江苏省镇江市2026届高三上学期期中质量监测数学含解析（word版）

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1. 已知全集 U={1,2,3,4,5,6} ，集合 A={1,3,5},B={2,3,6} ，则 ∁UA∩B
A. {2} B. {2,6} C. {1,2,4} D. {2,4,6}
【答案】B
【解析】 ∁UA={2,4,6},∁UA∩B={2,6} ,选 B.
2. 设 i 是虚数单位,若复数 z 满足 2−iz=22+i ,则复数 z 的虚部为
A. 1 B. i C. 2 D. 2i
【答案】C
【解析】 z=22+i2−i=22+i2+i2−i2+i=3+32i3=1+2i ,虚部为 2 , 选 C.
3. “ α>β ” 是 “ sinα>sinβ ” 的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 即不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】 α>β⇏sinα>sinβ ,如 α=π,β=0,sinα=sinβ ,不充分; sinα>sinβ⇏α>β ,如 sin0>sin43π ,不必要,选D.
4. 抛物线 y2=2pxp>0 的准线与双曲线 x2a2−y2b2=1a,b>0 的渐近线交于点 −1,1 , 且有一个公共的焦点, 则双曲线方程为
A. x2−y2=1B. x22−y22=1 C. x23−y23=1 D. 2x2−2y2=1
【答案】D
【解析】抛物线准线 x=−p2=−1,∴p=2 ,抛物线的焦点 1,0 与双曲线右焦点重合, c=1 ,双曲线渐近线过 −1,0,∴a=b=22 ,选D.
5. 已知 α∈0,π,sinα−csα=15 ,则 tan2α=
A. −247 B. 247 C. −43 D. 43
【答案】A
【解析】 α∈0,π,sinα−csα=15,∴sinα=45,csα=35
tanα=43,tan2α=−247 ,选A.
6. 某工厂生产的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量 P (单位:mg/L) 与过滤时间 t (单位: h ) 的关系为: P=P0ekt ( P0,k 是正常数). 如果在前 5h 消除了10%的污染物，那么污染物减少50%需要的时间大约为(精确到1h，参考数据 lg2≈0.301,lg3≈0.477)
A. 31h B. 33h C. 35h D. 37h
【答案】B
【解析】 90%P0=P0e−5k,∴ln0.9=−5k,k=−15ln0.9
50%P0=P0e−kt,∴ln0.5=−kt,k=−1tln0.5,∴−15ln0.9=−1tln0.5
∴t=−1lg9−1=51−lg2−12lg3−1=−5lg22lg3−1=−5×0.3012×0.477−1≈33 ,
选 B.
7. 已知 △ABC 角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,A=60∘,D 为 BC 上一点,且 AD=3 , AD=34AB+14AC ,则 b+3c 的最大值是
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
【答案】D
【解析】 AD2=916AB2+116AC2+38AB⋅AC,3=916c2+116b2+38bc⋅12
∴48=9c2+b2+3bc=3c+b2−3bc,b+3c≥23bc,∴b+3c2≥4⋅3bc
∴3bc≤b+3c24,∴48=3c+b2−3bc≥3c+b2−b+3c24=3b+3c24
∴b+3c2≤64,∴b+3cmax=8 ,选D.
【点评】:解三角形，向量是工具，最终用基本不等式求最值。
8. 如图，某圆柱完全在一个棱长为 9 的空心正四面体内部，该圆柱的下底面落在此正四面体一个底面上, 当该圆柱体积最大时, 其底面半径为
A. 3 B. 2 C. 22 D. 3
【答案】A
【解析】设圆柱与面 PBC 切于 Q 点,连接 PQ ,并延长交 BC 于 R,R 为 BC 中点, ∴PO2=63×9=36,O2R=36×9=332

设 O1Q=r,O1O2=h O1,O2 分别为圆柱的上下底面圆心)
由 O1Q//O2R⇒r332=36−h36⇒22r=36−h⇒h=36−22r,00 . 若 alnx=2x 有三个不同解,求 a 的范围; 并求 alnx∥−1=0 的所有零点之积. 答案: a>2e ; 零点为 ±e1/a,±e−1/a ,乘积仍为 1 .
【点评】:函数零点可以求出来，就可以求出零点的乘积，第二空就是考的过原点作切线问题，作为 14 难度挺小的。
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (本小题 13 分) 已知 △ABC 的面积记为 S ,请在以下三个条件中,选择一个合适的条件, 补充完成下题 (只要写序号), 并解答该题.
① 2a=c+2bcsC ; ② 3AB⋅BC+2S=0 ; ③ a+b+ca−b+c=3ac
△ABC 内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ，已知_____.
(1)若 b=7,c=5 ，求 a ；
(2)若 △ABC 为锐角三角形， b=2 ，求 a+c 的取值范围.
【解析】
(1)若选①，则 2sinB+C=sinC+2sinBcsC⇒2sinBcsC+csBsinC=sinC+2sinBcsC
csB=12,B=π3 ,由余弦定理 ⇒a2+25−2a⋅5⋅12=49 ,
∴a2−5a−24=0,a+3a−8=0,a=8
若选②， 3c⋅a⋅−csB+acsinB=0⇒tanB=3,B=π3 ，以下同上若选③， a+12a−2=15a⇒a2−5a−24=0⇒a=8 .
(2)无论选哪一个 B=π3 ，由正弦定理 ⇒asinA=bsinB=232=43
∴a+c=43sinA+43sinC=43sinA+43sinA+π3=23sinA+2csA=4sinA+π6
∵△ABC 为锐角三角形, ∴0⇒ex1+ex2=1x1+1x2>∗
解法一 ( AM−GM+ 一元函数极值) 由 (*) 及 AM−GM,ex1+ex2≥2ex1+x22 .
故 x1+x2x1x2=ex1+ex2≥2ex1+x22⇒x1x2≤x1+x22ex1+x22 .
对任意 u>0 ,设 hu=u2e−u2,h′u=12e−u/21−u2 ,
最大值取于 u=2 ,值为 1e .
于是 x1x2≤1e . 又因 AM - GM 取等需 x1=x2 (与两根不相等矛盾),
结论: 00 在 0,+∞ 有两不等正根 x1,x2 ,证 x1x20,b>0 的离心率为 5 ，与 x 轴交于点 A1,0 .
(1)求双曲线 Γ 的标准方程；
(2)若动直线 l:y=12x+m 与双曲线 Γ 交于异于点 A 的不同两点 B,C .
①若 AB⊥AC ,求此时直线 l 的方程；
②经过 A,B,C 三点的动圆 M 是否经过异于点 A 的定点，如果存在，请求出定点坐标:如果不存在，请说明理由.
【解析】
方法一:(1)由题意知 a=1ca=5a2+b2=c2⇒a=1b=2,∴双曲线Γ的标准方程为: x2−y24=1
(2)① 设 Bx1,y1,Cx2,y2,A1,0
y=12x+m4x2−y2=4⇒4x2−14x2+mx+m2=4 ,即 154x2−mx−m2−4=0
∵AB⊥AC,∴AB⋅AC=x1−1x2−1+y1y2=0
即 x1−1x2−1+12x1+m12x2+m=54x1x2+m2−1x1+x2+1+m2=0
∴54⋅−415m2+4+m2−1⋅4m15+1+m2=0⇒12m2−4m−5=0
即 2m+16m−5=0⇒m=−12 或 m=56
但当 m=−12 时,直线 l:y=12x−12=12x−1 恒过 A ,
这时 B 或 C 与 A 重合,舍去, ∴m=56 ,直线 l 方程为: y=12x+56
②设经过 A,B,C 三点的动圆 M 方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0 ，它过 A1,0
∴1+D+F=0⇒F=D−1 ,即圆 M:x2+y2+Dx+Ey−D−1=0
y=12x+mx2+y2+Dx+Ey−D−1=0⇒x2+14x2+mx+m2+Dx+E2x+Em−D−1=0
即 54x2+m+D+E2x+m2+Em−D−1=0 ( 2 )
(1)(2)为同解方程， ∴15454=−mm+D+E2=−m2−4m2+Em−D−1=3
∴D+E2=−43mEm−D=−43m2−13⇒12+mE=−43m2−43m−13=−132m+12
∴E=−232m+1, D=−43m+132m+1=−2m3+13
∴ 圆 M 变为 x2+y2+131−2mx−232m+1y+23m−43=0
分参得 m23−23x−43y+x2+y2+13x−23y−43=0
令 23−23x−43y=0x2+y2+13x−23y−43=0⇒y=0 或 1615
圆 M 恒过定点 1,0 和 −1715,1615,∴ 圆 M 还过定点 −1715,1615 .
方法二:基础求解
(1)标准方程为 x2−y24=1
(2)①解法一: AB⋅AC=0⇔x1−1x2−1+y1y2=0 .
用韦达关系化简: x1x2−x1+x2+1+14x1x2+12mx1+x2+m2=0 ,
45m2−415m−13=0⇔12m2−4m−5=0.
解得 m=56 或 m=−12 . 除过 A 的 m=−12 . 故所求直线 y=12x+56
解法二: kAB=y1−0x1−1=12x1+mx1−1,kAC=12x2+mx2−1 .
垂直条件 kAB⋅kAC=−1 化为 12x1+m12x2+mx1−1x2−1=−1
与解法一所得同式,仍得 m=56 (舍 m=−12 ).
解法三: AB⊥AC 当且仅当点 A 在以 BC 为直径的圆上. 该圆的方程可写作 x−x1x−x2+y−y1y−y2=0.
将 A1,0 代入即得条件 x1−1x2−1+y1y2=0 ,
回到解法一同一恒等式: y=12x+56 .
②方法一
过 A1,0 的一般圆可写作 x2+y2+ux+vy−u−1=0 .
该圆与直线 y=12x+m 的交点恰为与双曲线的交点 B,C ,
故把 y=12x+m 代入上式,
所得关于 x 的二次式必须与 15x2−4mx−4m2+16=0 成比例.
比对 x2,x ,常数项系数可解出 u=1−2m3,v=−43m+12 .
圆 C 写成 x2+y2+1−2m3x−4m+23y−1−2m3−1=0 .
设存在定点 Px0,y0 ,把 P 代入并按 m 的系数分类,
得 1−x0−2y0=0,x02+y02+13x0−23y0−43=0.
解得两解 x0,y0=1,0 (即 A ) 与 P−1715,1615
动圆总经过点 P−1715,1615 .
方法二: 取两条不同直线 l0:y=12x、l2:y=12x+2 ,
分别与 Γ 交得三点确定两圆: C0:x2+y2+13x−23y−43=0 ,
C2:x2+y2−x−103y=0.
两圆交点解得公共弦: C2−C0⇒x+2y−1=0 .
该直线与任一圆联立,除 A1,0 外得 P−1715,1615 .
【深度挖掘与拓展】
1、命题背景
对本题双曲线 Γ:x2−y24=1 ,把斜率固定为 k=12 . 上面求得的定点 P 恰是直线 kx+y=k即x+2y=1 与 Γ 的另一交点 (除 A1,0 外). 换言之: 斜率取 +k 的所有割线所对应的外接圆,必经 Γ 与过 A 斜率为 −k 的直线之另一交点.
对本题 k=12 ,过 A 斜率 −12 的直线为 y=−12x−1 ,它与 Γ 的另一交点正是 P−1715,1615
2、垂直条件推广到任意斜率 k
双曲线 Γ:x2−y24=1 上,若固定斜率为 kk≠2 ,令 l:y=kx+m
与 Γ 交于 B,C ,则 AB⊥AC 的充要条件化为 3m2−2km−5k2=0
3、定点的一般公式
对本题双曲线 Γ:x2−y24=1 ,固定任意斜率 kk≠2 ,当 m 变动时,
圆 A,B,C 总过两定点: A1,0,Pk=k2+4k2−4,−8kk2−4
其中 Pk 正是 Γ 与直线 kx+y=k (即过 A 斜率为 −k 的直线) 的另一交点. 特别地,令 k=12 即得本题 P−1715,1615 .
4、完全一般结论
设一般双曲线 Γ:x2a2−y2b2=1,Aa,0 ,固定斜率 kk≠ba ,令直线 l:y=kx+m 与 Γ 交于 B,C . 垂直条件 AB⊥AC 的两根为 m=−ak 或 m=aa2+b2b2−a2k ,其中 m=−ak 使 l 过 A (不取),故合题者为 y=kx+aa2+b2b2−a2k
定点结论: 当 m 变动时,圆 A,B,C 总过两定点: Aa,0 , Pk=ak2a2+b2k2a2−b2,−2ab2kk2a2−b2 ,该点 Pk 正是 Γ 与过 A 且斜率为 −k 的直线 y=−kx−a 的另一交点; 并且恒有 xP2a2−yP2b2=1 .
几何解释: 固定斜率 k 的所有割线所得的外接圆构成一个同轴圆束, 其公共点为 A 与 Pk ; 且 Pk 随 k 改变在 Γ 上游走.
【改编】
把 AB⊥AC 改为 ∠BAC=θ 定角),仍取 l:y=kx+m ,用
tan∠BAC=12x1+mx1−1−12x2+mx2−1/1+12x1+m12x2+mx1−1x2−1 配合韦达消元,
即可得到关于 m 的二次或一次方程.