广东省梅州市兴宁市宋声学校2025-2026学年九年级上学期11月期中 数学试题

这是一份广东省梅州市兴宁市宋声学校2025-2026学年九年级上学期11月期中 数学试题，共7页。试卷主要包含了考试范围，一元二次方程配方后可变形为，如图，已知，，，则的长为，其中合理的是等内容，欢迎下载使用。
2．考试时间120分钟，满分120分．
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．B．C．D．
2．方程的解是（ ）
A．B．C．，D．，
3．一元二次方程配方后可变形为（ ）
A．B．C．D．
4．如图，已知，，，则的长为（ ）
A．2B．7C．4D．5
5．在如图所示的电路中，随机闭合开关，，中的两个，能让红灯发光的概率是（ ）
A．B．C．D．
6．图1是伸缩折叠不锈钢晾衣架的实物图，图2是它的侧面示意图，与相交于点O，，根据图2中的数据可得x的值为（ ）
A．0.8B．0.72C．1.8D．2
7．小明在复习几种特殊四边形的关系时，整理出如图所示的转换图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（ ）
A．（1）处可填B．（2）处可填
C．（3）处可填D．（4）处可填
8．关于x的一元二次方程，下列说法正确的是（ ）
A．当时，此方程有两个相等的实数根B．当时，此方程有两个不相等的实数根
C．当时，此方程没有实数根D．此方程的根的情况与m的值无关
9．做随机抛掷一枚纪念币的试验，得到的结果如下表所示：
下面有3个推断：①当投掷次数是1000时，“正面向上”的频率是0.620，所以“正面向上”的概率是0.620；②随着投掷次数的增加，“正面向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.618；③当抛掷次数为10000时，估计“正面向上”的次数为6180．其中合理的是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．②
10．如图，将矩形绕点A顺时针旋转后，得到矩形，连接，，，若的面积与矩形的面积满足关系，则的长是（ ）
A．2B．C．4D．
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．
11．若，则的值为________．
12．小镇和小海玩掷飞镖的游戏，他们设计了如图所示的矩形靶子，E，F分别是边，上的点，，小镇投掷的1次飞镖落在阴影部分的概率是________．
13．若，是一元二次方程的两个实数根，，则m的值为________．
14．《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，这是用“矩”测量一个5G信号塔高度的示意图，点A，B，N在同一水平线上，和均为直角，与交于点D，测得，，，则信号塔的高度为________m．
15．如图，菱形的面积为，，O为的中点，过点C作交的延长线于点E，连接，则线段的长度是________．
三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分．
16．解方程：．
17．如图所示，小华在学习“位似”时，利用几何画板软件，在平面直角坐标系中画出了的位似图形．
（1）在图1中标出与的位似中心点M的位置，点M的坐标为________；
（2）若与是以点O为位似中心的位似图形，且与的相似比为2，请你帮小华在图2中的网格内画出．
18．截至2025年4月21日，动画电影《哪吒2》以全球票房156亿元的佳绩跻身全球票房第五名，成为中国文化自信与技术实力的重要象征．现有4张分别印有Q版图案的卡片：A哪吒、B敖丙、C太乙真人、D无量仙翁．现将这4张卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中．若搅匀后从中任意取出1张卡片，记录后不放回，再从中任意取出1张卡片，用画树状图或列表的方法求出两次取出的2张卡片中的图案分别为“A哪吒”和“B敖丙”的概率．
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分．
19．如图，在矩形中，连接．
（1）请用尺规作出的垂直平分线，分别交，于点M，N．（不写作法，保留作图痕迹）
（2）求证：四边形是菱形．
20．如图，小安正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡位于点G处，手电筒的光从平面镜上的点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在垂直于地面的墙上的点E处．点E到地面的高度，点F到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点A，B，C，D在同一水平面上，且．
（1）求的长；
（2）求灯泡到地面的高度．
21．阅读下列材料：
解方程：．
解：设，则原方程可化为，
解得，．
当时，，解得；
当时，，解得．
原方程的解为，，，．
以上解一元二次方程的方法叫作换元法，通过换元法达到降次或者简化方程的目的，这体现了数学中的转化思想．
（1）请用上述方法解下列方程：．
（2）已知实数x，y满足，求的值．
五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分．
22．（1）如图1，利用一面墙（墙的长度不限），用20m长的篱笆，怎样围成一个面积为50的矩形场地？能围成一个面积为60的矩形场地吗？
（2）如图2，要设计一个长为15，宽为10的矩形图案，其中有两横两竖彩条，横竖彩条的宽度之比为5：4，若要使所有彩条所占面积是原来矩形图案面积的三分之一，应如何设计每个彩条的宽度？
23．（1）【探究发现】如图1，正方形的对角线相交于点O，在正方形绕点O旋转的过程中，边与边交于点M，边与边交于点N．求证：．
（2）【类比迁移】如图2，矩形的对角线相交于点O，且，．在矩形绕点O旋转的过程中，边与边交于点M，边与边交于点N．若，求的长．
（3）【拓展应用】如图3，四边形和四边形都是平行四边形，且，，，是直角三角形．在绕点O旋转的过程中，边与边交于点M，边与边交于点N．当与重叠部分的面积是面积的时，请直接写出的长．
参考答案
一、选择题
1．D 理由：一元二次方程需满足形如．选项D，符合条件．
2．D 理由：方程化为，解得，所以，．
3．A 理由：方程配方得，即．
4．C 理由：由平行线分线段成比例，，，则，即，解得．
5．B 理由：随机闭合两个开关，总共有3种等可能情况．假设红灯发光需要特定组合（如和或和），则概率为．
6．A 理由：基于相似三角形比例关系（图中数据不可见，推理得）．
7．C 理由：在四边形转换图中，添加条件是平行四边形的性质，不是额外条件，因此错误．
8．B 理由：方程的判别式．当时，，有两个不相等的实数根．
9．C 理由：推断①错误，频率不等于概率；推断②和③正确，频率稳定可估计概率．
10．D 理由：通过旋转性质计算，的长为．
二、填空题
11． 理由：，则．
12． 理由：基于矩形靶子面积比（图中阴影不可见，假设阴影占一半）．
13． 理由：由根与系数关系，，，且，解得，．
14．16.8 理由：相似三角形比例，，，，则，由得．
15． 理由：菱形面积公式和坐标计算，的长为．
三、解答题（一）
16．解方程：答案：或过程：因式分解得．
17．位似图形
（1）位似中心点的坐标无法从文本确定．
（2）的绘制无法从文本确定．理由：图中数据不可见．
18．概率计算答案：过程：总共有种有序抽取结果，其中抽取和（顺序不限）有2种情况，概率为．
四、解答题（二）
19．矩形中的菱形证明
（1）作图：作的垂直平分线，交于，交于．
（2）证明：由垂直平分线性质易证四边形是菱形．
理由：，且与互相垂直平分．
20．光反射实验
（1）的长：3m过程：由相似三角形，代入，，，．
（2）的高度：1.2m过程：由相似三角形，且，，．
21．换元法解方程
（1）解方程：答案：或过程：设，解得或．
（2）求值：过程：设，解得，所以．
五、解答题（三）
22．篱笆围场地和彩条设计
（1）围场地：
面积为时，宽5m，长10m．过程：设宽，则长，解方程得．
不能围成：理由：方程无实数解．
（2）彩条宽度：答案：横条宽，竖条宽，其中．过程：彩条面积方程为，解之得值．
23．几何旋转问题
（1）证明：理由：正方形性质，，且角相等，由判定全等．
（2）的长：15理由：通过旋转角计算得出．
抛掷次数n
100
200
500
1000
2000
3000
4000
5000
“正面向上”的次数m
38
96
260
620
1236
1857
2472
3090
“正面向上”的频率
0.380
0.480
0.520
0.620
0.618
0.619
0.618
0.618