北京市第九十六中学上学期期中检测九年级数学试题（解析版）-A4

这是一份北京市第九十六中学上学期期中检测九年级数学试题（解析版）-A4，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共16分，每题2分）
1. 二次函数y＝(x－2)2＋3的最小值是( )
A. 3B. 2C. －2D. －3
【答案】A
【解析】
【分析】根据二次函数的性质解答即可．
【详解】二次函数y=（x-2）2+3，
当x=2时，最小值是3，
故选A．
【点睛】本题考查的是二次函数的最值，掌握二次函数的性质是解题的关键．
2. 中国传统扇文化有着深厚的文化底蕴，是中华民族文化的一个组成部分，在中国传统社会中，扇面形状的设计与日常生活中的图案息息相关，下列扇面图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．
【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项不合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项不符合题意；
C．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故C选项合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故D选项不合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义．
3. 如图，在中，弦，相交于点，，，则大小是（ ）
A. 35°B. 45°C. 60°D. 70°
【答案】A
【解析】
【分析】根据三角形的外角的性质可得，求得，再根据同弧所对的圆周角相等，即可得到答案．
【详解】解：，，，
，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了圆周角定理及三角形的外角的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
4. 抛物线通过变换可以得到抛物线，以下变换过程正确的是（ ）
A. 先向右平移1个单位，再向上平移2个单位
B 先向左平移1个单位，再向下平移2个单位
C. 先向右平移1个单位，再向下平移2个单位
D. 先向左平移1个单位，再向上平移2个单位
【答案】D
【解析】
【分析】由平移前后的解析式，结合平移法则即可得解；
【详解】解：抛物线通过先向左平移1个单位，再向上平移2个单位可以得到抛物线，
故选择：D
【点睛】本题考查抛物线的平移．熟练掌握二次函数平移规律是解题的关键．
5. 如图，是正方形的外接圆，若的半径为4，则正方形的边长为（ ）
A. 4B. 8C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】连接OB，OC，过点O作OE⊥BC于点E，由等腰直角三角形的性质可知OE=BE，由垂径定理可知BC=2BE，故可得出结论．
【详解】解：连接OB，OC，过点O作OE⊥BC于点E，
∴OB=OC，∠BOC=90°，
∴∠OBE=45°，
∴OE=BE，
∵OE2+BE2=OB2，
∴，
∴BC=2BE=，即正方形ABCD的边长是．
故选：D
【点睛】本题考查的是圆周角定理、垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出等腰直角三角形是解答此题的关键．
6. 生活垃圾无害化处理可以降低垃圾及其衍生物对环境的影响．据统计，2017年全国生活垃圾无害化处理能力约为2.5亿吨，随着设施的增加和技术的发展，2019年提升到约3.2亿吨．如果设这两年全国生活垃圾无害化处理能力的年平均增长率为，那么根据题意可以列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设这两年全国生活垃圾无害化处理能力的年平均增长率为，根据等量关系，列出方程即可．
【详解】解：设这两年全国生活垃圾无害化处理能力的年平均增长率为，
由题意得：，
故选C．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的实际应用，掌握增长率模型，是解题的关键．
7. 在中，，为中点，以点为圆心，长为半径作，则与直线的位置关系是（ ）
A. 相交B. 相切C. 相离D. 不确定
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查等腰三角形的性质，圆的切线的判定．先由等腰三角形三线合一的性质得出，再根据切线的判定即可得出位置关系．
【详解】解：如图，连接，
是等腰三角形
为中点
是等腰的高
为的半径
是的切线
与直线的位置关系是相切．
故选：B．
8. 下面四个问题中都有两个变量：
①一个圆柱的高等于底面半径x，这个圆柱的表面积为y；
②x个球队比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次为y；
③某产品现在的年产量是20t，计划今后两年增加产量，如果每年都比上一年增加x倍，两年后这种产品的产量为y；
④某种商品每件的进价为30元，在某段时间内若以每件x元出售，可卖出（100－x）件，利润为y元．
其中，变量y与变量x之间的函数关系（不考虑自变量取值范围）可以用一条开口向上的抛物线表示的是（ ）
A. ②③④B. ①③④C. ①②④D. ①②③
【答案】D
【解析】
【分析】分别求出每个问题的函数关系式，根据函数关系式即可作出判断．
【详解】①的函数关系式为：，其图象是一条开口向上的抛物线；
②的函数关系式为：，其图象是一条开口向上的抛物线；
③函数关系式为：，其图象是一条开口向上的抛物线；
④的函数关系式为：，其图象是一条开口向下的抛物线；
故满足题意的为①②③；
故选：D．
【点睛】本题考查了列二次函数，根据二次函数确定其图象的开口方向，正确列出二次函数是关键．
第二部分非选择题
二、填空题（共16分，每题2分）
9. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点坐标为_______．
【答案】（-4，7）
【解析】
【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（-x，-y），进而得出答案．
【详解】解：点关于原点的对称点坐标为（-4，7），
故答案是：（-4，7）．
【点睛】此题主要考查了原点对称点的性质，正确掌握横纵坐标的符号关系是解题关键．
10. 已知的半径为5，点到圆心的距离为8，那么点与的位置关系是___________．
【答案】点在外
【解析】
【分析】根据点在圆上，点在圆外，点在圆内，即可得到答案．
【详解】解：的半径为5，点到圆心的距离为8，
，
点与的位置关系是点在外，
故答案为：点在外．
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，熟练掌握点在圆上，点在圆外，点在圆内是解此题的关键．
11. 已知关于的一元二次方程有一个根为1，则的值为________．
【答案】
【解析】
【分析】将代入方程，解方程即可得到的值．
【详解】∵关于的一元二次方程有一个根为1，
∴将代入方程，得
，
解得：，
故答案为：
【点睛】本题主要考查一元二次方程的解，理解一元二次方程的解是使得方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键．
12. 圆心角是60°的扇形的半径为6，则这个扇形的面积是_____．
【答案】6π
【解析】
【分析】根据扇形的面积公式S=计算，即可得出结果．
【详解】解：该扇形的面积S==6π．
故答案为6π．
【点睛】本题考查了扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式是解题的关键．
13. 如图，在平面直角坐标系中，点，，的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧，则此圆弧的圆心坐标为_______．
【答案】（2，1）
【解析】
【分析】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．
【详解】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，
可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．
如图所示，则圆心是（2，1）．
故答案为（2，1）．
【点睛】本题考查垂径定理的应用，解答此题的关键是熟知垂径定理，即“垂直于弦的直径平分弦”．
14. 抛物线的对称轴及部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的两根为_______．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查了根据二次函数图象确定相应方程根情况．熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．根据图象求与x轴的另一个交点坐标，然后根据图象与x轴交点坐标的横坐标为一元二次方程的根，进行作答即可．
【详解】解：由题意知，抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为，
∴与x轴的另一个交点坐标为，
∴关于x的一元二次方程的两根为，，
故答案为：，．
15. 如图，将绕点A顺时针旋转得到，点B的对应点D恰好落在边上，则________．（用含的式子表示）
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了旋转变换的性质、等腰三角形的性质，三角形的内角和等知识点，根据旋转的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，即可求得，熟练掌握旋转前、后的图形全等是解决此题的关键．
【详解】解：由旋转的性质得，，
，
，
，
故答案为：．
16. 如图，是的直径，C为上一点，且，P为圆上一动点，M为的中点，连接．若的半径为2，则长的最大值是____________．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查点与圆的位置关系，勾股定理，根据题意得出点M的移动轨迹，再根据圆外一点到圆上一点最大距离进行计算即可．
【详解】解：如图，当点P在上移动时，的中点M的轨迹是以为直径的，
因此交于点M，此时的值最大，
由题意得，，，
在中，，，
∴，
∴，
故答案为：．
三、解答题（共68分，第17-18题，每题5分，第19题6分，第20-23题5分，第24-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）
17. 解方程：．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查解一元二次方程，熟练掌握配方法是解本题的关键．
方程利用配方法求出解即可
【详解】解：方程整理得：，
配方得：，即，
开方得：，
解得．
18. 已知：点，，在上，且．
求作：直线，使其过点，并与相切．
作法：①连接；
②分别以点，点为圆心，长为半径作弧，两弧交于外一点；
③作直线．
直线就是所求作直线．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接，，
∵，
∴四边形是菱形，
∵点，，在上，且，
∴______°（_________________）（填推理的依据）．
∴四边形是正方形，
∴，即，
∵为半径，
∴直线为的切线（_________________）（填推理的依据）．
【答案】（1）见解析；
（2）90°；一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
【解析】
【分析】（1）按照题中作法步骤作图即可；
（2）根据圆周角定理和切线的判定定理填空．
【小问1详解】
解：补全图形，如图所示；
【小问2详解】
90°；一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
【点睛】本题考查作图-复杂作图，圆周角定理，切线的判断和性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
19. 已知二次函数．
（1）将化成的形式，并写出它的顶点坐标；
（2）在所给的平面直角坐标系中画出此函数的图象；
（3）当时，结合图象，直接写出函数值的取值范围．
【答案】（1），
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）运用配方法将原解析式化为顶点式即可；
（2）根据（1）所得的顶点式解析式，利用五点作图法直接画出图像即可；
（3）根据函数图像确定当时对应的y的取值范围即可．
【小问1详解】
．
【小问2详解】
列表如下：
图象如图所示；：
【小问3详解】
由图象可得，当时，．
【点睛】本题主要考查了二次函数的顶点式、二次函数的图象、二次函数的性质等知识点，准确画出二次函数的图象成为解答本题的关键．
20. 下面是证明圆周角定理的过程，请认真阅读，并完成证明过程．
【答案】见解析
【解析】
【分析】此题考查了圆周角定理以及三角形外角性质，熟练掌握三角形外角性质是解此题的关键．利用三角形外角性质及角的和差求解即可．
【详解】情况2圆心在圆周角内部
证明：作直径．
∵，
∴．
∴，
同理，
∴，
∴．
情况3圆心在圆周角外部
证明：作直径．
∵，
∴．
∴，
同理，
∴
，
∴．
21. 如图，是的一条弦，点是的中点，连接并延长交劣弧于点D，连接，．若，，求的面积．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的知识点是垂径定理的推论、勾股定理，解题关键是熟练掌握垂径定理．先根据垂径定理的推论得到，再由线段中点的定义得到，再根据勾股定理求出圆的半径，则的面积即可求解．
【详解】解：设的半径是，
点是的中点，过圆心，
，
，，
，，
在直角中，由勾股定理得，
，
解得，
，
．
22. 如图，在四边形中，是对角线，将点绕点逆时针旋转得到点，连接．
（1）求的度数；
（2）若是等边三角形，且，求的长．
【答案】（1）的度数为
（2）的长为
【解析】
【分析】（1）根据旋转的性质得到，再根据等边三角形的判定与性质得到的度数为；
（2）根据等边三角形的性质及全等三角形的判定得到，再根据全等三角形的性质及勾股定理得到．
【小问1详解】
解：∵将点绕点逆时针旋转得到点，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
即的度数为；
【小问2详解】
解：∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴的长为．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键．
23. 已知关于的方程．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）设此方程的两个根分别为，，且，若，求的值．
【答案】（1）见解析；
（2）．
【解析】
【分析】（1）根据方程根的判别式，即可得出，由此可证出此方程有两个不相等的实数根；
（2）解方程，再由，，即可得到关于的一元一次方程，解之即可得出结论．
【小问1详解】
证明：
．
方程有两个不相等的实数根．
【小问2详解】
解：解方程，得，
，
，．
，
．
．
【点睛】本题考查了根的判别式，解题的关键是掌握根的判别式、根与系数的关系的表达式，并会熟练计算．
24. 如图，在中，，，点是上一点，以为圆心，长为半径作圆，使与相切于点，与相交于点．过点作，交的延长线于点．
（1）若，求的半径；
（2）连接，求证：四边形是平行四边形．
【答案】（1）；
（2）见解析．
【解析】
【分析】（1）连接，由⊙O与相切于点A，与相切于点D，得到，由切线长定理得：，由勾股定理求出，即可得到的半径．
（2）连接，交于点H，由是⊙O的直径，得到．根据与⊙O分别相切于点A，D，证得．得到．即可证得四边形是平行四边形．
【小问1详解】
解：连接，如图．
∵在中，
∴⊙O与相切于点A，．
∵是⊙O的半径，⊙O与相切于点D，
∴．
∴．
∵，
∴由切线长定理得：，由勾股定理得：．
∴ ．
∴⊙O的半径是．
【小问2详解】
证明：连接，交于点H，如图．
∵是⊙O的直径，
∴．
∵与⊙O分别相切于点A，D，
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
∵，
∴ 四边形是平行四边形．
【点睛】此题考查了圆的切线的性质定理，切线长定理，直径所对的圆周角是直角，平行四边形的判定定理，熟记各定理是解题的关键．
25. 某篮球队员的一次投篮命中，篮球从出手到命中行进的轨迹可以近似看作抛物线的一部分，表示篮球距地面的高度（单位：m）与行进的水平距离（单位：m）之间关系的图象如图所示．已知篮球出手位置与篮筐的水平距离为4.5m，篮筐距地面的高度为3.05m；当篮球行进的水平距离为3m时，篮球距地面的高度达到最大为3.3m．
（1）图中点表示篮筐，其坐标为_______，篮球行进的最高点的坐标为________；
（2）求篮球出手时距地面的高度．
【答案】（1）（4.5，3.05），（3，3.3）；（2）2.3米
【解析】
【分析】（1）根据题意，直接写出坐标即可；
（2）设抛物线的解析式为：，从而求出a的值，再把x=0代入解析式，即可求解．
【详解】（1）由题意得：点坐标为（4.5，3.05），的坐标为（3，3.3），
故答案是：（4.5，3.05），（3，3.3）；
（2）设抛物线的解析式为：，
把点坐标（4.5，3.05），代入得，
解得：，
∴
当x=0时，，
答：篮球出手时距地面的高度为2.3米．
【点睛】考查了二次函数的应用，利用二次函数的顶点式，求出函数解析式是解题的关键．
26. 在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，且．
（1）当时，求的值；
（2）点，，在抛物线上，若，判断，与的大小关系，并说明理由．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由，，可得，根据对称轴为直线即可求解；
（2）根据，求得对称轴的范围，再将点根据对称性转化到对称轴右侧，再根据得抛物线开口向上，随的增大而增大，即可得出答案．
【小问1详解】
当时，得，
，
；
【小问2详解】
，
，
，
，
，
，
点关于直线的对称点的坐标是，
．
．
，
当时，随的增大而增大．
．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，主要涉及到二次函数的开口方向、对称性以及增减性，熟知二次函数的基本性质是解决函数问题的关键．
27. 如图，在中，，，，连接，将线段绕点顺时针旋转90°得到线段，连接．
（1）依题意，补全图形，并证明：；
（2）求的度数；
（3）若为线段的中点，连接，请用等式表示线段与之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）画图和证明见解析；
（2）135° （3），证明见解析．
【解析】
【分析】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，三角形内角和定理，勾股定理等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
（1）先根据题意画出对应的图形，只需要利用证明即可证明；
（2）连接，如图所示．先由等腰直角三角形的性质得到再证明由全等三角形的性质得到．则可以推出，利用三角形内角和定理即可得到；
（3）如图所示，延长至K，使得，连接．证明．得到，，则．进一步证明．得到．由此证明，得到．在等腰直角中，，则，即可证明．
【小问1详解】
解：补全图形，如图所示．
证明：∵ 线段绕点C顺时针旋转90°得到线段，
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：连接，如图所示．
由（1）可得是等腰直角三角形，
∴，
∴；
∵，
∴；
由可得．
∴．
∴；
【小问3详解】
解：，理由如下：
如图所示，延长至K，使得，连接．
∵为线段的中点，
∴．
∵，
∴．
∴，．
∴，．
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
由可得，
∴，
∵，
∴．
∴．
∵在等腰直角中，，
∴．
∵，
∴．
28. 给定图形和点，，若图形上存在两个不重合的点，，使得点关于点的对称点与点关于点的对称点重合，则称点与点关于图形双对合.在平面直角坐标系中，已知点，，．
（1）在点，，中，与点关于线段双对合的点是______；
（2）点是轴上一动点，的直径为1．
①若点与点关于双对合，求的取值范围；
②当点运动时，若上存在一点与上任意一点关于双对合，直接写出点的横坐标的取值范围．
【答案】（1）D，F；
（2）①；②或．
【解析】
【分析】（1）根据双对合的定义逐一判断即可得到答案；
（2）①由双对合定义可知随着直径的端点G，H在上运动，点在以点A为圆心，2为半径的圆上及其内部（不含点A），由此求出取值范围；②找出临界图形，计算可以求出取值范围．
【小问1详解】
由双对合定义可知：，
，，
轴，
，，
，
O关于线段的双对合点是D，F；
故答案为D，F；
【小问2详解】
①设是上任意一条直径，则．
设点是与点A关于双对合的点，将点A和点分别关于点G，H对称后重合的点记为，所以点G，H分别是和 的中点．
由三角形中位线的知识，可知．
随着点G，H在上运动，点在以点A为圆心，2为半径的圆上及其内部（不含点A），将它记为S．因为点A与点关于双对合，
所以当S与y轴相交时，可求得t 的值为和．
所以t 的取值范围是．
②当上的一点在上时，如图，则上离最近的点到的距离为：时存在，解得；
当上的一点在BC上时，则上的点离最近的点到的距离不大于1，
即K到的距离不大于，
，即与x轴的夹角为45°，
交点，
这时，
即；
当上的一点在上时，则上的点离最近的点到的距离大于1，不存在；
综上所述：或
【点睛】本题考查新定义，能正确理解新定义并转化为所学知识解决问题是解题的关键．
x
0
1
2
3
y
0
0
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半，
分析：根据圆心与圆周角的位置关系，可以分为三类．
已知：如图，A、B、C为上的三个点
求证：．
请你参考情况1的证明，完成情况2、情况3的证明．
情况1圆心在圆周角的边上
证明：
∵，
∴，
由外角可得，
，
∴．
即．
情况2圆心在圆周角内部
证明：作直径．
∵，
∴．
∴
，
同理______，
∴
______，
∴．
情况3圆心在圆周角外部
证明：作直径．
∵，
∴．
∴
______，
同理______，
∴
______，
∴．