安徽省临泉田家炳实验中学2024-2025学年高二上学期1月期末测试数学试卷

这是一份安徽省临泉田家炳实验中学2024-2025学年高二上学期1月期末测试数学试卷，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.2-i2+i=
A.35+45iB.35-45iC.45+35iD.45-35i
2.已知集合A={-1,0,1,2,3},B={x|x2-2x≥0},则A∩B=
A.{1,0,2}B.{-1,3}C.{-1,0,2,3}D.{1,2}
3.若双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的焦点到渐近线的距离等于4a,则该双曲线的离心率为
A.17B.3C.5D.5
4.已知a,b是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则下列说法正确的是
A.若α∩β=a,a∥b,则b∥βB.若b∥β,a∥α,α∥β,则a∥b
C.若α∩β=a,a⊥b,则b⊥αD.若α∥β,a∥α,b⊥β,则a⊥b
5.已知抛物线C:x2=8y的焦点为F,点A,B在抛物线C上,且满足AF·BF=0,设线段AB的中点到抛物线C的准线的距离为d,则d|AB|的最大值为
A.1B.33C.22D.12
6.朱世杰是元代著名的数学家,有“中世纪世界最伟大的数学家”之誉.其著作《四元玉鉴》是一部成就辉煌的数学名著,受到数学史研究者的高度评价.《四元玉鉴》下卷“杂范类会”中第一问为:“今有沈香立圆球一只,径十寸,今从顶截周八寸四分,问厚几何?”大意为现有一个直径为10的球,从上面截一小部分,截面圆周长为8.4,问被截取部分几何体的高为多少.已知朱世杰是以圆周率为3来计算,则《四元玉鉴》中此题答案为(注:4.82=23.04)
A.0.1B.0.2C.0.3D.0.4
7.已知函数f(x)是定义域为R的可导函数,g(x)=f'(x)(f'(x)为函数f(x)的导函数),若f(2x+1)为奇函数,且g(x)+g(4-x)=2,g(1)=2,则?i=12025g(i)=
A.2023B.2024C.2025D.2026
8.已知不等式f(x)a,
条件②:cs B=255.
注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
【解题分析】(1)因为sin2C-sin2A-sin2B=2sin Asin B,所以c2-a2-b2=2ab,
因为c2=a2+b2-2abcs C,所以cs C=-22,因为C∈(0,π),所以C=3π4.6分
(2)若选条件①:
因为△ABC的面积S=4,所以12absin3π4=4,所以ab=82,
因为c2=a2+b2-2abcs C,所以a2+b2+2ab=40,因为b>a,所以a=22,b=4,
因为D为BC的中点,所以(2AD)2+(BC)2=2(AC2+AB2),所以AD2=26,即AD=26.13分
若选条件②:
因为cs B=255,且B∈(0,π),所以sin B=55,
因为bsinB=csinC,所以b=csinC·sin B=4,
因为c2=a2+b2-2abcs C,所以a2+42a-24=0,解得a=22或a=-62(舍去),
因为D为BC的中点,所以(2AD)2+(BC)2=2(AC2+AB2),所以AD2=26,即AD=26.12分
16.(15分)
已知圆M:(x-2)2+y2=1,P为圆N:(x+2)2+y2=1上一动点,过点P作圆M的两条切线,切点分别为A,B.
(1)当点P的坐标为(-2,1)时,求两条切线方程;
(2)求|AB|的取值范围.
【解题分析】(1)设过点P的切线方程为y-1=k(x+2),即kx-y+2k+1=0,圆心M(2,0)到直线kx-y+2k+1=0的距离d=|4k+1|k2+1=1,解得k=0或k=-815,
故所求切线方程为y=1或8x+15y+1=0.6分
(2)连接PM,交AB于点H(图略),设∠MPA=∠MAH=θ,θ∈(0,π2),
所以|AB|=2|AM|cs θ=2cs θ.在△PAM中,sin θ=|AM||PM|=1|PM|,
所以|AB|2=4cs2θ=4(1-sin2θ)=4(1-1|PM|2)=4-4|PM|2.
因为P为圆N:(x+2)2+y2=1上一动点,所以|MN|-1≤|PM|≤|MN|+1,
即3≤|PM|≤5,所以4-4|PM|2∈[329,9625],即|AB|2∈[329,9625],
所以|AB|的取值范围为[423,465].15分
17.(15分)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,△ABC是边长为4的正三角形,AA1=43,O为BC的中点,A1O⊥平面A1B1C1.
(1)证明:B1C1⊥AA1.
(2)求平面BAB1与平面AB1C夹角的余弦值.
【解题分析】(1)因为A1O⊥平面A1B1C1,所以A1O⊥B1C1.
因为△ABC是正三角形,O为BC的中点,所以AO⊥BC,因为B1C1∥BC,所以AO⊥B1C1.
因为AO⊂平面AOA1,A1O⊂平面AOA1,所以B1C1⊥平面AOA1,所以B1C1⊥AA1.4分
(2)由(1)知,OA,OB,OA1两两垂直,以O为坐标原点,OA,OB,OA1所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,如图所示.
因为AB=4,AO=23,AA1=43,所以OA1=6,
所以C(0,-2,0),A(23,0,0),B(0,2,0),B1(-23,2,6),
所以AB1=(-43,2,6),AB=(-23,2,0),CA=(23,2,0).
设平面BAB1的法向量m=(x1,y1,z1),所以m·AB1=0m·AB=0,所以-43x1+2y1+6z1=0-23x1+2y1=0,
令x1=3,解得y1=3,z1=1,所以平面BAB1的一个法向量m=(3,3,1).
设平面AB1C的法向量n=(x2,y2,z2),所以n·AB1=0n·CA=0,所以-43x2+2y2+6z2=023x2+2y2=0,
令x2=3,解得y2=-3,z2=3,所以平面AB1C的一个法向量n=(3,-3,3).
所以cs=m·n|m|·|n|=3-9+313×21=-27391,
所以平面BAB1与平面AB1C夹角的余弦值为27391.15分
18.(17分)
已知点P到定点F(3,0)的距离和它到定直线x=433的距离之比为32,记点P的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程;
(2)设直线l:x=my+1(m≠0)与曲线C相交于A,B两点,点B关于x轴的对称点为B',直线AB'与x轴相交于点D,求△ABD的面积的取值范围.
【解题分析】(1)设P(x,y),点P到直线x=433的距离为d,
则|PF|d=32,即(x-3)2+(y-0)2|x-433|=32,
整理化简得x24+y2=1,所以曲线C的方程为x24+y2=1.8分
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),则B'(x2,-y2).
联立x=my+1x24+y2=1,得(m2+4)y2+2my-3=0,则y1+y2=-2mm2+4,y1y2=-3m2+4.
直线AB'的方程为y-y1=y1+y2x1-x2(x-x1),令y=0,得
x=x1y2+x2y1y1+y2=(my1+1)y2+(my2+1)y1y1+y2=2my1y2y1+y2+1=4,即D(4,0).
易知直线l过定点(1,0),所以S△ABD=12|4-1|·|y1-y2|=32(y1+y2)2-4y1y2,
化简得S△ABD=6m2+3m2+4=6m2+3+1m2+3,令t=m2+3>3,
易知y=t+1t在(3,+∞)上单调递增,则t+1t∈(433,+∞),得S△ABD∈(0,332).
所以△ABD的面积的取值范围为(0,332).17分
19.(17分)
已知函数f(x)=xln x-12a(x-1)2-x+1,a∈R.
(1)证明:直线y=0与曲线y=f(x)相切.
(2)若函数f(x)在(1,+∞)上存在最大值,求a的取值范围.
【解题分析】(1)设切点坐标为(x0,y0),f'(x)=1+ln x-a(x-1)-1=ln x-a(x-1),所以f'(1)=ln 1-a(1-1)=0,又因为f(1)=0,所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=0,所以直线y=0与曲线y=f(x)相切.8分
(2)f'(x)=ln x-a(x-1),x>1,令g(x)=f'(x),则g'(x)=1x-a.
①当a≤0时,g'(x)>0,g(x)在(1,+∞)上单调递增,所以g(x)>g(1)=0,
所以f(x)在(1,+∞)上单调递增,无最大值,不符合题意;
②当a≥1时,g'(x)=1x-a0,因为f'(4a2)=ln4a2-a(4a2-1)