2025秋九年级数学上册第3章图形的相似学情评估试卷（含解析湘教版）

这是一份2025秋九年级数学上册第3章图形的相似学情评估试卷（含解析湘教版），共11页。
第3章 学情评估卷一、选择题（每题3分，共30分）1．如果ab=35，那么下列各式中一定成立的是（ ）A. ba=35B. b3=a5C. 5a=3bD. 3a=5b【答案】D2．地图上淮北到合肥的距离为2.4 cm,比例尺是1:10 000 000，那么淮北到合肥的实际距离是（ ）A. 2 400 mB. 24 000 mC. 240 000 mD. 2 400 000 m【答案】C3．如图，AB//CD//EF，AC=2，AE=5，BD=1.8，那么DF的长为（ ）（第3题）A. 6B. 4.5C. 2.7D. 2.5【答案】C4．在△ABC和△DEF中，已知ABDE=ACDF=BCEF=23，且△ABC的周长为6，△DEF的周长为（ ）A. 4B. 6C. 8D. 9【答案】D5．如图，在△ABC中，点D在边AC上，下列给出的条件不能得出△ABD∼△ACB的是（ ）（第5题）A. ADAB=BDBCB. ∠ABD=∠ACBC. AB2=AD⋅ACD. ∠ADB=∠ABC【答案】A6．“计里画方”（比例缩放和平面直角坐标网格体系）是中国古代制作地图的基本方法和数学基础，是中国古代地图独立发展的重要标志.制作地图时，人们会利用测杆、水准仪和照板来测量距离.在如图所示的测量距离AB的示意图中，记照板“内芯”的高度为EF.观测者的眼睛（图中用点C表示）与BF在同一水平线上，若某次测量中CFBF=15，则下列结论中错误的是（ ）（第6题）A. EFAB=15B. CEAE=15C. △EFC的周长△ABC的周长=16D. △EFC的面积△ABC的面积=136【答案】A7．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC与△ODE是位似图形，其各顶点都在格点上，则位似中心的坐标是（ ）（第7题）A. 0,0B. 2,4C. 5,1D. 4,2【答案】D8．东方美学钟爱“白银分割”.日常生活中随处可以见到“白银分割”的身影，比如日常用到的A4纸（图①），对折后得到两个全等的A5纸并与A4纸相似（图②），则A4纸长与宽的比值为（ ）（第8题）A. 5-1B. 2+1C. 2D. 5【答案】C9．如图，在△ABC中，AB=6 cm，AC=12 cm，动点D以1 cm/s的速度从点A出发沿AB方向向点B运动，动点E以2 cm/s的速度从点C出发沿CA方向向点A运动.两点同时开始运动，当点D运动到点B的位置时，两点均停止运动，那么当以点A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是（ ）（第9题）A. 4.5 s或4.8 sB. 3 sC. 4.5 sD. 3 s或4.8 s【答案】D10．如图，在△ABC中，∠C=90∘ ，在其内部放置边长分别为2，5，x的三个正方形，则x的值为（ ）（第10题）A. 7B. 29C. 10D. 14【答案】A二、填空题（每题3分，共24分）11．已知a:b:c=1:2:3，则2a-b+3c3a-2b+c=_ _ _ _ _ _ .【答案】92 12．测量小玻璃管口径的量具ABC如图放置，AB的长为12 cm，AC被分为60等份.如果小玻璃管口DE正好对着量具上20等份处DE//AB，那么小玻璃管口径DE是_ _ _ _ cm.（第12题）【答案】813．据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成像的实验，阐释了光的直线传播原理，如图①所示.在如图②所示的小孔成像实验中，若物距为10 cm，像距为15 cm，蜡烛火焰倒立的像的高度是6 cm，则蜡烛火焰的高度为_ _ _ _ cm.（第13题）【答案】414．如图，点E-4,2,F-2,-2，以O为位似中心，将△EFO放大为原来的2倍，则点E的对应点E1（在第四象限）的坐标是_ _ _ _ _ _ _ _ .（第14题）【答案】8,-4 15．某数学兴趣小组设计用手电筒来测量某大厦CD的高度.如图，在点P处放一面水平的平面镜.光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到大厦CD的顶端C处，已知AB⊥BD,CD⊥BD，B，P，D在同一水平线上，测得AB=1.5 m,BP=2 m,PD=52 m，那么该大厦的高度约为m.（第15题）【答案】3916．如图，正方形EFGH内接于△ABC，已知BC=12，高AD=4，则正方形EFGH的边长为_ _ _ _ .（第16题）【答案】317．如图，在矩形ABCD中，AB=9，BC=15，P，Q分别是BC，CD上的点，且CQ=4，若△ABP与△PCQ相似，则BP的值为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .（第17题）【答案】3或12或1351318．如图，在△ABC中，∠ACB=90∘ ，D是AB的中点，DF⊥AB，交BC于点E，交AC的延长线于点F，CD=6，DE=4，则DF的值为_ _ _ _ .（第18题）【答案】9三、解答题（19~25题每题8分，26题10分，共66分）19．如图，图中的两个多边形ABCDEF和A1B1C1D1E1F1相似（各字母已按对应关系排列），∠A=∠D1=135∘ ，∠B=∠E1=120∘ ，∠C1=95∘ .（1） 求∠F的度数；（2） 如果多边形ABCDEF和多边形A1B1C1D1E1F1的相似比是1:1.5，且CD=15 cm，求C1D1的长度.【答案】（1） 解：∵ 多边形ABCDEF和多边形A1B1C1D1E1F1相似，∠D1=135∘ ，∠E1=120∘ ，∠C1=95∘ ，∴∠C=∠C1=95∘ ，∠D=∠D1=135∘ ，∠E=∠E1=120∘ .由多边形内角和定理，得多边形ABCDEF的内角和为180∘×6-2=720∘ ，∴∠F=720∘-135∘+120∘+95∘+135∘+120∘=115∘ .（2） ∵ 多边形ABCDEF和多边形A1B1C1D1E1F1的相似比是1:1.5，且CD=15 cm，∴C1D1=15×1.5=22.5cm.20．已知线段a,b,c，且a3=b4=c5.（1） 求a+bb的值；（2） 若线段a,b,c满足a+b+c=60，求a,b,c的长.【答案】（1） 解：设a3=b4=c5=kk≠0，则a=3k，b=4k，c=5k.则a+bb=3k+4k4k=7k4k=74.（2） ∵a+b+c=60，∴3k+4k+5k=60，∴k=5，∴a=15，b=20，c=25.21．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A-4,3,B-3,1,C-1,3，请按下列要求画图：（1） 将△ABC先向右平移4个单位长度、再向下平移5个单位长度，得到△A1B1C1，画出△A1B1C1，并写出点B1的坐标；（2） 以点A为位似中心将△ABC放大为原来的2倍，得到△AB2C2，画出△AB2C2并写出点B2的坐标.【答案】（1） 解：△A1B1C1如图所示.∴B11,-4.（2） 如图所示,以点A为端点作射线AC，AB,分别在射线AC,AB上取C2，B2，使AC2AC=AB2AB=2，连接AC2，C2B2，AB2，即可得△AB2C2.∴B2-2,-1.22．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高.求证：（1） AC2=AD⋅AB；（2） CD2=BD⋅AD.【答案】（1） 证明：∵∠A=∠A，∠CDA=∠ACB=90∘ ，∴△ACD∼△ABC，∴ADAC=ACAB，∴AC2=AD⋅AB.（2） 在△ADC与△CDB中,∠ADC=∠CDB=90∘ .∵∠A+∠B=90∘ ，∠A+∠ACD=90∘ ,∴∠B=∠ACD,∴△ADC∼△CDB,∴ADCD=CDBD,∴CD2=BD⋅AD.23．如图，在△ABC中，AB=AC，D为边BC上一点，E为边AC上一点，且∠ADE=∠B.（1） 求证：△ABD∼△DCE；（2） 若AC=8，BC=6，CE=1，求BD的长.【答案】（1） 证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C.∵∠ADC=∠B+∠BAD=∠ADE+∠CDE,∠ADE=∠B,∴∠BAD=∠CDE,∴△ABD∼△DCE.（2） 解：∵AB=AC,AC=8，∴AB=8.由（1）知△ABD∼△DCE，∴ABCD=BDCE,即86-BD=BD1，∴BD=2或4.24．咸阳奥体中心（图①）的设计理念是“鼎立咸阳”，建筑形体取九鼎之行、将士之甲、高台之意.最终形成绿坡高台、殿堂廊柱、屋面重檐的效果.小军想利用所学知识测量咸阳奥体中心的高度，如图②，他拿着一根长为20 cm的木棒CD站在离咸阳奥体中心100 m远的地方（即点E到AB的水平距离为100 m）.他把手臂向前伸，木棒竖直CD//AB，当木棒恰好遮住奥体中心（即E,C,A在一条直线上，E,D,B在一条直线上）时，点E到木棒CD的距离为40 cm.已知AB⊥BF,EF⊥BF，求咸阳奥体中心的高度AB.解：如图，过点E作EM⊥CD，垂足为M，延长EM交AB于点N.∵CD//AB，∴EN⊥AB.由题意得CD=20 cm=0.2 m，EM=40 cm=0.4 m，EN=100 m.∵CD//AB，∴∠EDC=∠EBA，∠ECD=∠EAB，∴△ECD∼△EAB，∴EMEN=CDAB，∴0.4100=0.2AB，∴AB=50 m，∴ 咸阳奥体中心的高度AB为50 m.25．如图，点C,D在线段AB上，△PCD是等边三角形.（1） 当AC,CD,DB满足怎样的关系时，△ACP∼△PDB？（2） 当△ACP∼△PDB时，求∠APB的度数.【答案】（1） 解：当CD2=AC⋅DB时，△ACP∼△PDB.∵△PCD是等边三角形，∴∠PCD=∠PDC=60∘ ，∴∠ACP=∠PDB=120∘ .若CD2=AC⋅DB，由PC=PD=CD可得PC⋅PD=AC⋅DB，即PCBD=ACPD，则根据相似三角形的判定定理得△ACP∼△PDB.（2） 当△ACP∼△PDB时，∠APC=∠PBD，∵∠PDB=120∘ ，∴∠DPB+∠DBP=60∘ ，∴∠APC+∠BPD=60∘ .易知∠CPD=60∘ ，∴∠APB=∠CPD+∠APC+∠BPD=120∘ ，∴∠APB的度数为120∘ .26．【数学眼光】星港学校比邻园区海关大楼，星港学校九年级学生小星在学习过“相似”的内容后，想要利用所学的知识求出海关大楼的高度，如图①所示.小星选择把数学和物理知识相结合利用平面镜的镜面反射的特点来构造相似，如图②所示.【问题提出】问题一：．现测量得到BC=a，CE=b，DE=c.问：海关大楼AB的高为多少？（用a，b，c表示）【数学思维】但在进一步观察海关大楼周围的环境之后，小星发现海关大楼的底部无关人员不可进入，所以无法准确测量海关大楼底部到平面镜的距离，如图③所示，在老师的帮助下小星进一步完善了自己的想法，得到了方案二：既然无法测量平面镜到海关大楼底部的距离，那就将这部分用其他长度来表示，即构造二次相似，将测量距离进行转化，如图④所示.问题二：．小星测量得到EG=16.8 m，MN=DF=1.6 m，GN=1.8 m，DE=1.45 m，请你求出海关大楼AB的高度.【数学语言】问题三：．小星在求出数据之后，上网查阅了资料发现海关大楼的高度为81 m，请你尝试着分析出现这样误差的原因是什么？【答案】问题一： 解：由反射的特点可知∠ACB=∠DCE.又∵∠ABC=∠DEC=90∘ ，∴△ABC∼△DEC，∴ABDE=BCEC，∵BC=a，CE=b，DE=c，∴ABc=ab，∴AB=acb.问题二： 由反射的特点可知∠AEB=∠FED，∠AGB=∠MGN.∵∠ABC=∠FDE=∠MNG=90∘ ，∴△AEB∼△FED，△AGB∼△MGN，∴ABFD=EBED，ABMN=GBGN.∵FD=MN，∴EBED=GBGN.∵EG=16.8 m，GN=1.8 m，DE=1.45 m，∴EB1.45=EB+16.81.8，解得EB=69.6 m.又∵DF=1.6 m,∴AB1.6=69.61.45，解得AB=76.8 m.问题三： （1）理论上入射角等于反射角，则本题中直角减去入射角和反射角得到∠AEB=∠FED和∠AGB=∠MGN，而实际操作中有误差；（2）实际测量两点之间的距离也会存在误差.（答案合理即可）