重难点08 几何热考题二 三角形热考模型（10种模型汇总+专题训练+10种模型解析）-【+答案】2025年中考数学一轮复习讲练测（全国通用）

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【题型汇总】
题型01 A字模型
1．（2021九年级·全国·专题练习）如图，△ABC中，∠A=65°，直线DE交AB于点D，交AC于点E，则∠BDE+∠CED=（ ）．
A．180°B．215°C．235°D．245°
2．（2023·陕西西安·西安高级中学校考模拟预测）将一把直尺与一块直角三角板按如图所示的方式放置，若∠1=125°，则∠2的度数为（ ）
A．35°B．40°C．45°D．55°
3．（2020·四川广安·中考真题）如图，在五边形ABCDE中，若去掉一个30°的角后得到一个六边形BCDEMN，则∠l+∠2的度数为（ ）
A．210°B．110°C．150°D．100°
4．（2023·广东广州·统考一模）在“玩转数学”活动中，小林剪掉等边三角形纸片的一角，如图所示，发现得到的∠1与∠2的和总是一个定值．则∠1+∠2= 度．
5．（2023·贵州贵阳·统考一模）如图，在四边形纸片中，∠D＝50°，若沿图中虚线剪去∠D，则∠1＋∠2＝ °．

题型02 8字模型
1. 如图，在由线段AB,CD,DF,BF,CA组成的平面图形中，∠D=28°，则∠A+∠B+∠C+∠F的度数为（ ）．
A．262°B．152°C．208°D．236°
2.．（2023临汾市模拟预测）（1）已知：如图（1）的图形我们把它称为“8字形”，试说明：∠A+∠B=∠C+∠D．
（2）如图（2），AP，CP分别平分∠BAD，∠BCD，若∠ABC=36°，∠ADC=16°．求∠P的度数．
（3）如图（3），直线AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P与∠B、∠D的数量关系是______；
（4）如图（4），直线AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P与∠B、∠D的数量关系是______．
3．（2020九年级·全国·专题练习）阅读材料：
如图1，AB、CD交于点O，我们把△AOD和△BOC叫做对顶三角形．
结论：若△AOD和△BOC是对顶三角形，则∠A+∠D＝∠B+∠C．
结论应用举例：
如图2：求五角星的五个内角之和，即∠A+∠B+∠ACE+∠ADB+∠E的度数．
解：连接CD，由对顶三角形的性质得：∠B+∠E＝∠1+∠2，
在△ACD中，∵∠A+∠ACD+∠ADC＝180°，
即∠A+∠3+∠1+∠2+∠4＝180°，
∴∠A+∠ACE+∠B+∠E+ADB＝180°
即五角星的五个内角之和为180°．
解决问题：
（1）如图①，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝ ；
（2）如图②，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝ ；
（3）如图③，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H＝ ；
（4）如图④，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N＝ ；
请你从图③或图④中任选一个，写出你的计算过程．
4．（2024八年级上·全国·专题练习）阅读材料，回答下列问题：
【材料提出】
“八字型”是数学几何的常用模型，通常由一组对顶角所在的两个三角形构成．
【探索研究】
探索一：如图1，在八字型中，探索∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系为 ___________；
探索二：如图2，若∠B=36°，∠D=14°，求∠P的度数为 ___________；
探索三：如图3，CP、AG分别平分∠BCE、∠FAD，AG反向延长线交CP于点P，则∠P、∠B、∠D之间的数量关系为 ___________．
【模型应用】
应用一：如图4，延长BM、CN，交于点A，在四边形MNCB中，设∠M=α，∠N=β，α+β>180°，四边形的内角∠MBC与外角∠NCD的角平分线BP，CP相交于点P，则∠A=___________（用含有α和β的代数式表示），∠P=___________．（用含有α和β的代数式表示）
应用二：如图5，在四边形MNCB中，设∠M=α，∠N=β，α+β0的图像上有一点P，PA⊥x轴于点A，点B在y轴上，则△PAB的面积为______．
(3)如图2，P是边长为a的正△ABC内任意一点，点O为△ABC的中心，设点P到△ABC各边距离分别为ℎ1，ℎ2，ℎ3，连接AP，BP，CP，由等面积法，易知12aℎ1+ℎ2+ℎ3=S△ABC=3S△OAB，可得ℎ1+ℎ2+ℎ3=32a；如图3，若P是边长为4的正五边形ABCDE内任意一点，设点P到五边形ABCDE各边距离分别为ℎ1，ℎ2，ℎ3，ℎ4，ℎ5，参照上面的探索过程，求ℎ1+ℎ2+ℎ3+ℎ4+ℎ5的值．（参考数据：tan36°≈23，tan54°≈32）
(4)如图4，已知⊙O的半径为1，点A为⊙O外一点，OA=2，AB切⊙O于点B，弦BC∥OA，连接AC，求图中阴影部分的面积．（结果保留π）
(5)我国数学家祖暅，提出了一个祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等．如图所示，某帐篷的造型是两个全等圆柱垂直相交的公共部分的一半（这个公共部分叫做牟合方盖），其中曲线AOC和BOD均是以1为半径的半圆．用任意平行于帐篷底面ABCD的平面截帐篷，所得截面四边形均为正方形，且该正方形的面积恰好等于与帐篷同底等高的正四棱柱中挖去一个倒放的同底等高的正四棱锥后同高度截面的面积（图8中阴影部分的面积），因此该帐篷的体积为______．（正棱锥的体积V=13底面积×高）
2．（23-24八年级上·浙江绍兴·阶段练习）数学中常常利用面积相等来证明其他的线段相等，这种方法被称为“面积法”．已知等边△ABC，点P是平面上任意一点，设点P到△ABC边AB、AC边的距离分别为PD、PE，△ABC的BC边上的高为AM．回答以下问题：

(1)如图（1），若点P在三角形的BC边上，PD、PE、AM存在怎样的数量关系？请给出证明过程．
(2)如图（2），当点P在△ABC内，已知AM=10，求PD+PE+PF的值．
(3)如图（3），当点P在△ABC外，请直接写出AM与PD、PF、PE的数量关系，不用证明．
题型10 等边三角形类弦图模型
1．（24-25八年级上·贵州黔南·期中）如图，已知D，E分别是等边三角形ABC中AB，AC边上的点，且AD=CE，连接CD，BE，交于点F．请判断∠DFB与∠ACB之间有怎样的数量关系，并说明理由．
2．（24-25九年级上·湖北·阶段练习）在等边△ABC中，点D，E分别是BC，AB上的动点，且AE=BD，AD交CE于点F．
(1)如图1，填空：D，E在运动过程中，AD与CE的数量关系为：______；∠CFD的度数为______；
(2)如图2，过C作CP⊥AD于P，PF=1；
①求CF之长；
②若∠CEB=75°，求AB之长；
(3)如图3，CP⊥AD于P，连接BF，若BF⊥CF，求证：PF=AF．图示
结论
∠1+∠2 = 180°+∠A
8字模型
8字模型-进阶（8字模型+角平分线）
图示
AP平分∠BAD, CP平分∠BCD
结论
∠A+∠B=∠C+∠D, AD+BC＞AB+CD
飞镖模型
飞镖模型-进阶（飞镖模型+角平分线）
图示
BO平分∠ABC, OD平分∠ADC
结论
∠BCD=∠A+∠B+∠D, AB+AD＞BC+CD
老鹰抓小鸡模型
图示
点O为∠A内部的一点
结论
∠1+∠2 = ∠A+∠O
向内翻折
向外翻折
图示
结论
2∠C=∠1+∠2
2∠C=∠2-∠1
两内角平分线模型
两外角平分线模型
一内一外角平分线
条件
已知BD、DC分别平分∠ABC、∠ACB
已知BD、DC分别平分∠EBC、∠BCF
BE、EC分别平分∠ABC、∠ACD
图示
结论
∠D = 90°+∠A
∠D = 90°-∠A
∠E = ∠A
底相同
高相同
已知
∆ABC中BC边上的高为AE，
∆BCD中BC边上的高为DF
∆ABC中，D为BC上一点.
∆ABC中BC边上的高为h
图示
结论
三角形底相同时，面积比等于高之比
三角形高相同时，面积比等于底之比
类型
点D在BC上
点D在BC的延长线上
条件
在△ABC中，AB=AC
在△ABC中，AB=AC
图示
结论
类型
点D在△ABC内
点D在△ABC外
条件
△ABC是等边三角形
图示
结论
条件
在等边△ABC中，AE=CD，求AD与BE的数量关系及夹角∠BFD的大小.
图示
结论
①数量关系：BE=AD；②夹角关系：∠BFD=60°