湖北省圆创联盟2025-2026学年高二上学期11月阶段练习（期中）数学试题（Word版附解析）

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★祝考试顺利★
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置．
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 若复数满足，其中为虚数单位，则为（ ）
A. B. C. D.
2. 下列说法正确的是（ ）
A. 截距相等直线都可以用方程表示
B. 经过点，倾斜角为的直线方程为
C. “”是“直线与直线平行”的充分不必要条件
D. 经过两点的直线方程为
3. 从1，2，3，4，5中任取两个数，则这两个数的乘积为偶数的概率为
A. B. C. D.
4. 在平行六面体中，底面是边长为2的正方形，若，且，则的长为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知向量满足，则在方向上的投影向量是（ ）
A B. C. D.
6. 先后抛掷质地均匀的硬币3次，得到以下结论，其中错误的是（ ）
A. 可以从不同的观察角度写出不同的样本空间
B. 事件“至少2次正面朝上”与事件“至少1次反面朝上”是互斥事件
C. 事件“至少1次正面朝上”与事件“3次反面朝上”是对立事件
D. 事件“1次正面朝上2次反面朝上”发生的概率是
7. 在中，已知，点为三角形的外接圆的圆心，若，且，则的面积的最大值为（ ）
A. 2B. 8C. 16D. 18
8. 如图，在棱长为的正方体中，为的中点，为上任意一点，，为上任意两点，且的长为定值，则下面的四个值中不为定值的是（ ）
A. 的面积
B. 三棱锥的体积
C. 直线与平面所成的角
D. 二面角的大小
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分）
9. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ）
A. 空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面
B. 若两个非零向量夹角是钝角，则
C. 已知，平面的法向量为，则
D. 已知向量组是空间的一个基底，则也是空间的一个基底
10. 记的内角的对边分别为为边的中点，则下列说法正确的是（ ）
A. 存在，满足
B. 若，则是直角三角形
C. 若，则是锐角三角形
D. 若，则是钝角三角形
11. 如图所示，用一个与圆柱底面成θ（）角的平面截圆柱，截面是一个椭圆．若圆柱的底面圆半径为2，，则（ ）
A. 椭圆的长轴长等于4
B. 椭圆的离心率为
C. 椭圆的标准方程可以是
D. 椭圆上的点到一个焦点的距离的最小值为
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 一个圆柱的内切球的表面积为，则这个圆柱的体积为___________．
13. 如图，椭圆的左、右焦点分别为，过点分别作弦．若，则的最小值为___________．
14. 已知实数满足，，则的最大值是___________、
四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 荆州是楚文化发祥地，出土大量青铜器与竹简．荆州市某学校为促进学生对楚文化的了解程度．举办了“楚文化”知识竞赛，现从所有答卷卷面成绩中随机抽取100份作为样本，将样本数据（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，，，并作出如图所示的频率分布直方图．
（1）求频率分布直方图中值；
（2）样本数据的第59百分位数约为多少；
（3）若落在中的样本数据平均数是52，方差是6，落在中的样本数据平均数是64，方差是3，求这两组数据的总平均数和方差．
16. 已知直线经过点，圆．
（1）若直线与圆相切，求直线的方程；
（2）若直线被圆截得的弦长为，求直线的方程．
17. 已知平面四边形中，，且．以为腰作等腰直角三角形，且，将沿直线折起，使得平面平面．
（1）证明：平面；
（2）若是线段上一点，且平面，求平面与平面夹角的余弦值．
18. 已知椭圆的左、右焦点分别为，点，过点的直线交椭圆于两点，交轴于点，的周长为8，椭圆的离心率为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求点到椭圆上点的距离的最大值；
（3）设，试判断否为定值？请说明理由．
19. 法国著名军事家拿破仑・波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形的顶点”．如图，在中，内角的对边分别为，已知，以为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为．

（1）求；
（2）若外接圆半径为1，求的边长；
（3）若，的面积为，求的周长．