广东省江门市第一中学景贤学校2025-2026学年八年级上学期期中数学试卷（含答案）

这是一份广东省江门市第一中学景贤学校2025-2026学年八年级上学期期中数学试卷（含答案），共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列图案中是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.党的二十大以来，我国的绿色能源产业得到飞速发展.根据国家能源局报道，2025年一季度全国可再生能源发电量达到8160亿千瓦时.将8160亿用科学记数法表示为( )
A. 8.16×1011B. 81.6×1011C. 0.816×1011D. 8.16×1012
3.点P(3,6)关于y轴对称点的坐标是( )
A. (3,6)B. (-3,-6)C. (3,-6)D. (-3,6)
4.如果一个三角形的两边长分别为3.5和4，则第三边的长可能是( )
A. 0.5B. 6.5C. 7.5D. 9.5
5.如图，下面是三位同学的折纸示意图，则AD依次是△ABC的( )
A. 中线、角平分线、高线B. 高线、中线、角平分线
C. 角平分线、高线、中线D. 角平分线、中线、高线
6.如图，B处在A处的南偏西45∘方向，C处在A处的南偏东15∘方向，C处在B处的北偏东80∘方向，则∠ACB的度数为( )
A. 95
B. 85
C. 60
D. 45
7.如图，在△ABC中，∠ACB=90∘，∠B=30∘，CD是高.若AD=2，则BD的长度为( )
A. 4B. 5C. 6D. 7.5
8.根据下列已知条件，能画出唯一的△ABC的是( )
A. AB=5，AC=4，BC=1B. AB=5，AC=4，∠B=60∘
C. ∠A=30∘，∠B=60∘，∠C=90∘D. ∠A=30∘，∠B=60∘，AB=5
9.如图，已知△ABC中，AB=6，BC=5，AC=4，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点F，过点F作DE//BC，交AB于点D，交AC于点E，连AF，则下列结论错误的是( )
A. ∠BFC=90∘+12∠ABC
B. DE=BD+CE
C. △ADE的周长为10
D. S△ABF：S△ACF：S△BCF=6：4：5
10.如图，C为线段AE上一动点(不与点A，E重合)，在AE同侧分别作等边三角形ABC和等边三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ.下列五个结论：①AD=BE；②PQ//AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤△CPQ是等边三角形．其中正确结论的个数是( )
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.已知方程组2x-y=4x-2y=2，则3x-3y的值是 .
12.两个三角形全等的三角形中，一个三边为2、5、x，另一个三边为y、2、6，则x+y= .
13.如图，把三角形纸片ABC折叠，使得点B，点C都与点A重合，折痕分别为DE，MN，若∠BAC=100∘，则∠DAM= 度.
14.阅读以下内容：
(x-1)(x+1)=x2-1，(x-1)(x2+x+1)=x3-1，(x-1)(x3+x2+x+1)=x4-1，根据这一规律，计算：1+2+22+23+24+25+…+22023-22024= .
15.如图，CD是△ABC的角平分线，△ABC的面积为12，BC长为4，点E，F分别是CD，AC上的动点，则AE+EF的最小值是 .
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题7分)
计算：4 2-2 3 3- 2(6- 2).
17.(本小题7分)
如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE平分∠BAC，若∠B=60∘，∠C=40∘，求∠DAE的度数.
18.(本小题7分)
如图，在△ABC中，已知AB=3，AC=5，完成以下问题：
(1)利用尺规作图，作出△ABC的中线AM；(不写作法，保留作图痕迹).
(2)过点M与BC垂直的直线MD交AC于点D，求△ABD的周长.
20.(本小题9分)
为加快“智慧校园”建设，某市为试点学校采购了一批A，B两种型号的交互式白板一体机，已知每套B型一体机的价格比每套A型一体机的价格多0.6万元，该市购进30套A型一体机和20套B型一体机共花费了72万元.
(1)求每套A型和B型一体机的价格.
(2)一段时间后，该市决定投入81万元再购买50套一体机.经过市场调查发现，此时每套A型一体机的价格下降了10%，每套B型一体机的价格上涨了0.18万元，则该市至少购买多少套A型一体机？
21.(本小题9分)
【综合与实践】
【情境背景】小明是一位热爱数学和几何的探险家，有一天，他来到一个神秘的岛屿，岛上有一个古老的遗迹，遗迹中有三个神秘的点A、B、C，它们构成了一个等腰直角三角形ABC，其中∠ACB=90∘，AC=BC.小明发现，这个三角形隐藏着某种秘密，可能与岛上的宝藏有关.
【任务一】
(1)如图1，小明在遗迹中发现了一条直线DE，这条直线恰好经过点C.他测量发现，AD⊥DE，BE⊥DE.为了解开遗迹的第一个谜题，小明需要证明：AD=CE，且CD=BE.则可通过求△ACD≌△CBE即可证明.请你尝试帮助小明写出证明过程；
【任务二】(2)如图2，小明使用他的GPS设备，确定了点A和点C的坐标.点A的坐标为(0,2)，点C的坐标为(1,0).为了找到点B的坐标，可以借鉴任务一的全等模型，构造全等三角形.请你帮小明计算出点B的坐标；
【任务三】(3)如图3，在遗迹的另一个部分，小明又发现了另一个等腰直角三角形，这次点A的坐标为(2,1)，点C的坐标为(4,2).小明猜测，这个三角形的另一个顶点B的坐标可能与宝藏的位置有关.请你再次帮助小明，直接给出点B的坐标.
22.(本小题13分)
【问题背景】我们学习等边三角形时得到直角三角形的一个性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30∘，那么它所对的直角边等于斜边的一半.在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，∠ABC=30∘，则AC=12AB.
【探究结论】小明同学对以上结论作了进一步研究.
(1)如图①，作AB边上的中线CE，得到结论：①△ACE为等边三角形；②BE与CE之间的数量关系为______；
(2)如图②，CE是△ABC的中线，D是边CB上任意一点，连接AD，作等边△ADP，且点P在∠ACB的内部，连接BP，试探究线段BP与DP之间的数量关系，写出你的猜想并说明理由；
(3)当D为边CB延长线上任意一点时，在(2)中条件的基础上，此时(2)的结论还成立吗？请画图并说明理由.
23.(本小题14分)
阅读下列材料：法国数学家韦达在研究一元二次方程时有一项重大发现：
如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)在b2-4ac≥0时的两根分别可表示为x1=-b+ b2-4ac2a，x2=-b- b2-4ac2a.那么可推得x1+x2=-ba，x1⋅x2=ca，这是一元二次方程根与系数的关系.
例：已知一元二次方程x2-x-1=0的两个实数根分别为m，n，求m2n+mn2的值.
解：∵一元二次方程x2-x-1=0的两个实数根分别为m，n，∴m+n=1，mn=-1，则m2n+mn2=mn(m+n)=(-1)×1=-1.
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
(1)材料理解：一元二次方程x2-3x-1=0的两个根为x1，x2，则x1+x2=______，x1⋅x2=______.
(2)初步体验：已知一元二次方程x2-3x-1=0的两根分别为m、n，求1m+1n的值.
(3)逆向应用：已知一元二次方程x2-bx-1=0的两根分别为s、t，且st-s-t+1=0，求b的值.
答案和解析
1.【答案】C
2.【答案】A
3.【答案】D
4.【答案】B
5.【答案】C
6.【答案】B
7.【答案】C
8.【答案】D
9.【答案】A
10.【答案】C
11.【答案】6
12.【答案】11
13.【答案】20
14.【答案】-1
15.【答案】6
16.【答案】4 2-2 6.
17.【答案】10∘.
18.【答案】
解：(1)作BC的垂直平分线交BC于点M，如图，AM即为所求；
(2)如图所示，连接BD，则DM是BC边的垂直平分线，
∴BD=DC，
∵AB=3，AC=5，
∴△ABD的周长=AB+BD+AD=AB+AC=3+5=8.
20.【答案】解：(1)设每套A型一体机的价格为x万元，每套B型一体机的价格为y万元，
根据题意得：x+0.6=y30x+20y=72，
解得：x=1.2y=1.8.
答：每套A型一体机的价格为1.2万元，每套B型一体机的价格为1.8万元；
(2)设该市购买m套A型一体机，则购买(50-m)套B型一体机，
根据题意得：1.2×(1-10%)m+(1.8+0.18)(50-m)≤81，
解得：m≥20，
又∵m为非负整数，
∴m的最小值为20.
答：该市至少购买20套A型一体机．
21.【答案】
(1)证明：∵AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠D=∠E=90∘，
∴∠ACD+∠DAC=90∘，
∵∠ACB=90∘，
∴∠ACD+∠BCE=90∘，
∴∠CAD=∠BCE，
在△ACD和△CBE中，
∠CAD=∠BCE∠D=∠EAC=BC，
∴△ACD≌△CBE(AAS)，
∴AD=CE，CD=BE；
(2)解：如图2，点A的坐标为(0,2)，点C的坐标为(1,0)，作BD⊥x轴，则∠BDC=∠AOC=90∘，
∴OA=2，OC=1，
同(1)理可证：△AOC≌△CDB，
∴CD=OA=2，BD=OC=1，
∴OD=OC+CD=3，
∴B(3,1)；
(3)解：B(3,4).理由如下：
如图3，点A的坐标为(2,1)，点C的坐标为(4,2)，过点C作直线l⊥x轴，交x轴于点F，作AD⊥l，BE⊥l，
∴AD=4-2=2，CD=2-1=1，
同(1)理可证：△ADC≌△CEB，
∴BE=CD=1，CE=AD=2，
∴B(4-1,2+2)，即：B(3,4).
22.【答案】①在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，∠ABC=30∘，
∴∠CAB=90∘-∠ABC=60∘，
CE是AB边上的中线，
∴CE=AE=BE=12AB，
∴△ACE为等边三角形；
②BE=CE；
线段BP与DP之间的数量关系是：BP=DP，理由如下：
连接PE，如图2所示：
由 可知：△ACE是等边三角形，
∴AC=AE，∠CAE=60∘，
∵△ADP是等边三角形，
∴AD=AP=DP，∠DAP=60∘，
∴∠CAE=∠DAP=60∘，
∴∠CAE-∠DAB=∠DAP-∠DAB，
∴∠CAD=∠EAP，
在△CAD和△EAP中，
AC=AE∠CAD=∠EAPAD=AP，
∴△CAD≌△EAP(SAS)，
∴∠ACB=∠AEP=90∘，
即PE⊥AB，
又∵CE是AB边上的中线，
∴AE=BE，
∴PE是AB边的垂直平分线，
∴AP=BP，
∴DP=BP；
成立，理由如下：
连接PE，如图3所示：

(1)①在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，∠ABC=30∘，
∴∠CAB=90∘-∠ABC=60∘，
CE是AB边上的中线，
∴CE=AE=BE=12AB，
∴△ACE为等边三角形；
②∵CE=AE=BE=12AB，
∴BE与CE之间的数量关系为：BE=CE；
(2)线段BP与DP之间的数量关系是：BP=DP，理由如下：
连接PE，如图2所示：
由(1)可知：△ACE是等边三角形，
∴AC=AE，∠CAE=60∘，
∵△ADP是等边三角形，
∴AD=AP=DP，∠DAP=60∘，
∴∠CAE=∠DAP=60∘，
∴∠CAE-∠DAB=∠DAP-∠DAB，
∴∠CAD=∠EAP，
在△CAD和△EAP中，
AC=AE∠CAD=∠EAPAD=AP，
∴△CAD≌△EAP(SAS)，
∴∠ACB=∠AEP=90∘，
即PE⊥AB，
又∵CE是AB边上的中线，
∴AE=BE，
∴PE是AB边的垂直平分线，
∴AP=BP，
∴DP=BP；
(3)成立，理由如下：
连接PE，如图3所示：
由(1)可知：△ACE是等边三角形，
∴AC=AE，∠CAE=60∘，
∵△ADP是等边三角形，
∴AD=AP=DP，∠DAP=60∘，
∴∠CAE=∠DAP=60∘，
∴∠CAE+∠DAB=∠DAP+∠DAB，
∴∠CAD=∠EAP，
在△CAD和△EAP中，
AC=AE∠CAD=∠EAPAD=AP，
∴△CAD≌△EAP(SAS)，
∴∠ACB=∠AEP=90∘，
即PE⊥AB，
又∵CE是AB边上的中线，
∴AE=BE，
∴PE是AB边的垂直平分线，
∴AP=BP，
∴DP=BP.
23.【答案】
(1)∵一元二次方程x2-3x-1=0的两个根为x1，x2，
∴x1+x2=3，x1⋅x2=-1.
故答案为：3，-1；
(2)∵一元二次方程x2-3x-1=0的两根分别为m，n，
∴m+n=3，mn=-1，
∴1m+1n=m+nmn=3-1=-3；
(3)∵一元二次方程x2-bx-1=0的两根分别为s，t，
∴s+t=b，st=-1，
∵st-s-t+1=0，
即-1-b+1=0，
解得：b=0，
∴b的值为0.