吉林省长春市东北师范大学附属中学2025-2026学年高三上学期第二次摸底考试数学试题（Word版附解析）

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一、选择题：本小题8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先解不等式，再根据交集与补集的概念计算即可.
【详解】由得，
即{或}，
所以.
故选：B
2. 设，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定条件，利用指数函数、对数函数单调性比较大小.
【详解】依题意，，由，得，而，
所以a，b，c的大小关系是.
故选：D
3. 设是非零向量，则“存在实数λ，使得”是“”的 （ ）
A. 充分必要条件B. 充分而不必要条件
C. 必要而不充分条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】结合向量共线和充分、必要条件等知识确定正确选项.
【详解】依题意是非零向量，
“存在实数λ，使得”，
“”同向，
所以“存在实数λ，使得”是“”的必要而不充分条件.
故选：C
4. 已知幂函数的定义域为，则（ ）
A B. 1C. 4D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】由幂函数的定义可求出或，结合幂函数的定义域为，即可选出正确答案.
【详解】由幂函数的概念可得，解得或.
当时，，定义域为，不符合题意，舍去；
当时，，定义域为，符合题意，所以，
所以.
故选：C
5. 在平面直角坐标系中中，角以为始边，终边与单位圆交点的纵坐标是，把的终边绕端点逆时针方向旋转弧度，这时终边对应的角是，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先根据已知条件求出，再根据与的关系得出，进而求出，最后利用二倍角的余弦公式求解.
【详解】根据三角函数的定义可得：，
因为把的终边绕端点逆时针方向旋转弧度后得到，
所以，
所以，
因为角终边与单位圆交点纵坐标是，
所以角的终边在第一象限或第二象限，
所以，即，
当时，
所以，
当时，所以，
综上所述，，
故选：B.
6. 已知三个内角所对的边分别为，点是线段上一点，且平分，若，则（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由平分，即，进而得，利用三角形的面积公式即可求解.
【详解】因为平分，所以，
又，所以，
即.
故选：B.
7. 下面图1是某晶体的阴阳离子单层排列的平面示意图．其阴离子排列如图2所示，图2中圆的半径均为，且相邻的圆都相切，、、、是其中四个圆的圆心，则（ ）．
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】如图所示，取、为一组基底的基向量，其中且、的夹角为60°，将和化为基向量，利用平面向量的数量积的运算律可得结果.
【详解】如图所示，建立以、为一组基底的基向量，
其中且、的夹角为60°，
∴，，
∴.
故选：B．
8. 已知函数，当时，函数极值点的个数为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】求出函数的导数，由，得，利用导数确定方程根的个数，进而求出极值点个数.
【详解】函数，求导得
，由，得，令函数，求导得，
当时，；当时，，函数在上递增，在上递减，
，函数的大致图象如图，
由，得，方程必有两个根，即函数必有两个零点，
当或时，，；当时，，，
因此函数恰有2个极值点，B正确.
故选：B
二.选择题：本小题3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列不等式正确的是（ ）
A. B. 的最小值是4
C. 若，则D.
【答案】AC
【解析】
【分析】根据，，结合不等式性质可判断A；根据对勾函数的单调性及正弦函数的值域可判断B；利用基本不等式可判断C；利用对数函数的单调性可判断D.
【详解】对于A：，，
因为，所以，即，故A正确；
对于B：，在上单调递减，
所以当时，取得最小值为5，故B错误；
对于C：因为，所以，所以，
所以，
当且仅当，即时等号成立，所以，故C正确；
对于D：，即，，解得，
即，当时，，
又因为为增函数，所以，故D错误.
故选：.
10. 函数，则（ ）
A. 是的一条对称轴B. 是的最小正周期
C. D. 的最小值为
【答案】BC
【解析】
【分析】根据反例可判断A的正误，根据周期函数的定义结合赋值法可判断B的正误，根据函数奇偶性的定义可判断C的正误，根据函数的奇偶性和周期性，利用导数求得在上的最值即可判断D的正误.
【详解】对于A，因为，而，
故，故的图象不关于对称，故A错误；
对于B，设为的最小正周期，
则对任意恒成立，
令，则，故，
故或，故，
若，因为，而，
，故不是最小正周期.
当时，，
故是最小正周期，故B正确；
对于C，因为，
即，故C正确；
对于D，由B，C项可知为奇函数且是最小正周期，故只需研究在上的最值，
此时，，
故当时，，当时，，
故在上为增函数，在上为减函数，
故，，
因为奇函数，则在上最小值为，
又是函数的最小正周期，故在上的最小值为，即D错误.
故选：BC.
11. 设函数，则（ ）
A. 当时，在处取极大值
B. 当时，方程有个实根
C. 当时，是的极大值点
D. 存在实数，恒成立
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用导数判断函数单调性可判断A选项；利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可判断B选项；当时，利用导数分析函数的单调性，可判断CD选项.
【详解】当时，，则，
令，可得或，列表如下：
所以，函数在上单调递增，上单调递减，上单调递增，
所以，，故A正确；
又因为，如下图所示：
由图可知，直线与函数的图象有三个交点，
即时，方程有个实根，故B正确；
对于C选项，，
当时，，此时函数在上单调递增，故C错误；
当时，函数在上单调递增，此时恒成立，故D正确．
故选：ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，若是偶函数，则为______．
【答案】
【解析】
【分析】利用给定的图象变换求出的解析式，再利用正弦函数的奇偶性列式计算即得．
【详解】依题意，，
由是偶函数，得，，
而，则．
故答案为：．
13. 已知向量，满足，，，则______．
【答案】
【解析】
【分析】根据向量数量积的运算律可得，将已知条件代入有，即可求.
【详解】由，两边平方并展开得，
所以，又，，
所以，则（负值舍）.
故答案为：
14. 已知函数恰有两个极值点，则实数a的取值范围是___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意得有两个不同的实根，分，，利用参变分离得，根据函数单调性分析求解即可.
【详解】因为，所以，
时，，无极值点，不符合题意；
时，恰有两个极值点，则方程有两个不同实根，
设，则，
所以在上单调递减，在上单调递增，
则，
又时，，当时，，时，，
所以，解得，
当时，有两个变号零点（在零点的左右附近导函数值变号），符合题意．
故a的取值范围为．
故答案为：.
四.解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知函数
（1）求在上的单调区间和值域；
（2）若且求的值.
【答案】（1）答案见解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）应用二倍角正余弦公式、辅助角公式化简函数式，再结合正弦型函数的性质求单调区间、值域；
（2）根据已知求得，再由和角余弦公式求即可得.
【小问1详解】
由
，
由，则，
故时，单调递增，时单调递减，
所以的单调增区间为，单调减区间为，且值域为；
【小问2详解】
由，且，则，
所以
.
16. 已知函数，．
（1）当时，求函数在点处的切线方程；
（2）讨论的单调性；
（3）若有极大值，且极大值小于0，求a的取值范围．
【答案】（1）；
（2）答案见解析 （3）．
【解析】
【分析】（1）利用导数求得，可求切线方程；
（2）求导，分和两种情况讨论正负，从而求得的单调性，
（3）由（2）可得极大值，再根据极大值小于0，求得的取值范围.
【小问1详解】
当时，则，，
所以，
所以函数在点处的切线方程为，
即；
【小问2详解】
函数的定义域为，
又，
当时恒成立，
在上单调递增，无极值.
当时，由，解得，
由，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
【小问3详解】
由（2）当时恒成立，在上单调递增，无极值.
当时，在处取得极大值，极大值为.
令，解得，
所以的取值范围为.
17. 已知函数为数列的前项和.
（1）求的通项公式；
（2）记数列的前项和为，证明：.
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）利用，可求出的通项公式，注意检验是否满足即可得解；
（2）由导数得，利用不等式放缩的原理得到，得到答案
【小问1详解】
由题意知，的前项和，
当时，，
当时，，
经检验，满足，
的通项公式为；
【小问2详解】
证：，
，
又，
故.
18. 在中，角所对的边分别为，且满足．
（1）求证：；
（2）若，求；
（3）求的最小值．
【答案】（1）证明见解析
（2）4 （3）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理，结合三角形内角和，可探索角的关系.
（2）先利用（1）的结论，求角的正弦和余弦，再求角的正弦，利用正弦定理，可探索的关系，结合，可求的值，再用余弦定理求边.
（3）先用表示，用正弦定理可得，再利用基本不等式，可求其最小值.
【小问1详解】
因为，根据正弦定理得：.
又因为，
所以.
又为三角形内角，所以.
【小问2详解】
因为，，
所以，，
.
所以.
由正弦定理得，
又，所以，.
由余弦定理得
所以.
【小问3详解】
因为
.
由正弦定理
因为，所以，
所以，当且仅当即时取等号.
所以的最小值为.
19. 一个完美均匀且灵活的项链的两端被悬挂，并只受重力的影响，这个项链形成的曲线形状被称为悬链线.1691年，莱布尼茨、惠根斯和约翰·伯努利等得到“悬链线”方程，其中为参数.当时，就是双曲余弦函数，类似地双曲正弦函数，它们与正、余弦函数有许多类似的性质.
（1）类比三角函数的三个性质：①倍角公式；②平方关系；③求导公式，写出双曲正弦和双曲余弦函数的一个正确的性质并证明；
（2）若，试比较与的大小关系，并证明你的结论；
（3）若，，证明：
【答案】（1）答案见详解，证明见详解
（2），证明见详解
（3）证明见详解
【解析】
【分析】（1）类比，写出平方关系，倍角关系和导数关系，并进行证明；
（2）作差，结合指数函数单调性及正余弦函数的性质推理判断即可.
（3）结合新定义将所证变为，设函数，即证，先利用导数求得在上单调递增，再设，利用导数得其单调性及，从而得到，即可得证.
【小问1详解】
①倍角公式：，
；
②平方关系：，
；
③求导公式：，
；
【小问2详解】
，.
依题意，， ，
当时，，，即，
于是，而，因此，
当时时，，则，，
即，而，因此，
于是，，
所以.
【小问3详解】
因为，
所以原式变为，
即证，
设函数，即证，，
设，，
时，，在上单调递增，即在上单调递增，
设，则，
由于在上单调递增，，
所以，即，故在上单调递增，
又，所以时，，
所以，即，
因此恒成立，
所以成立，得证．
增
极大值
减
极小值
增