安徽省部分学校2025届高三上学期12月联考数学试卷

这是一份安徽省部分学校2025届高三上学期12月联考数学试卷，共7页。
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 若复数满足，则的共轭复数（ ）
A. B. C. D.
3. “”的一个充分不必要条件是（ ）
A B. C. D.
4. 已知三点，点在圆上运动，则的最大值与最小值之和为（ ）
A. 96B. 98C. 100D. 102
5. 在中，内角所对的边分别为，已知，则（ ）
A. B. C. D.
6. 已知，则的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
7. 已知函数，函数满足，若函数恰有2025个零点，则所有零点之和（ ）
A. B. C. D.
8. 记数列的前项和为，若，且，则的最小值为（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知平面向量，则（ ）
A. B.
C. 与的夹角是D. 在上的投影向量是
10. 如图，在棱长为1的正四面体中，点是顶点在底面内的射影，为的中点，则（ ）
A
B.
C. 点到平面的距离为
D. 三棱锥的外接球体积为
11. 已知函数，则下列说法错误的是（ ）
A. 的图象关于直线对称
B. 存在，使得为奇函数
C. 当时，，使得
D. 当时，的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 数据，，，，，，，，，的第70百分位数是______．
13. 已知双曲线的左、右焦点分别为，若上存在一点，使得，则的离心率______．
14. 对任意实数，均有，当且仅当时等号成立，这个不等式称为柯西不等式．若关于的方程有实根，则的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 从甲、乙两名同学中选派一人代表班级参加学校活动，制定如下规则：将大小、材质相同1个红球和2个黑球放入抽签箱中，由班长随机摸出2个球，若颜色相同，则甲得1分，若颜色不同，则乙得1分，每次摸球记录结果后将小球放回，重新摸取，首先得3分的一人将被选派．
（1）求每次摸球甲得分的概率．
（2）现有两个方案：①增加1个红球；②增加1个黑球．为了使选派结果更加公平，应选哪个方案？
16. 如图，在四棱锥中，分别为棱的中点，平面，四边形是边长为4的正方形.

（1）求证：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值．
17. 已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，左、右顶点分别为，且上存在点，使得直线与的斜率之积为．
（1）求的方程．
（2）过点作直线交于两点（与均不重合），过原点作直线的平行线交于，两点，是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
18. 已知函数．
（1）记的图象在点处的切线方程为，证明：当时，；
（2）若当时，，求实数的最大整数值．
19. 16世纪法国的数学家韦达在其三角学著作《应用于三角形的数学定律》中给出了积化和差与和差化积恒等式.
积化和差：，．
和差化积：，．
运用上面的公式解决下列问题：
（1）证明：；
（2）若，证明：；
（3）若函数，判断的零点个数，并说明理由．
安徽2024-2025学年高三12月联考
数学
考生注意：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
【1题答案】
【答案】B
【2题答案】
【答案】A
【3题答案】
【答案】D
【4题答案】
【答案】D
【5题答案】
【答案】B
【6题答案】
【答案】C
【7题答案】
【答案】A
【8题答案】
【答案】C
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
【9题答案】
【答案】ACD
【10题答案】
【答案】AC
【11题答案】
【答案】BCD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
【12题答案】
【答案】
【13题答案】
【答案】
【14题答案】
【答案】##0.2
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
【15题答案】
【答案】（1）13 （2）应选方案②
【16题答案】
【答案】（1）证明见解析
（2）
【17题答案】
【答案】（1）；
（2）存在，.
【18题答案】
【答案】（1）证明见解析
（2）4
【19题答案】
【答案】（1）证明见解析；
（2）证明见解析； （3）仅有1个，理由见解析.