江苏省南京市七校联合体2026届高三上学期10月学情调研数学试卷（Word版附解析）

这是一份江苏省南京市七校联合体2026届高三上学期10月学情调研数学试卷（Word版附解析），共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
高三数学
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知z＝(1－3i)(a＋i)(a∈R)为纯虚数，则a＝( )
A．3 B．－3 C．eq \f(1,3) D．－eq \f(1,3)
2．已知向量a＝(1，2)，b＝(k，－1)，且a⊥(a＋b)，则实数k为( )
A．2 B．3 C．－3 D．－2
3．已知一个底面半径为1的圆锥，其侧面积是底面积的4倍，则该圆锥体积为( )
A． eq \f(2,3)πB． eq \f(\r(,15),3)πC． eq \f(4,3)πD． eq \r(,15)π
4．从编号1~7的7张卡片中依次不放回地抽出两张，记事件A：“第一次抽到的卡片编号数字为3的倍数”，事件B：“第二次抽到的卡片编号数字大于第一次抽到的卡片编号数字”，则P(B|A)＝( )
A． eq \f(5,12)B． eq \f(5,14) C． eq \f(5,21)D． eq \f(5,42)
5．已知a＝lg0.82.6，b＝2.6eq \s\up6(0.9)，c＝0.80.9，则a、b、c的大小关系为( )
A．a＞b＞cB．c＞a＞bC．b＞c＞aD．c＞b＞a
已知函数f(x)＝cs(2ωx＋φ)(ω＞0，0＜φ＜ eq \f(π,2))的最小正周期为T，若f(T)＝ eq \f(\r(,3),2)，
则函数y＝sin(x－6φ)＋sin(2x＋3φ)的最大值为( )
A．－2B．－ eq \f(9,8)C．2D． eq \f(9,8)
7．莱莫恩(Lemine)定理指出：过△ABC的三个顶点A，B，C作它的外接圆的切线，分别和BC，CA，AB所在直线交于点P，Q，R，则P，Q，R三点在同一条直线上，这条直线被称为三角形的Lemine线．在平面直角坐标系xOy中，若三角形的三个顶点坐标分别为
A(0，1)，B(－2，0)，C(0，－4)，则该三角形的Lemine线的方程为( )
A．2x－3y＋8＝0 B．2x＋3y－8＝0
C．3x－2y＋22＝0D．2x＋3y＋32＝0
8．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝f(2－x)，对任意的x1，x2∈[2，＋∞)且x1≠x2，均有x1f(x1)＋x2f(x2)＞x1f(x2)＋x2f(x1)恒成立，则不等式f(3－x)＞f(3x)的解集为( )
A．(－∞，eq \f(1,2))B．(eq \f(3,4)，＋∞)
C．(eq \f(1,2)，eq \f(3,4)) D．(－∞，eq \f(1,2))∪(eq \f(3,4)，＋∞)
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．已知tanα＝ eq \f(1,2)，tanβ＝ eq \f(1,3)，其中α，β为锐角，以下判断正确的是( )
A．α＋β＝ eq \f(π,4) B．sinα＝ eq \f(3\r(10),10)
C．sin2β＝ eq \f(3,5) D．cs (α－β)＝ eq \f(\r(5),5)
10．下列有关说法正确的是( )
A．设随机变量ξ服从正态分布N(μ，2)，若P(ξ＜1)＝P(ξ＞9)，则μ＝5
B．甲、乙、丙、丁4个人到3个国家做学术交流，每人只去一个国家，每个国家都需 要有人去，则不同的安排方法有72种
C．若(x－2)7＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5＋a6x6＋a7x7，
则a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝127
D．以模型y＝cekx去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设z＝lny，将其变换后得到线性回归方程z＝0.3x＋4，则c，k的值分别是e4和0.3
已知数列{an}的前n项和为Sn＝2n－1＋1(n∈N*)． 对任意正整数M，
记M＝ eq \(∑,\s\up6(k),\s\d6(i＝1))φ(i)(Si－1)，其中φ(i)∈{0，1}，记f(M)＝φ(1)＋φ(2)＋…＋φ(k)，则( )
A．数列{an}的通项公式为an＝ eq \b\lc\{(\a\ac\c1\hs2\vs2(2，n＝1,2n－2，n≥2))
B．8an＋1＞n(n＋1)
C．若λ＝2k(k∈N*)，则f(M)＝f(λM)
D．数列{f(an＋3－Sn＋1)}为等差数列
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知函数f(x)＝lnx＋1的图象与直线y＝kx相切，则实数k＝ ．
13．已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2．以F1F2为直径的圆和C的渐近线在第一象限交于点A，直线AF1交C的另一条渐近线于点B，eq \(F1B,\s\up6(→))＝2eq \(BA,\s\up6(→))，则C的离心率为 ．
14．已知正方体ABCD－A1B1C1D1顶点处有一质点Q，点Q每次会随机地沿一条棱向相邻的某个顶点移动，且向每个顶点移动的概率相同，从一个顶点沿一条棱移动到相邻顶点称为移动一次，若质点Q的初始位置位于点A处，记点Q移动n次后在面A1B1C1D1上的概率为Pn．则 eq \(∑,\s\up6(n),\s\d6(i＝1))Pi＝ ．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．已知△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其面积为S，
且4S＝ eq \r(,3)(b2＋c2－a2)．
(1)求角A；
(2)M，N分别在线段BC，AC上，且MN垂直平分BC，BM＝ eq \f(\r(,6),2)，AB＝2，
求线段CN长．
16．如图，四棱锥P－ABCD，PA⊥平面ABCD，AD＝2BC＝2AB＝2，AB⊥BC，AD//BC．若E点满足 eq \(PE,\s\up6(→))＝ eq \f(1,3) eq \(PA,\s\up6(→))，平面BCE交线段PD于F点．
(1)求证：EF//BC；
(2)若平面PAB与平面PCD夹角的余弦值为 eq \f(\r(,6),6)，求D点到平面BCE的距离．
17．已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且an＝2 eq \r(,Sn)－1．
(1)证明：数列{an}是等差数列；
(2)若数列{bn}满足b1＝1，且bna eq \(\s\up1(2),n)＝bn－1an－1an＋1(n≥2，n∈N*)，求数列{bn}的通项公式．
18．已知函数f(x)＝ln(x＋1)－ax2＋x在x＝ eq \r(,2)处取得极值．
(1)求实数a的值；
(2)是否存在自然数k，使得方程f(x)＝ eq \f(1,4)x2在(k，k＋1)内有唯一的根?如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由；
(3)若x＞0，f(x)≤tln(x＋1)＋ eq \f(1,4)x2成立，求实数t的取值范围．
19．已知椭圆C： eq \f(x2,a2)＋ eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别为M、N，且椭圆C过点(1， eq \f(2\r(,3),3))，离心率为 eq \f(\r(,3),3)．
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知椭圆C具有性质：椭圆C上任一点T(x0，y0)处的切线方程为 eq \f(x0x,a2)＋ eq \f(y0y,b2)＝1，试运用该性质解决以下问题：过动点P(3，m)作椭圆C的两条切线，切点分别为A、B，A在x轴上方．
(i)设直线AM与直线BN的斜率分别为k1，k2，求证： eq \f(k1,k2)为定值；
(ii)若m＝2 eq \r(,3)，过点P作直线l交椭圆C于D，E两点，过D作PA的平行线交AB于点G，延长DG至点F，使得DG＝GF．求证：A、E、F三点共线．
2026届高三数学10月七校联考数学参考答案
1-4. BCBA 5-8. CDA C
9. AC 10. ACD 11.ABD
12. 13．4 14.
15.【解】（1）因为，
由面积公式与余弦定理得 , ………………………… 3分
因为，所以，
易知，则，又，可得；………………… 6分
因为边的垂直平分线，如图可知，所以是等腰三角形，
且 是一个底角，故，为的中点，则，
在中，，
由正弦定理得，
因为，则， ………………………… 10分
所以在中，. ………………………… 13分
其他答案，酌情给分！！！辛苦了。
16.【解】（1）证明：
又
分
又
分
（2），
以为坐标原点，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，，，，
的一个法向量分
，
设的一个法向量
则，
取，则，
的一个法向量分
解得分
，，
设面的法向量为
则，
取，则，
分
设点到面的距离为
则
设点到面的距离为分
其他答案，酌情给分！！！辛苦了。
17【解】（1）据题可得：，
当时，，
两式子作差可得：
，………………………… 2分

又，
所以， ………………………… 4分
当时，，……………… 5分
所以，数列是以为首项，2为公差的等差数列；即.………………… 7分
【法一】因为，，
由，
得到， ………………………… 9分
由（1）知，
所以，
当，
………………………… 11分
， ………………………… 13分
又因为满足上式， ………………………… 14分
所以数列的通项公式. ………………………… 15分
【法二】因为，，由，
得到， ………………………… 9分
设，所以数列的为常数列，则， ………………………… 12分
得到，
所以数列的通项公式. ………………………… 15分
其他答案，酌情给分！！！辛苦了。
18.【解】：（1）因为，在处取得极值，则
所以，则分
当时，，
则时，，单调递增；
则时，，单调递减；
所以在处取得极值成立.
所以成立. 分
（2）由（1）知，即，
令，因为函数定义域为，显然，
，有，
时，；时，，
所以在上单调递增，在上单调递减分
因为，，
所以存在唯一的，使
所以存在，使得在内有唯一的根分
（3）令，
则
①因为抛物线的对称轴方程为，开口向上，
所以即时，对成立，
所以时，对成立，
所以在上是单调递减，
因为，所以时，成立，
即成立；分
②当，，
记的两根为，
则，，
则， 分
所以当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减.
所以，所以不恒成立，
即不恒成立
综上，的取值范围是分
其他答案，酌情给分！！！辛苦了。
【解】(1)由题意得, 分
解得,所以椭圆C的方程为分
(2)(i)由(1)知,设,则,又都过点P,所以有,
所以分
又过定点(1,0),设
联立消x得
所以分
所以为定值
分
(ii)当时,,联立椭圆方程解得
分
设
联立消y得
则
所以

另一方面,,联立
解得,所以
分
所以
要证A、E、F三点共线,只需证,
即证……①
而
所以等式①成立,故A、E、F三点共线
分
其他答案，酌情给分！！！辛苦了。