河南省郑州市郑东新区2024-2025学年数学九年级上学期数学期末试卷 含答案

这是一份河南省郑州市郑东新区2024-2025学年数学九年级上学期数学期末试卷 含答案，共31页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列关于x的方程一定是一元二次方程的是（ ）
A．2x＝1B．C．y＝﹣x2+3D．x2﹣3x＝0
2．（3分）如图所示的钢块零件的左视图为（ ）
A．B．
C．D．
3．（3分）下列说法中不正确的是（ ）
A．对角线相等的四边形是矩形
B．菱形既是轴对称图形又是中心对称图形
C．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
D．正方形的四条边都相等
4．（3分）某公司收益逐年递增，2022年缴税50万元，2024年缴税72万元．若该公司这两年缴税的年平均增长率是x，则年平均增长率满足方程（ ）
A．50（1+2x）＝72B．50（1+x）2＝72
C．72（1﹣x）2＝50D．72（1+x）2＝50
5．（3分）如图1是装了液体的长方体容器的截面图（数据如图），将容器绕底面一条棱旋转倾斜后，水面恰好接触到容器口的边缘，如图2所示，此时水面宽度AB为（ ）
A．9cmB．10cmC．11cmD．12cm
6．（3分）已知A（0，y1），B（1，y2），C（3，y3）是抛物线y＝2（x﹣1）2﹣3上的三个点，则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y2＜y3＜y1C．y3＜y1＜y2D．y2＜y1＜y3
7．（3分）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD交于点O，DE⊥AB于点E，F是线段AD的中点，连接OF．若OA＝4，，则DE的长为（ ）
A．B．C．D．
8．（3分）如图，树OD垂直立在地面上，小明在A时测得树的影子ED长为6m，B时又测得该树的影子CD长为4m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度OD长为（ ）
A．4mB．5mC．D．
9．（3分）坐落于开封清明上河园中的虹桥是一座抛物线型拱桥，被列为中国十大名桥之一．按如图所示建立平面直角坐标系，得到抛物线解析式为，正常水位时水面宽AB为16m，当水位上升3m时，水面宽CD为（ ）
A．4mB．8mC．10mD．12m
10．（3分）如图1，某科技小组进行野外考察时，利用压力一定时压强与接触面积成反比例关系，通过铺垫木板增大接触面积来达到减小压强的效果，顺利通过了一片烂泥湿地．已知人对木板的压力F（N）与人的质量m（kg）的关系如图2所示，若小明和小亮的质量分别为50kg和70kg，且小明和小亮对木板的压强p（Pa）与木板面积S（m2）的关系如图3所示，点A为反比例函数图象p2上的一个动点，过点A分别作x轴和y轴的垂线，交x轴于点M，交y轴于点N，交另一反比例函数图象p1于点P，过点P作y轴的垂线，垂足为点Q，请你结合以上信息，判断下列说法中不正确的是（ ）
A．由图2可知，人对木板的压力与人的质量成正比
B．图3中图象p1表示的是小明对木板的压强与木板面积之间的函数关系
C．当木板面积为0.2m2时，小亮对木板的压强比小明对木板的压强大1000Pa
D．四边形ANQP的面积为定值，表示小明、小亮两人对木板的压力相差20N
二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）请写出一个顶点在y轴正半轴上的二次函数表达式： ．
12．（3分）物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图象投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）AB经小孔O在屏幕（竖直放置）上成像A′B′，设AB＝18cm，A′B′＝12cm，小孔O到AB的距离为15cm，则小孔O到A′B′的距离为 cm．
13．（3分）一个口袋中装有红球、白球共10个，这些球除颜色外都相同．将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中．不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有69次摸到红球，则可估计这个口袋中红球的数量是 ．
14．（3分）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，点A，B，C，D都在格点上，连接AB，CD交于点P，则tan∠APC＝ ．
15．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点M是对角线BD上的动点，将△ABM沿AM折叠，得到△ANM，若MN与矩形ABCD的一条边平行，则MN的长是 ．
三、解答题（共8小题，共75分）
16．（10分）（1）解方程：x2＝x+56；
（2）计算：．
17．（9分）郑东新区有着丰富的旅游资源，小明决定利用一天时间来郑东新区游玩，通过查阅资料，小明制定了如下游玩计划：上午从3个自然景点（A．北龙湖湿地公园；B．郑州之林；C．郑州市森林公园）中随机选取一个游玩，下午再从2个人文景点（D．河南自然博物馆；E．河南省科技馆新馆）中随机选取一个去参观．
（1）小明从自然景点中选中“郑州之林”的概率是 ；
（2）用树状图或表格求小明恰好选“北龙湖湿地公园”和“河南省科技馆新馆”的概率．
18．（9分）如图，在▱ABCD中，AC是对角线．
（1）请你用无刻度的直尺和圆规，作线段AC的垂直平分线，分别交AD、BC于点M、N（不写作法、保留作图痕迹）；
（2）判断四边形AMCN的形状，并说明理由；
（3）若AC⊥AB，BC＝10，则四边形AMCN的周长为 ．
19．（9分）如图正比例函数y1＝﹣3x与反比例函数的图象交于A（﹣2，m）、B两点．
（1）求反比例函数的表达式和B点坐标；
（2）直接写出y1＞y2时，x的取值范围；
（3）若点P是第二象限反比例函数图象上一点，过点P作x轴的垂线，交x轴于点M、交直线AB于点N，若三个点P、M、N中恰有一点是其它两点所连线段的中点，则称点P、M、N三点为“和谐点”，直接写出使点P、M、N三点成为“和谐点”的P的坐标．
20．（9分）如图是某路灯的示意图，灯杆AB垂直于地面，BC是灯臂，测得∠ABC＝120°，一个长为6.5米的梯子斜靠在灯杆上，调整梯子的位置，直至DE恰好与点C在同一直线上，此时梯子底部距灯杆底部2.5米．
（1）填空：AE＝ ；
（2）通过查阅资料，这种路灯的灯臂BC的长为2米，请你根据以上数据计算出路灯C距离地面的高度．（结果精确到）
21．（9分）元旦期间，某商场礼品柜台购进大量的生肖饰品进行销售，已知每件生肖饰品的进价为8元，当销售价定为20元时，平均每天可售出300件，为尽快减少库存，商场决定降价销售．调查发现，当销售价每降低1元时，平均每天就可以多售出50件．
（1）当售价降低5元时，每件的利润为 元，每天可以售出 件，当天总利润为 元；
（2）若商场要想使这种生肖饰品的销售利润平均每天达到4000元，则该生肖饰品的售价应定为多少元？
（3）要想获得最大利润，该生肖饰品的售价应定为多少合适？
22．（10分）方程与不等式揭示了数学中最基本的数量关系，函数则研究变量间的关系，借助函数可以认识方程与不等式．观察表格：
（1）【数学观察】根据表中信息填空：m＝ ；
（2）【实践操作】在如图所示的平面直角坐标系中（每个小正方形网格的边长为1），已经画出了一次函数y＝3x+1的图象，请你在同一坐标系中画出二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象；
（3）【独立思考】
①二次函数y＝﹣x2+2x+3与一次函数y＝3x+1图象的交点坐标是 ；
②方程﹣x2+2x+3＝3x+1的解为 ；
③不等式﹣x2+2x+3＞3x+1的解集是 ；
（4）【归纳总结】若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象相交，则交点的 坐标可以看成关于x的方程ax2+bx+c＝kx+b（a≠0，k≠0）的解；
（5）【巩固应用】若二次函数y＝x2﹣4x+3的图象与一次函数y＝2x+b的图象只有一个交点，则关于x的方程x2﹣4x+3＝2x+b的解是 ．（直接写出结果）
23．（10分）综合与实践
（1）特例感知
如图，点C、D分别是线段AB的三等分点，以CD为边作等边三角形PCD，连接AP、BP，则∠APB的度数是 ；写出图中一个与∠APC相等的角 ．
（2）类比探究
如图2，在△APB中，∠APB＝120°，点C、D在AB边上，连接PC、PD，若△PCD是等边三角形，请你探究线段AC、CD、BD之间的数量关系，并说明理由；
（3）拓展延伸
在（2）的条件下，若以AC、CD、BD为边的三角形恰好是直角三角形，直接写出的值．
2024-2025学年河南省郑州市郑东新区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列关于x的方程一定是一元二次方程的是（ ）
A．2x＝1B．C．y＝﹣x2+3D．x2﹣3x＝0
【分析】含有一个未知数，且未知数是最高次数是2的整式方程是一元二次方程，据此逐项判断即可．
【解答】解：A、2x＝1中未知数x的最高次数是1，它不是一元二次方程，故A不符合题意；
B、不是整式方程，故B不符合题意；
C、y＝﹣x2+3中含有两个未知数，不一元二次方程，故C不符合题意；
D、x2﹣3x＝0是一元二次方程，故D符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查一元二次方程的定义，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
2．（3分）如图所示的钢块零件的左视图为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据解答几何体的三视图的画法画出它的左视图即可．
【解答】解：从左边看，是一个矩形，因为槽内的棱看不见，所以画成需虚线，即矩形中间有一条横向的虚线．
故选：B．
【点评】本题考查简单组合体的三视图，理解视图的定义，掌握简单几何体的三视图的画法和形状是正确解答的前提．
3．（3分）下列说法中不正确的是（ ）
A．对角线相等的四边形是矩形
B．菱形既是轴对称图形又是中心对称图形
C．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
D．正方形的四条边都相等
【分析】根据矩形的判定方法、菱形的性质、菱形的判定方法以及正方形的性质进行解答即可．
【解答】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，原说法不正确；
B、菱形既是轴对称图形又是中心对称图形，原说法正确；
C、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，原说法正确；
D、正方形的四条边都相等，原说法正确；
故选：A．
【点评】本题主要考查了矩形的判定方法、菱形的性质、菱形的判定方法以及正方形的性质，属于基础题．
4．（3分）某公司收益逐年递增，2022年缴税50万元，2024年缴税72万元．若该公司这两年缴税的年平均增长率是x，则年平均增长率满足方程（ ）
A．50（1+2x）＝72B．50（1+x）2＝72
C．72（1﹣x）2＝50D．72（1+x）2＝50
【分析】增长率问题，一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），如果设该公司这两年缴税的年平均增长率为x，首先表示出2023年的缴税额，然后表示出2024年的缴税额，即可列出方程．
【解答】解：依题意得50（x+1）2＝72．
故选：B．
【点评】本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程中增长率问题，一般形式为a（1+x）2＝b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量．
5．（3分）如图1是装了液体的长方体容器的截面图（数据如图），将容器绕底面一条棱旋转倾斜后，水面恰好接触到容器口的边缘，如图2所示，此时水面宽度AB为（ ）
A．9cmB．10cmC．11cmD．12cm
【分析】过点B作BE垂直桌面，交桌面于点E，从而可得∠ACB＝∠BED＝∠CBD＝∠ABE＝90°，然后利用等式的性质可得∠CBA＝∠DBE，从而可得△ACB∽△DEB，再利用相似三角形的性质进行计算，即可解答．
【解答】解：如图：过点B作BE垂直桌面，交桌面于点E，
∴∠ACB＝∠BED＝90°，
由题意得：∠CBD＝∠ABE＝90°，
∴∠CBD﹣∠ABD＝∠ABE﹣∠ABD，
∴∠CBA＝∠DBE，
∴△ACB∽△DEB，
∴＝，
∴＝，
解得：AB＝9，
∴此时水面宽度AB为9cm，
故选：B．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，截一个几何体，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
6．（3分）已知A（0，y1），B（1，y2），C（3，y3）是抛物线y＝2（x﹣1）2﹣3上的三个点，则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y2＜y3＜y1C．y3＜y1＜y2D．y2＜y1＜y3
【分析】把三个点的横坐标代入抛物线的解析式，分别求出对应的y值进行比较即可．
【解答】解：当x＝0时，y1＝2×（0﹣1）2﹣3＝﹣1；当x＝1时，y2＝﹣3；当x＝3时，y3＝5；
∴y3＞y1＞y2．
故选：D．
【点评】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标满足解析式是解题的关键．
7．（3分）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD交于点O，DE⊥AB于点E，F是线段AD的中点，连接OF．若OA＝4，，则DE的长为（ ）
A．B．C．D．
【分析】由菱形的性质得AC⊥BD，OA＝OC，OD＝OB，则∠AOD＝90°，因为F是线段AD的中点，OF＝，所以OF＝AD＝，则AB＝AD＝5，而OA＝4，则AC＝2OA＝8，OD＝＝3，所以BD＝2OD＝6，由S菱形ABCD＝5DE＝×8×6，求得DE＝，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD交于点O，
∴AC⊥BD，OA＝OC，OD＝OB，
∴∠AOD＝90°，
∵F是线段AD的中点，OF＝，
∴OF＝AD＝，
∴AB＝AD＝5，
∵OA＝4，
∴AC＝2OA＝8，OD＝＝＝3，
∴BD＝2OD＝6，
∵S菱形ABCD＝5DE＝×8×6，
∴DE＝，
故选：D．
【点评】此题重点考查菱形的性质、勾股定理、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，正确地求出菱形ABCD的两条对角线及边AB的长是解题的关键．
8．（3分）如图，树OD垂直立在地面上，小明在A时测得树的影子ED长为6m，B时又测得该树的影子CD长为4m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度OD长为（ ）
A．4mB．5mC．D．
【分析】根据射影定理进行计算，即可解答．
【解答】解：∵CO⊥OE，OD⊥CE，
∴∠COE＝∠CDO＝∠EDO＝90°，
∴∠OCD+∠COD＝90°，
∵∠COD+∠DOE＝90°，
∴∠OCD＝∠DOE，
∴△DCO∽△DOE，
∴＝，
∴OD2＝CD•DE＝4×6＝24，
解得OD＝2或OD＝﹣2（舍去），
∴树的高度OD长为2m，
故选：D．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
9．（3分）坐落于开封清明上河园中的虹桥是一座抛物线型拱桥，被列为中国十大名桥之一．按如图所示建立平面直角坐标系，得到抛物线解析式为，正常水位时水面宽AB为16m，当水位上升3m时，水面宽CD为（ ）
A．4mB．8mC．10mD．12m
【分析】根据正常水位时水面宽AB＝16米，找出当x＝8时y＝﹣4，再根据水位上升3米时，代入解析式求值即可．
【解答】解：AB＝16，当x＝8时，y＝﹣×64＝﹣4．当水位上升3米时，y＝﹣1，把 y＝﹣1代入 y＝﹣x2，
得﹣1＝﹣x2，解得 x＝±4，此时水面宽CD＝8米，故选：B．
【点评】本题考查二次函数的应用，根据图形找出相关数据求值是解题的关键．
10．（3分）如图1，某科技小组进行野外考察时，利用压力一定时压强与接触面积成反比例关系，通过铺垫木板增大接触面积来达到减小压强的效果，顺利通过了一片烂泥湿地．已知人对木板的压力F（N）与人的质量m（kg）的关系如图2所示，若小明和小亮的质量分别为50kg和70kg，且小明和小亮对木板的压强p（Pa）与木板面积S（m2）的关系如图3所示，点A为反比例函数图象p2上的一个动点，过点A分别作x轴和y轴的垂线，交x轴于点M，交y轴于点N，交另一反比例函数图象p1于点P，过点P作y轴的垂线，垂足为点Q，请你结合以上信息，判断下列说法中不正确的是（ ）
A．由图2可知，人对木板的压力与人的质量成正比
B．图3中图象p1表示的是小明对木板的压强与木板面积之间的函数关系
C．当木板面积为0.2m2时，小亮对木板的压强比小明对木板的压强大1000Pa
D．四边形ANQP的面积为定值，表示小明、小亮两人对木板的压力相差20N
【分析】结合所给图形及物理知识判断所给选项是否正确即可．
【解答】解：由图2可得：人对木板的压力随人的质量的增大而增大，所以人对木板的压力与人的质量成正比，故A正确，不符合题意；
小明和小亮的质量分别为50kg和70kg，那么小明对木板的压力小于小亮对木板的压力，由物理知识可得：压强＝，结合图3可得：在受力面积相同的情况下，小明对木板的压强小于小亮对木板的压强，所以图3中图象p1表示的是小明对木板的压强与木板面积之间的函数关系，B正确，不符合题意；
设F＝km，
∵经过点（30，300），
∴300＝30m，
解得：m＝10，
∴F＝10m，
当m＝50时，F＝500N，
当m＝70时，F＝700N，
∵木板面积为0.2m2，
∴小明对木板的压强P1＝＝2500Pa，
小亮对木板的压强P2＝＝3500Pa，
∵3500﹣2500＝1000Pa，
∴当木板面积为0.2m2时，小亮对木板的压强比小明对木板的压强大1000Pa．
∴C正确，不符合题意；
由题意得：小明对木板的压强P1＝，小亮对木板的压强P2＝，则四边形ANQP的面积＝700﹣500＝200，也说明小明对木板的压力为500N，小亮对木板的压力＝700N，那么小明、小亮两人对木板的压力相差200N，故D错误，符合题意．
故选：D．
【点评】本题结合动点问题综合考查反比例函数及一次函数的相关知识．结合物理知识及函数知识解决问题是解决本题的关键．
二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）请写出一个顶点在y轴正半轴上的二次函数表达式： y＝x2+1（答案不唯一） ．
【分析】由二次函数顶点在y轴正半轴上，设顶点为（0，1），则表达式可为：y＝x2+1（答案不唯一）．
【解答】解：由二次函数顶点在y轴正半轴上，
若顶点为（0，1），则表达式为：y＝x2+1（答案不唯一）．
故答案为：y＝x2+1（答案不唯一）．
【点评】本题主要考查了二次函数的顶点式，解题关键是正确应用二次函数的顶点式．
12．（3分）物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图象投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）AB经小孔O在屏幕（竖直放置）上成像A′B′，设AB＝18cm，A′B′＝12cm，小孔O到AB的距离为15cm，则小孔O到A′B′的距离为 10 cm．
【分析】过点O作OD⊥AB，垂足为D，延长DO交A′B′于点C，根据题意可得：DC⊥A′B′，AB∥A′B′，从而可得∠OAB＝∠OA′B′，∠OBA＝∠OB′A′，然后证明8字模型△OAB∽△OA′B′，从而利用相似三角形的性质进行计算即可解答．
【解答】解：过点O作OD⊥AB，垂足为D，延长DO交A′B′于点C，
由题意得：DC⊥A′B′，AB∥A′B′，
∴∠OAB＝∠OA′B′，∠OBA＝∠OB′A′，
∴△OAB∽△OA′B′，
∴＝，
∴＝，
解得：OC＝10，
∴小孔O到A′B′的距离为10cm，
故答案为：10．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，平行投影，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
13．（3分）一个口袋中装有红球、白球共10个，这些球除颜色外都相同．将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中．不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有69次摸到红球，则可估计这个口袋中红球的数量是 7 ．
【分析】用球的总个数乘以摸到红球的频率即可．
【解答】解：估计这个口袋中红球的数量为10×≈7（个），
故答案为：7．
【点评】本题主要考查利用频率估计概率以及用样本估计总体，解答本题的关键要明确用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．
14．（3分）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，点A，B，C，D都在格点上，连接AB，CD交于点P，则tan∠APC＝ 1 ．
【分析】连接AM，BM，根据网格得出CD∥AM，进而得出∠A＝∠APC，再结合AM⊥BM即可解决问题．
【解答】解：连接AM，BM，
由网格可知，CD∥AM，AM⊥BM，
∴∠A＝∠APC．
令正方形网格的边长为a，
则AM＝；
BM＝；
在Rt△ABM中，
tanA＝，
∴tan∠APC＝tanA＝1．
故答案为：1．
【点评】本题主要考查了解直角三角形，能通过辅助线构造出合适的直角三角形及熟知正切的定义是解题的关键．
15．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点M是对角线BD上的动点，将△ABM沿AM折叠，得到△ANM，若MN与矩形ABCD的一条边平行，则MN的长是 2或6 ．
【分析】由问题MN与矩形ABCD的一条边平行可知需要分类讨论，当MN与BC平行或与AB平行，画出图形，依据图形特征求解即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝∠BAC＝90°，AB＝CD＝6，BC＝AD＝8，
∴BD＝＝10，
①如图，当MN∥BC时，设AN与BD交于点P，
∵MN∥BC，
∴∠PMN＝∠DBC，
∵将△ABM沿AM折叠，得到△ANM，
∴∠ABM＝∠ANM，AB＝AN＝6，
∵∠ABC＝∠ABM+∠DBC＝90°，
∴∠PMN+∠ANM＝90°，
∴∠MPN＝∠APM＝90°，
在Rt△ABP中，sin∠ABP＝＝，
即，
解得AP＝，
∴PN＝AN﹣AP＝，
在Rt△PMN中，cs∠ANM＝cs∠ABM，
即，
∴，
∴MN＝2；
②如图，当MN∥AB时，
方法一：∵将△ABM沿AM折叠，得到△ANM，
∴AB＝AN＝6，∠BAM＝∠NAM，
∵MN∥AB，
∴∠BAM＝∠AMN，
∴∠NAM＝∠AMN，
∴MN＝AN＝6；
方法二：同理可得∠ABM＝∠N，AB＝AN＝6，
∴cs∠ABM＝cs∠N，
∴，
即，
解得NG＝，
由勾股定理可得AG＝＝，
∴DG＝AD﹣AG＝，
∵∠GDN＝∠ABD，
∴tan∠GDN＝tan∠ADB，
∴，即，
解得GM＝，
MN＝GM+NG＝6；
故答案为：2或6．
【点评】本题主要考查了翻折问题、矩形的性质、解直角三角形等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．
三、解答题（共8小题，共75分）
16．（10分）（1）解方程：x2＝x+56；
（2）计算：．
【分析】（1）利用因式分解法对所给一元二次方程进行求解即可．
（2）根据实数的运算法则进行计算即可．
【解答】解：（1）x2＝x+56，
x2﹣x﹣56＝0，
（x+7）（x﹣8）＝0，
则x+7＝0或x﹣8＝0，
所以x1＝﹣7，x2＝8．
（2）原式＝
＝．
【点评】本题主要考查了解一元二次方程﹣因式分解法、实数的运算、负整数指数幂及特殊角的三角函数值，熟知因式分解法解一元二次方程的步骤、特殊角的三角函数值及实数的运算法则是解题的关键．
17．（9分）郑东新区有着丰富的旅游资源，小明决定利用一天时间来郑东新区游玩，通过查阅资料，小明制定了如下游玩计划：上午从3个自然景点（A．北龙湖湿地公园；B．郑州之林；C．郑州市森林公园）中随机选取一个游玩，下午再从2个人文景点（D．河南自然博物馆；E．河南省科技馆新馆）中随机选取一个去参观．
（1）小明从自然景点中选中“郑州之林”的概率是 ；
（2）用树状图或表格求小明恰好选“北龙湖湿地公园”和“河南省科技馆新馆”的概率．
【分析】（1）直接利用概率公式求解；
（2）画树状图展示6种等可能的结果，再找出小明恰好选“北龙湖湿地公园”和“河南省科技馆新馆”的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：（1）明从自然景点中选中“郑州之林”的概率＝；
故答案为：；
（2）画树状图为：
共有6种等可能的结果，其中小明恰好选“北龙湖湿地公园”和“河南省科技馆新馆”的结果数为1，
所以小明恰好选“北龙湖湿地公园”和“河南省科技馆新馆”的概率＝．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求出事件A或B的概率．
18．（9分）如图，在▱ABCD中，AC是对角线．
（1）请你用无刻度的直尺和圆规，作线段AC的垂直平分线，分别交AD、BC于点M、N（不写作法、保留作图痕迹）；
（2）判断四边形AMCN的形状，并说明理由；
（3）若AC⊥AB，BC＝10，则四边形AMCN的周长为 20 ．
【分析】（1）根据要求作出图形；
（2）根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可；
（3）求出AN＝5可得结论．
【解答】解：（1）图形如图所示：
（2）结论：四边形AMCN是菱形．
理由：∵四边形ABCD使得平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠MAO＝∠NCO，
∵MN垂直平分线段AC，
∴OA＝OC，MA＝MC，
在△AOM和△CON中，
，
∴△AOM≌△CON（ASA），
∴AM＝CN，
∵AM∥CN，
∴四边形AMCN是平行四边形，
∵MA＝MC，
∴四边形AMNC是菱形；
（3）∵AB⊥AC，MN⊥AC，
∴AB∥ON，
∵OA＝OC，
∴BN＝CN，
∴AN＝BC＝5，
∴落在AMCN的周长为20．
故答案为：20．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，线段的垂直平分线的性质，平行四边形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
19．（9分）如图正比例函数y1＝﹣3x与反比例函数的图象交于A（﹣2，m）、B两点．
（1）求反比例函数的表达式和B点坐标；
（2）直接写出y1＞y2时，x的取值范围；
（3）若点P是第二象限反比例函数图象上一点，过点P作x轴的垂线，交x轴于点M、交直线AB于点N，若三个点P、M、N中恰有一点是其它两点所连线段的中点，则称点P、M、N三点为“和谐点”，直接写出使点P、M、N三点成为“和谐点”的P的坐标．
【分析】（1）由y1＝﹣3x1的A的坐标，然后利用待定系数法求得反比例函数的解析式，根据反比例函数的中心对称性求得B点的坐标；
（2）根据图象即可求解；
（3）分两种情况，想办法构建方程解决问题即可．
【解答】解：（1）∵正比例函数y1＝﹣3x与反比例函数的图象交于A（﹣2，m），
∴m＝﹣3×（﹣2）＝6，
∴A（﹣2，6），
∴k＝﹣2×6＝﹣12，
∴反比例函数的表达式为y2＝﹣，
∵正比例函数y1＝﹣3x与反比例函数的图象交于A（﹣2，6）、B两点，
∴B（2，﹣6）；
（2）观察图象，y1＞y2时，x的取值范围是x＜﹣2或0＜x＜2；
（3）设P（t，﹣）（t＜0），则N（t，﹣3t），
如图1，当P在A点的下方时，PM＝PN，则﹣3t＝2×），
解得t＝±2，
∵t＜0，
∴t＝﹣2，
如图2，当P在A点的上方时，MN＝PN，则﹣＝2×（﹣3t），
解得t＝±，
∵t＜0，
∴t＝﹣，
∴点P的坐标为（﹣2，3）或（﹣，6）．
【点评】本题属于反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，函数与不等式和方程的关系等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．
20．（9分）如图是某路灯的示意图，灯杆AB垂直于地面，BC是灯臂，测得∠ABC＝120°，一个长为6.5米的梯子斜靠在灯杆上，调整梯子的位置，直至DE恰好与点C在同一直线上，此时梯子底部距灯杆底部2.5米．
（1）填空：AE＝ 6米 ；
（2）通过查阅资料，这种路灯的灯臂BC的长为2米，请你根据以上数据计算出路灯C距离地面的高度．（结果精确到）
【分析】（1）根据垂直定义可得：∠DAB＝90°，然后在Rt△ABD中，利用勾股定理进行计算，即可解答；
（2）过点C作CF⊥AB，交AB的延长线于点F，先利用平角定义可得：∠CBF＝60°，然后在Rt△BCF中，利用锐角三角函数的定义求出CF的长，再分别在Rt△CEF和Rt△ADE中，利用锐角三角函数的定义求出tan∠FEC和tan∠AED的值，从而列出方程进行计算，即可解答．
【解答】解：（1）∵AB⊥AD，
∴∠DAB＝90°，
∵DE＝6.5米，AD＝2.5米，
∴AE＝＝＝6（米），
故答案为：6米；
（2）过点C作CF⊥AB，交AB的延长线于点F，
∵∠ABC＝120°，
∴∠CBF＝180°﹣∠ABC＝60°，
在Rt△BCF中，BC＝2米，
∴CF＝BC•sin60°＝2×＝（米），
在Rt△CEF中，tan∠FEC＝＝，
在Rt△ADE中，tan∠AED＝＝，
∵∠AED＝∠FEC，
∴＝，
解得：EF＝，
∴EF+AE＝+6≈10.2（米），
∴路灯C距离地面的高度约为10.2米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
21．（9分）元旦期间，某商场礼品柜台购进大量的生肖饰品进行销售，已知每件生肖饰品的进价为8元，当销售价定为20元时，平均每天可售出300件，为尽快减少库存，商场决定降价销售．调查发现，当销售价每降低1元时，平均每天就可以多售出50件．
（1）当售价降低5元时，每件的利润为 7 元，每天可以售出 550 件，当天总利润为 3850 元；
（2）若商场要想使这种生肖饰品的销售利润平均每天达到4000元，则该生肖饰品的售价应定为多少元？
（3）要想获得最大利润，该生肖饰品的售价应定为多少合适？
【分析】（1）根据题意即可得出结论；
（2）设该生肖饰品每件应降价x元，根据每件的利润×销售量＝4000列出方程，解方程即可；
（3）设该生肖饰品每件应降价x元，获得利润为w元，根据每件的利润×销售量＝总利润列出函数解析式，根据函数的性质求最值即可．
【解答】解：（1）根据题意知，当售价降低5元时，
每件的利润为20﹣8﹣5＝7（元），
每天可以售出：300+5×50＝550（件），
当天总利润为：7×550＝3850（元），
故答案为：7，550，3850；
（2）设该生肖饰品每件应降价x元，
根据题意得：（20﹣x﹣8）（300+50x）＝4000，
整理得：x2﹣14x+40＝0，
解得x1＝4，x2＝10，
∵为尽快减少库存，
∴x＝10，
此时20﹣x＝10，
∴每件该生肖饰品的售价为10元；
（3）设该生肖饰品每件应降价x元，获得利润为w元，
则w＝（20﹣x﹣8）（300+50x）
＝﹣50x2+350x+3600
＝﹣50（x﹣）2+4212.5，
∵﹣50＜0，
∴当x＝时，w最大，
∵x为整数，
∴当x＝3或x＝4时，w最大，最大值为4200，
∵为尽快减少库存，
∴x＝4，
此时20﹣4＝16（元），
∴要想获得最大利润，该生肖饰品的售价应定为16元合适．
【点评】本题考查二次函数和一元二次方程的应用，关键是根据等量关系列出函数解析式．
22．（10分）方程与不等式揭示了数学中最基本的数量关系，函数则研究变量间的关系，借助函数可以认识方程与不等式．观察表格：
（1）【数学观察】根据表中信息填空：m＝ 3 ；
（2）【实践操作】在如图所示的平面直角坐标系中（每个小正方形网格的边长为1），已经画出了一次函数y＝3x+1的图象，请你在同一坐标系中画出二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象；
（3）【独立思考】
①二次函数y＝﹣x2+2x+3与一次函数y＝3x+1图象的交点坐标是 （﹣2，﹣5）或（1，4） ；
②方程﹣x2+2x+3＝3x+1的解为 x＝﹣2或1 ；
③不等式﹣x2+2x+3＞3x+1的解集是 ﹣2＜x＜1 ；
（4）【归纳总结】若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象相交，则交点的 横 坐标可以看成关于x的方程ax2+bx+c＝kx+b（a≠0，k≠0）的解；
（5）【巩固应用】若二次函数y＝x2﹣4x+3的图象与一次函数y＝2x+b的图象只有一个交点，则关于x的方程x2﹣4x+3＝2x+b的解是 x＝3 ．（直接写出结果）
【分析】（1）当x＝0时，m＝y＝﹣x2+2x+3＝3，即可求解；
（2）根据表格数据描点连线绘制图象即可；
（3）①二次函数y＝﹣x2+2x+3与一次函数y＝3x+1图象的交点坐标是（﹣2，﹣5）或（1，4），即可求解；
②方程﹣x2+2x+3＝3x+1的解为x＝﹣2或1，即可求解；
③观察图象知即可求解；
（4）由（3）知，若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象相交，则交点的 横坐标可以看成关于x的方程ax2+bx+c＝kx+b（a≠0，k≠0）的解，即可求解；
（5）联立两个函数表达式得：x2﹣4x+3＝2x+b，则Δ＝36﹣4（3﹣b）＝0，则b＝﹣6，即可求解．
【解答】解：（1）当x＝0时，m＝y＝﹣x2+2x+3＝3，
故答案为：3；
（2）根据表格数据描点连线绘制图象如下：
（3）①二次函数y＝﹣x2+2x+3与一次函数y＝3x+1图象的交点坐标是（﹣2，﹣5）或（1，4），
故答案为：（﹣2，﹣5）或（1，4）；
②方程﹣x2+2x+3＝3x+1的解为x＝﹣2或1，
故答案为：x＝﹣2或1；
③观察图象知，不等式﹣x2+2x+3＞3x+1的解集是﹣2＜x＜1，
故答案为：﹣2＜x＜1；
（4）由（3）知，若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象相交，则交点的 横坐标可以看成关于x的方程ax2+bx+c＝kx+b（a≠0，k≠0）的解，
故答案为：横；
（5）联立两个函数表达式得：x2﹣4x+3＝2x+b，
则Δ＝36﹣4（3﹣b）＝0，则b＝﹣6，
故方程为：x2﹣6x+9＝0，则x＝3，
故答案为：x＝3．
【点评】本题为二次函数综合运用，涉及到一次函数和二次函数的图象和性质，熟悉函数和不等式的关系是解题的关键．
23．（10分）综合与实践
（1）特例感知
如图，点C、D分别是线段AB的三等分点，以CD为边作等边三角形PCD，连接AP、BP，则∠APB的度数是 120° ；写出图中一个与∠APC相等的角 ∠A，∠B，∠BPC ．
（2）类比探究
如图2，在△APB中，∠APB＝120°，点C、D在AB边上，连接PC、PD，若△PCD是等边三角形，请你探究线段AC、CD、BD之间的数量关系，并说明理由；
（3）拓展延伸
在（2）的条件下，若以AC、CD、BD为边的三角形恰好是直角三角形，直接写出的值．
【分析】（1）由点C、D分别是线段AB的三等分点，得到AC＝CD＝BD，根据等边三角形的性质得到PC＝PD＝CD，∠PCD＝∠PDC＝60°，根据全等三角形的性质得到∠A＝∠B＝∠APC＝∠BPC，求得∠APB＝30°+30°+60°＝120°；
（2）根据三角形的内角和定理得到∠A+∠B＝180°﹣120°＝60°，根据等边三角形的性质得到∠CPD＝∠PCD＝∠PDC＝60°，根据相似三角形的性质得到CD2＝AC•BD；
（3）根据勾股定理得到CD2＝BD2﹣AC2或CD2＝AC2﹣BD2，①当CD2＝BD2﹣AC2时，解方程得到BD＝AC，求得＝；②当CD2＝AC2﹣BD2时，解方程得到AC＝BD，求得＝．
【解答】解：（1）∵点C、D分别是线段AB的三等分点，
∴AC＝CD＝BD，
∵△CPD是等边三角形，
∴PC＝PD＝CD，∠PCD＝∠PDC＝60°，
∴AC＝PC＝BD＝PD，∠ACP＝∠BDP＝120°，
∴△ACP≌△BDP（SAS），
∴∠A＝∠B＝∠APC＝∠BPC，
∵∠A+∠B+∠APB＝180°，
∴4∠A+60°＝180°，
∴∠A＝30°，
∴∠APB＝30°+30°+60°＝120°，
故答案为：120°，∠A，∠B，∠BPC；
（2）CD2＝AC•BD，
理由：∵∠APB＝120°，
∴∠A+∠B＝180°﹣120°＝60°，
∵△PCD是等边三角形，
∴∠CPD＝∠PCD＝∠PDC＝60°，
∴∠A+∠APC＝∠PCD＝60°，∠APC+∠BPD＝120°﹣60°＝60°，
∴∠A＝∠BPD，
∵∠ACP＝∠BDP＝120°，
∴∠ACP∽△PCB，
∴，
∴，
∴CD2＝AC•BD；
（3）∵以AC、CD、BD为边的三角形恰好是直角三角形，
∴CD2＝BD2﹣AC2或CD2＝AC2﹣BD2，
①当CD2＝BD2﹣AC2时，
∵CD2＝AC•BD；
∴BD2﹣AC2＝AC•BD，
解得BD＝AC，
∴＝；
②当CD2＝AC2﹣BD2时，
∵CD2＝AC•BD；
∴AC2﹣BD2＝AC•BD，
解得AC＝BD，
∴＝，
综上所述，的值为或．
【点评】本题是相似形的综合题，考查了相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握各知识点是解题的关键．x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
3
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…
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1
4
7
10
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﹣x2+2x+3
…
﹣5
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3
0
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题号
1
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答案
D
B
A
B
B
D
D
D
B
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0
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3
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3x+1
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4
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10
…
﹣x2+2x+3
…
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m
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…