和解析过程见【答案】
16.【答案】解：(1)设数列an的公差为d，
∵a6=3a4−a2，则a1+5d=6d，即d=a1=1，
∴an=1+n−1=n，
故数列an的通项公式an=n.
(2)∵b1+2b2+22b3+...+2n−1bn=an2，
当n=1时，则b1=a12=12；
当n≥2时，则b1+2b2+22b3+...+2n−2bn−1=an−12，
两式相减得2n−1bn=an−an−12=12，则bn=12n；
综上所述：bn=12n.
又∵bn+1bn=12n+112n=12，故数列bn是以首项b1=12，公比q=12的等比数列，
∴数列bn的前n项和Sn=121−12n1−12=1−12n.

【解析】详细解答和解析过程见【答案】
17.【答案】解：(1)证明：因为BD=AD−AB，B1D1=A1D1−A1B1=AD−AB，
所以BD=B1D1，而B,D,D1,B1不共线，所以四边形为BDD1B1平行四边形，
又BD⋅BB1=AD−AB⋅AA1=AD⋅AA1−AB⋅AA1=1×1×12−1×1×12=0，
所以BD⊥BB1，即BD⊥BB1，所以四边形BDD1B1为正方形；
(2)由题意易知AC1=AB+BC+CC1=AD+AB+AA1，
所以AC12=AD+AB+AA12=AD2+AB2+AA12+2AD⋅AB+2AB⋅AA1+2AD⋅AA1，
因为AB=AD=AA1=1，∠BAD=∠BAA1=∠DAA1=60∘，
所以2AD⋅AB=2AB⋅AA1=2AD⋅AA1=2×1×1×12=1，AD2=AB2=AA12=1，
所以AC12=6⇒AC1= 6，即AC1= 6；
(3)因为AB1=AB+AA1，BD1=−AB+AD+AA1，
所以AB1⋅BD1=(AB+AA1)⋅(−AB+AD+AA1)=−AB2+AB⋅AD+AA1⋅AD+AA12=1，
AB1= AB+AA12= AB2+2AA1⋅AD+AA12= 3，
BD1= −AB+AD+AA12= AB2+AD2+AA12−2AB⋅AD+2AA1⋅AD−2AB⋅AA1= 2，
所以cs ⟨AB1,BD1⟩=AB1⋅BD1|AB1|⋅|BD1|=1 3× 2= 66，
所以异面直线AB1与BD1所成角的余弦值为 66.

【解析】详细解答和解析过程见【答案】
18.【答案】解：(1)k=0时，f(x)=x2−2csx,f′(x)=2x+2sinx,
令m(x)=f′(x),则m′(x)=2+2csx≥0，所以f′(x)在x∈−π2,π2单调递增，
又f′(0)=0，
∴当−π2≤x2x+2sinx，
又(1)2x+2sinx>0，所以h(x)>0，符合题意；
②当k>0时，h′(x)=2+2csx−kcsx−xsinx=2+(2−k)csx+kxsinx，
(i)若0−2,
又kxsinx>0，∴h′(x)>0，
∴h(x)在x∈0,π2上单调递增，
故h(x)>h(0)=0，符合题意；
(ii)若k>4，令n(x)=h′(x),则n′(x)=(2k−2)sinx+kxcsx>0，
∴h′(x)在x∈0,π2上单调递增，
又h′(0)=4−k0,，
∴存在x0∈0,π2，使得h′x0=0，
故当0