探索规律题必考考点押题练-2025年（中考数学）第三轮复习备考 [有答案]

这是一份探索规律题必考考点押题练-2025年（中考数学）第三轮复习备考 [有答案]，共20页。试卷主要包含了【发现】①；②；③；④；……，综合与实践，【观察思考】，观察下面的变形规律，刻漏之间的关系，如下表所示，[观察思考]等内容，欢迎下载使用。
根据上述等式反映的规律，请再写出一个等式：___________．
【归纳】等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳为一个真命题：
对于任意两个有理数，，若_____，则；反之也成立．
【应用】根据上述所归纳的真命题，解决下列问题：
若与的值互为相反数，求的值．
2．综合与实践
问题情境：活动课上，同学们以等腰三角形为背景展开有关图形旋转的探究活动．
如图1，在中，，．将绕点逆时针旋转，得到（点，分别是点，的对应点），旋转角为．设与相交于点，分别交，于点，．
【特殊位置】
（1）如图1，当旋转到时，同学们发现等于旋转角，都为________度．
【探究规律】
（2）如图2，在绕点逆时针旋转过程中，同学发现始终与旋转角相等，请证明这一结论．
【拓展延伸】
（3）①在绕点逆时针旋转过程中，当为等腰三角形时，旋转角等于________度；
②如图3，延长，相交于点，请判断与的关系，并说明理由．
3．我国南宋时期杰出的数学家杨辉是钱塘人，如图所示的图表是他在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”．此图揭示了（n为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，由此规律可解决如下问题：
(1)图中括号内的数为 ；
(2)展开式共有 项；
(3)根据上面的规律，写出的展开式为；
(4)利用上面的规律计算：．
4．【观察思考】
如图某公园围栏是由圆形构成的图案，每个圆形的边上都有“”或“第个图案中“”有个，“”有个；第个图案中“”有个，“”有个；第个图案中“”有个，“”有个；第个图案中“”有个，“”有个．
【规律发现】
（1）请求出第个图案中“”有______个，“”有______个；（用含的式子表示）
【规律应用】
（2）现有个“”，按此规律制作围栏，要求“”剩余最少，需要购买多少个“”？
5．观察下面的变形规律：
，
，
，
…
解答下面的问题：
(1)计算：________；
(2)若n为正整数，请你猜想________；
(3)计算：
6．【综合与实践】南京文化纪念品的包装优化南京作为历史文化名城，有众多特色文化纪念品．某纪念品生产厂家在20周年厂庆前，为其经典的“南京云锦”主题纪念品设计了长方体包装盒．但在实际生产与使用中发现，装入纪念品后包装盒边角空余空间较多，造成了包装材料的浪费，于是决定开展节省材料的探究活动．
任务1：平面图形的探究
南京的传统建筑中常常能看到矩形的窗户等元素．对于面积固定的矩形，我们来探究其周长的变化规律．已知秦淮河畔某古建筑修复时用到的一种矩形装饰砖面积为36平方分米，通过列举不同长和宽的情况，得到以下表格：
根据表格，可猜测：矩形的面积一定时，________时周长最小．
为了证明上述猜测，小宁同学假设矩形面积为，设两邻边长分别为和（s，t均为非负数），则，经化简可得．请表示出周长并补全后续的证明过程．
任务2：立体图形的包装改进
厂家之前设计的长方体包装盒尺寸为：长10厘米、宽8厘米、高6厘米，该包装盒用于包装以南京明城墙为原型的小型纪念品．现打算在保持底面积不变的前提下，将包装盒形状改为底面半径为4厘米的圆柱体，高保持不变，从节省材料（即表面积最小）的角度来看，你觉得这样的改进合理吗？请判断并说明理由．（取，结果精确到平方厘米）
7．刻漏（如图）是我国古代的一种计时工具，其工作原理是水从水箱中流入漏斗，再从漏斗底部的小孔中流出，主要是利用水的自然流动和容器内水的位差来计时．某综合与实践小组依据刻漏的原理制作了一个简单的刻漏计时工具，并记录水位高度h（单位：）与水持续滴入时间t（单位：）之间的关系，如下表所示．
(1)请你描述水位高度h（单位：）随水持续滴入时间t（单位：）的变化规律，并用函数解析式表示h与t的关系；
(2)综合与实践小组想从零刻线开始，每隔在刻漏上标记对应的时刻线，便于使用，求每个相邻时刻线之间的距离．
8．观察下列一组式子的变形过程，然后回答问题：
…
(1)求的倒数；
(2)请你用含（为正整数）的关系式表示上述各式子的变形规律（不必证明）；
(3)利用上面的结论，求下列式子的值：
9．你会求的值吗？这个问题看上去很复杂，我们可以先考虑简单的情况，通过计算，探索规律：
(1)由上面的规律我们可以大胆猜想，得到________
(2)利用上面的结论，求的值；
(3)计算：．
10．[观察思考]
图1是由若干个小圆圈堆成的一个形如正三角形的图案，最上面一层有一个圆圈，以下各层均比上一层多一个圆圈，一共堆了 n层．
[规律总结]
将图1倒置后与原图1拼成图2的形状，这样我们可以算出图1中所有圆圈的个数为
（1）如果图1中的圆圈共有10层，我们从上往下，在每个圆圈中都按图3的方式填上一串连续的正整数1，2，3，4，…，则最底层最左边这个圆圈中的数是 ；
[问题解决]
（2）如果图1中的圆圈共有12层，我们从上往下，在每个圆圈中都按图4的方式填上一串连续的整数，，，…，求图4中所有圆圈中各数的绝对值之和．
11．综合与实践：小星学习了解直角三角形的知识后，结合光的折射规律进行了如下综合性学习．
【实验操作】
第一步：将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿A处投射到底部B处，入射光线与水槽内壁的夹角为；
第二步：向水槽注水，水面上升到的中点E处时，停止注水．（直线为法线，为入射光线，为折射光线）．
【测量数据】
如图，点A，B，C，D，E，F，O，N，在同一平面内，测得，，折射角．
【问题解决】
根据以上实验操作和测量的数据，求B，D之间的距离．（结果精确到）
（参考数据：，，）
12．【观察思考】
如图，这是由正方形组成的一系列图案，其中第1个图案有5个正方形；第2个图案有9个正方形；第3个图案有13个正方形；……按此规律排列下去．
【规律发现】
（1）第4个图案有 个正方形；第n（n是正整数）个图案有 （用含n的式子表示）个正方形．
【规律应用】
（2）第100个图案需要多少个正方形？
13．【问题提出】
因式分解：
【问题探究】
为了便于发现规律，从简单的情形入手，逐步分解：
①
②由①知，继续添加下一项得：
（1）仿照②，把代数式进行因式分解．
【发现规律】
（2）推广到一般形式：______；
【问题解决】
（3）化简：______．
14．下图是按一定规律排列的方程组集合和它的解的集合的对应关系图．
将方程组中的方程组自左至右依次记作方程组1、方程组2、方程组3、…方程组n．
(1)方程组1的解是________；
(2)请依据方程组和它的解变化规律，直接写出方程组n______和它的解是______．
(3)若方程组的解是，求m的值，并判断该方程组是否符合（2）中的规律？
长（分米）
36
18
12
9
6
宽（分米）
1
2
3
4
5
周长（分米）
74
40
30
26
24
水持续滴入时间t（单位：）
0
3
6
9
…
水位高度h（单位：）
2
3.2
4.4
5.6
…
参考答案
1．发现：（答案不唯一）归纳：；应用：
【分析】本题考查的是立方根和算术平方根的概念，根据题意正确找出规律是解题的关键．
发现：根据题目给出的规律解答；
归纳：根据已知的等式规律即可求解；
应用：根据题意列出方程，解方程求出x，根据算术平方根的概念解答即可．
【详解】解：发现：根据题意；如（答案不唯一）；
故答案为：（答案不唯一）
归纳：根据等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳为一个真命题：
对于任意两个有理数，，若，则；反之也成立；
故答案为：；
应用：与的值互为相反数；
，
解得，
则．
2．（1）40；（2）见解析；（3）①或；②，理由见解析
【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，多边形内角和，全等三角形的判定与性质和旋转的性质，熟练运用相减知识是解答本题的关键．
（1）根据等腰三角形的性质和旋转的性质即可得到结论；
（2）由旋转可知，求得得到，于是得到结论；
（3）①根据旋转的性质得到，求得，由（1）知，当时，当时，当时，根据等腰三角形的性质即可得到结论；
②根据旋转的性质得到，，，根据全等三角形的性质得到，根据四边形的内角和定理即可得到结论．
【详解】解：（1）∵，，
∴，
由旋转得，，
在四边形中， ，
∴，
∴，
故答案为：40；
（2）证明：由旋转可知，
∴，
∴，
∴
∵
∴
∵为旋转角
∴始终与旋转角相等;
（3）①.将绕点A逆时针旋转，得到，
∴，
∵，
∴，
由（1）知，，
当时，，
∴（不合题意，舍去），
当时，，
∴；
当时，，
∴；
综上，当为等腰三角形时，旋转角等于或，
故答案为：或；
②，理由如下：
∵将绕点A逆时针旋转，得到,
∴，，,
∴，
∴，
∵，
∴，
∵四边形的内角和为，
∴．
3．(1)6
(2)21
(3)
(4)32
【分析】本题考查了多项式的乘法运算，规律问题探索等知识，寻找规律是解题的关键；
（1）根据图中每个数的规律：中间的每个数是其肩上两个数的和，即可求解；
（2）根据规律：展开式的项数比指数多1，即可求解；
（3）根据规律，的展开式中系数依次是1，5，10，10，5，1，字母a的指数按降幂排列，字母b的指数按升幂排列，且各项次数均为5次，由此即可写出展开中余下的项；
（4）根据（3），令，即可求解．
【详解】（1）解：由图知，所求的数为其肩上两个数3与3的和，即6；
故答案为：6；
（2）解：的展开式中共有21项；
故答案为：21；
（3）解：；
故答案为：；
（4）解：由（3）知，，
上式中令，
则，
∴．
4．（1），，（2）需要购买个“”
【分析】此题考查了图形个数规律题，发现正确的规律是解题的关键．
（1）根据题中的规律进行解答即可；
（2）利用（1）中的规律即可得到答案．
【详解】（1）由所给图形可知，
第个图案中“”的个数为：，“”的个数为：；
第个图案中“”的个数为：，“”的个数为：；
第个图案中“”的个数为：，“”的个数为：；
，
所以第个图案中“”的个数为个，“”的个数为个．
故答案为：，．
（2）由得，
，
所以制作成第个图案“”剩余最少，
此时需要购买的“”的个数为：个，
故需要购买个“”．
5．(1)
(2)
(3)2024
【分析】本题考查平方差公式，分母有理化，二次根式的混合运算，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
（1）根据平方差公式、二次根式混合运算法则计算即可求解；
（2）根据平方差公式、二次根式混合运算法则计算即可求解；
（3）根据平方差公式、二次根式混合运算法则计算即可求解．
【详解】（1）解：；
故答案为：；
（2）解：；
故答案为：；
（3）解：
．
6．任务1：长和宽相等；，证明见解析；任务2：这样的改进合理，理由见解析
【分析】本题主要考查了多项式乘法在几何图形中的应用，圆柱和长方体的表面积计算，正确理解题意是解题的关键．
任务1：根据矩形周长计算公式可得矩形的周长为，则当时，矩形的周长有最小值，即矩形的面积一定时，矩形的长和宽相等时周长最小；
任务2：分别计算长方体和圆柱的表面积，比较即可得到结论．
【详解】解：任务1：∵矩形两邻边长分别为和，
∴矩形的周长为，
∵，
∴矩形的周长为，
∵n为定值，
∴当有最小值时，矩形的周长有最小值，
∴当时，矩形的周长有最小值，
∴矩形的面积一定时，矩形的长和宽相等时周长最小；
（2）合理，理由如下：
长方体的表面积为平方厘米，
圆柱的表面积为平方厘米，
∵，
∴这样的改进合理．
7．(1)水持续滴入时间每增加，水位高度会增加，
(2)
【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用；
（1）设出函数解析式，再根据表格中的数据利用待定系数法求解即可；
（2）根据（1）所求解析式求出当时，的值即可得到答案．
【详解】（1）解：水持续滴入时间每增加，水位高度会增加，
设h关于t的函数解析式为，由可得，
将代入中，
得，
解得，
∴h与t的解析式为；
（2）解：将代入中，
解得，
∵，
∴每个相邻时刻线之间的距离为．
8．(1)
(2)
(3)2024
【分析】本题考查了二次根式的分母有理化及二次根式的混合运算，解题的关键是∶
（1）根据题目中的例子进行分母有理化求解即可；
（2）按照所给等式的变化规律写出第n个等式即可；
（3）先分母有理化，然后合并后利用平方差公式计算即可．
【详解】（1）解∶ ，
的倒数是；
（2）解：观察已知式子可得，；
（3）解∶ 原式
．
9．(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了多项式乘法中的规律探索，正确理解题意找到规律是解题的关键．
（1）根据题意可得，据此可得答案；
（2）根据（1）所求，令，则，据此可得答案；
（3）先把原式变形为，再由（1）的结论可变形为，据此可得答案．
【详解】（1）解：，
，
，
……，
以此类推可得，，
∴；
（2）解：∵，
∴当时，，
∴；
（3）解：
．
10．（1）46；（2）
【分析】本题主要考查了图形变化类规律与数字类规律探究，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．注意连续整数相加的时候的这种简便计算方法．
（1）根据题意找到每一层最后一个数的规律，进而求出第9层最后一个数，即可得到第10层最左边的数；
（2）首先求出12层共有78个数，其中23个负数，1个0，54个正数，然后求绝对值之和即可．
【详解】解：（1）∵第1层最后一个数是1；
第2层最后一个数是；
第3层最后一个数是；
第4层最后一个数是；
∴第9层最后一个数是；
∴第10层最左边的数是；
（2）12层共有（个）数，
其中23个负数，1个0，54个正数，
按题图4方式填数后所有圆圈中各数的绝对值之和
．
11．B，D之间的距离．
【分析】本题考查了解直角三角形，等腰直角三角形的判定与性质等知识，根据等腰直角三角形的性质得到，由题意可得：，根据解直角三角形求出的长，即可求解，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：在中，，
∴，
∴，
由题意可得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
答：B，D之间的距离．
12．（1）；（2）401
【分析】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现正方形的个数依次增加4是解题的关键．
（1）根据所给图形，依次求出图形中正方形的个数，发现规律即可解决问题．
（2）根据（1）中发现的规律即可解决问题．
【详解】（1）由所给图形可知，
第1个图案正方形的个数为：；
第2个图案正方形的个数为：；
第3个图案正方形的个数为：；
所以第n个图案正方形的个数为个．
当时，（个），
即第4个图案正方形的个数为17个．
故答案为：．
（2）当时，，
∴第100个图案需要401个正方形．
13．1） ；（2）；（3）
【分析】本题考查了数字类规律，解题的关键是从简单情形出发，找出规律，解决问题．
（1）直接利用题意规律求出结果；
（2）利用题意规律求出结果；
（3）利用提公因式和题意规律求出结果．
【详解】解：（1）
．
（2），
故答案为：．
（3）
，
故答案为：．
14．(1)
(2)，
(3)，不符合
【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法，解题的关键是通过方程组集合及对应的方程组的解的集合得出具体的规律，从而解答问题．
（1）用加减消元法消去项，得出的值，然后再用代入法求出的值；
（2）根据方程组及其解的集合找出规律并解方程；
（3）把方程组的解代入方程即可求的的值．
【详解】（1），
得，
，
把代入①，得，
；
（2）解得，；解得，；
∴第n个方程组为，
解得：；
（3）将代入得，
解得，
∴该方程组为，它不符合（2）中的规律．