2025-2026学年上海市嘉定区高三上学期一模数学试卷（附答案解析）

这是一份2025-2026学年上海市嘉定区高三上学期一模数学试卷（附答案解析），共16页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、填空题
1．已知集合，，则 .
2．已知直线经过点、，则的倾斜角为 .
3．已知复数（为虚数单位），则 .
4．双曲线的离心率为 .
5．已知空间向量，，，且，则 .
6．在的二项展开式中，各项系数的和是 .
7．圆锥的侧面展开图中扇形中心角为，底面周长为，这个圆锥的侧面积是 ．
8．两个篮球运动员甲和乙罚球时命中的概率分别是0.7和0.6，两人各投一次，假设事件“甲命中”与“乙命中”是独立的，则至少一人命中的概率是 .
9．已知数列满足，且，则 .
10．已知向量，，，为直线上的一个动点，当取最小值时，向量的坐标为 .
11．已知，且，则实数的取值范围是 .
12．、、、、是1、2、3、4、5的全排列，如果对任意的，和中至少有一个大于，则满足要求的排列的总数为 .
二、单选题
13．如果，那么下列不等式中成立的是（ ）
A．；B．；C．；D．.
14．函数是（ ）
A．最小正周期为的奇函数
B．最小正周期为的偶函数
C．最小正周期为的奇函数
D．最小正周期为的偶函数
15．若实数、、满足，则、、的大小关系不可能是（ ）
A．B．
C．D．
16．数列的前项和为，且对任意正整数，总存在正整数，使得，则下列命题中正确的是（ ）
A．对任意正整数，总存在正整数，使得
B．数列一定是等差数列
C．存在公比为正整数的等比数列满足条件
D．对任意正整数，总存在正整数、，使得
三、解答题
17．A校抽取66名高一年级学生测量身高，因某种原因原始数据遗失.已知该样本是按照分层随机抽样的方法抽取的，其中男生34名，身高平均数为173cm；女生32名，身高平均数为161cm.该66名学生身高的方差为60，其频率分布直方图如下：
(1)求该66名学生中身高在（单位：cm）内的人数；
(2)试用已知数据估计A校高一年级全体学生身高的平均数；（结果精确到0.1cm）
(3)若一组数据落在（是平均数，是标准差）内的频率不小于92%，则称这组数据满足“常态”.试判断这66个身高数据是否满足“常态”，并说明理由.
18．如图，在四面体中，，从顶点作平面的垂线，垂足恰好落在的中线上.
(1)如果，直线与平面所成的角为，求直线与平面所成角的大小；
(2)证明：平面平面
19．已知.
(1)若，求函数的单调区间.
(2)若在上存在零点，求实数的最大值.
20．如图，在平面直角坐标系中，为原点，已知抛物线的焦点为，点的坐标为.
(1)若点在上，且，求点的坐标；
(2)若是上的任意一点，求的最小值；
(3)过点的动直线与抛物线交于、两点，过点、分别作的切线，切线交点为，求证：点的轨迹是一条直线.
21．图1为转角过道的地面平面示意图.该过道由两条直道连接形成转角，由水平平坦的地面与垂直于地面的墙面共同围成，两端延伸至足够远处，且高度充足.其中，、构成地面上过道的一侧边界，；地面上过道的另一侧边界，则分别与、平行，且交于点.过道两侧平行墙面之间的距离均为3米.
0
(1)如图2，在地面有一圆，该圆与、均相切，且过点.求此圆的半径；
(2)如图3，有一根长度为米的无粗细木棒紧贴地面，端点沿移动，另一端点沿移动.当木棒触碰到点时，（弧度），求关于的函数关系及的最小值；
(3)如图4，某长方体家具的底面为长方形，其宽为1米，长为10米（因过道高度足够，无需考虑家具高度）.现将底面紧贴地面移动，判断该家具能否顺利通过此转角过道，并说明理由.
《上海市嘉定区2025-2026学年高三上学期一模数学试卷》参考答案
1．
【分析】根据题意结合集合的并集运算求解即可,
【详解】因为集合，，
所以.
故答案为：.
2．
【分析】根据斜率公式求斜率，即可得直线的倾斜角.
【详解】设直线的倾斜角为，
因为直线经过点、，则直线的斜率，
则，可得，
所以直线的倾斜角为.
故答案为：.
3．1
【分析】根据复数的除法运算求得，即可得模长.
【详解】因为复数，
所以.
故答案为：1.
4．
【详解】∵由题可知
∴
∴离心率
故答案为：.
5．
【分析】首先利用向量的垂直得出，，，再将平方即可求解.
【详解】，，，，，，
， ，
.
故答案为：.
6．
【分析】令即可得出答案.
【详解】令，则，则各项系数的和为.
故答案为：
7．
【分析】借助扇形弧长公可计算出圆锥母线长，结合扇形面积公式即可得圆锥侧面积.
【详解】设圆锥母线长为l，扇形圆心角为，则，故，
则.
故答案为：.
8．
【分析】正难则反，先求其对立事件的概率，即两人都未命中的概率即可.
【详解】记事件“甲和乙至少一人命中”，则其对立事件为“甲和乙两人都未命中”，
由相互独立事件同时发生的概率乘法公式得，
，
所以.
故答案为：.
9．
【分析】观察递推式为分式的形式，通过取倒数将其转化为线性递推关系，构造等差数列可求得数列的通项公式，进而求解．
【详解】对的两边取倒数得，
所以，所以数列是首项为，公差为2的等差数列，
所以数列的通项公式为，
所以数列的通项公式为，所以．
故答案为：．
10．
【分析】由题意设，根据数量积的坐标表示计算，即可求解.
【详解】因为为直线上的一个动点，所以与共线，设，
所以
，
所以当时，取最小值，此时.
故答案为：
11．
【分析】根据题意求函数的定义域，并判断的奇偶性和单调性，结合函数性质解不等式即可.
【详解】令，等价于，可得，解得，
可知函数的定义域为，
因为，即，
可知函数为奇函数，
且，
因为在内单调递增，则在内单调递减，
且在定义域内单调递增，可知函数在内单调递减，
若，则，
可得，解得，
所以实数的取值范围是.
故答案为：.
12．
【分析】先判断出的位置，然后对第二位进行分类讨论，同时注意数字的位置，结合对称性可求解出满足要求的排列的总数.
【详解】因为没有比大的数，所以只能排在第一位或者第五位，
当排在第一位时，若排在第二位，此时排列可以是，，，，共种情况；
当排在第一位时，若排在第二位，此时没有比大的数，故只能排在第五位，
此时排列可以是，，共种情况；
当排在第一位时，若排在第二位，此时没有比大的数，故只能排在第五位，
此时排列可以是，共种情况；
当排在第一位时，若排在第二位，此时没有比大的数，故只能排在第五位，
此时排列可以是，共种情况；
由上可知，当排在第一位时，共有种情况，
同理可得，当排在第五位时，也有种情况满足条件，
综上所述，共有种排列满足条件，
故答案为：.
13．B
【分析】利用不等式的性质比较大小逐一判断即可.
【详解】对于A：由得，错误；
对于B：由，则有，即，正确；
对于C：由得，则根据不等式的性质有，即，
由可得，错误；
对于D：由得，则，即，错误.
故选：B
14．C
【分析】利用二倍角公式和诱导公式化简，最后由正弦函数性质即可求解.
【详解】，
所以函数为奇函数，最小正周期.
故选：C
15．D
【分析】根据给定条件，求出的函数关系，再在同一坐标系内作出函数图象，数形结合即可判断.
【详解】令，得，
在同一直角坐标系内作出函数，的图像，
则分别是函数，的图像与直线交点的纵坐标，
设点的横坐标为，点的横坐标为，
观察图像得当时，，
当时，，
当时，，
所以ABC是可能的，D不可能.
故选：D
16．D
【分析】可根据数列的性质，对每一选项进行分析判断即可.
【详解】选项A：取数列，易知不存在正整数，使得，故该选项错误；
选项B：取数列，则，满足对任意正整数，总存在正整数，使得，但数列不是等差数列，故该选项错误；
选项C：设等比数列的公比为，首项为，则，
当时，，，则不恒为0，不符合题意；
当正整数时，，，
若，则，
由于正整数，则，
即…*，
由于单调递增，且在与之间不存在其他正整数，则*式不成立；
故C错误；
选项D：当正整数时，由题意，存在正整数使得，
且存在正整数使得，则符合题意；
当时，存在正整数使得，取，则符合题意；
故D正确.
故选：D.
17．(1)
(2)
(3)满足，说明见解析
【分析】（1）根据频率分布直方图，求出身高在的频率，再求出频数即可得到答案；
（2）求出66名学生的身高平均数，用样本估计总体即可得到结果；
（3）根据题目数据求出约为，再根据频率分布直方图求出数据落在的频率，根据即可进行判断.
【详解】（1）由频率分布直方图可知，身高在的频率为，
，所以该66名学生中身高在（单位：cm）内的人数为人.
（2）这66名高一年级学生身高平均数为，
因为该样本是按照分层随机抽样的方法抽取的，所以估计校高一年级全体学生身高的平均数为.
（3）由（2）知，所以约为，
数据落在内的频率为，
因为，所以数据落在内的频率不小于，
所以这66个身高数据满足“常态”.
18．(1)
(2)证明详见解析
【分析】利用几何法找到线面成角，利用线面垂直证明面面垂直.
【详解】（1）连接，如图.
由题可知，平面，平面,则，
且即为直线与平面所成角，
即.由，为边的中线，
可得.而，可得，.
而即为直线与平面所成角，且,
则，可得直线与平面所成角为.
（2）由，，，平面,故平面，
而平面，则平面平面
19．(1)答案见解析；
(2).
【分析】（1）应用导数研究函数的单调区间即可；
（2）问题化为与在上有交点，应用导数研究的单调性并求出值域，即可得范围.
【详解】（1）由题设，则，
当或，即在上单调递增，
当，即在上单调递减，
所以的单调增区间为，单调减区间为；
（2）在上，令，
所以在上有解，
即与在上有交点，
由且，
所以，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
当或，有，且，
所以，故最大的为.
20．(1)或；
(2)；
(3)证明见解析.
【分析】（1）令，应用两点距离公式求参数值，即可得点的坐标；
（2）若垂直抛物线的准线于，结合抛物线的定义得，数形结合确定其最小值；
（3）设，，应用导数几何意义求过的切线，进而得到，，联立直线与抛物线并应用韦达定理得，，即可证.
【详解】（1）由题设，令，则，即，
所以，故或；
（2）若垂直抛物线的准线于，由抛物线的定义知，
所以，当且仅当三点共线时取等号，
又抛物线的准线时，最小为，
所以的最小值为；

（3）由题设，直线的斜率一定存在，设，，
而，则过的切线斜率为，对应切线为，即，
同理过的切线为，即，
联立，可得，整理得，
由题意，则，，
联立，得，且，
所以，则，，
显然点在直线，即上，得证.
21．(1)
(2)，
(3)不能通过，理由见解析
【分析】（1）连接，设圆心为，过作，，由几何性质建立半径的方程，解方程可得结果；
（2）过点作，交过道另一侧边界于点，过点作，交过道另一侧于点，由图形关系可得与的函数关系，并利用导数和函数的对称性求得的最小值；
（3）设，延长交于，交于，由，得到的表达式，验证可得结论.
【详解】（1）连接，设圆心为，过作，，
由，，，可得，
从而，，
所以，解得.
（2）如图，过点作，交过道另一侧边界于点，过点作，交过道另一侧于点，
则，，
所以，
令，
，
当时，，，
所以，
所以，当且仅当时取等号，故在上严格单调递减，
并且，所以关于对称，
所以，即时，的最小值为12米.
（3）设底面长方形顶点、分别在边界、上移动，
设，延长交于，交于，
则，
由，
设，
若家具可以通过转角，则对于，，
但，所以家具不能通过该转角.
题号
13
14
15
16






答案
B
C
D
D