浙江省衢州五校联盟2025-2026学年高二上学期期中联考数学试卷（学生版）

这是一份浙江省衢州五校联盟2025-2026学年高二上学期期中联考数学试卷（学生版），共6页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 集合，则（ ）
A. B.
C. D.
2. 点关于直线的对称点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
3. 已知，则在方向上的投影向量为（ ）
A. B.
C. D.
4. 已知直线的倾斜角为，则“”是“直线的斜率为”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
5. 已知实数满足，则的最小值为（ ）
A. 2B. 3C. 4D.
6. 一组样本数据为，这组数据的第75百分位数为6，则这组数据的方差为（ ）
A. 2B. 4
C. 8D. 无法确定
7. 已知函数，若函数有7个零点，则可以为（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
8. 已知函数在上只有一个极值点，且，则的值不可能为（ ）
A. 1B. C. 2D. 3
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列关于复数叙述正确的是（ ）（其中为虚数单位）
A.
B.
C. 在复平面上的点位于第二象限
D. 若，则
10. 已知正方体的棱长为2，下列命题正确的是（ ）
A.
B. 若为的中点，为的中点，则与所成的角的余弦值为
C. 该封闭正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为
D. 若点、分别在与上移动，且和长度保持相等，则最小值为
11. 已知圆，椭圆为圆上的动点，过椭圆右焦点的直线交椭圆于两点，圆的圆心为，直线与轴交于点，若点到直线的距离分别为，则（ ）
A. B.
C. D. 的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12 若，且与相互独立，则___________．
13. 求值：___________．
14. 已知为双曲线两个焦点，过的直线与双曲线交于两点，双曲线在点处的切线与轴交于，且，，则双曲线的离心率为___________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 甲、乙、丙三人独立地破译一份密码，已知甲、乙、丙三人能破译密码概率分别为．
（1）求恰有两人成功破译的概率；
（2）若甲、乙、丙三人都没有破译密码，则会派丁独立破译密码，丁能独立破译密码的概率为，求密码能被成功破译的概率．
16. 在中，角对边分别为．已知.
（1）求角的正弦值；
（2）若、边上的两条中线、相交于点，求的余弦值．
17. 在三棱锥中，点在底面的投影为的垂心.
（1）求证：平面；
（2）若为线段上一点，满足，且，求直线与平面所成角的正弦值．
18. 已知函数（且），函数为奇函数.
（1）（i）求实数的值，并讨论函数的单调性（不需要证明）；
（ii）当时，在区间的值域为，求实数的取值范围；
（2）当时，对任意的，不等式恒成立，求的取值范围．
19. 已知抛物线，斜率为的直线交于两点，且线段中点纵坐标为4．
（1）求抛物线的方程；
（2）若直线不过点，且直线交于另一点，记直线斜率为.
（i）求证：；
（ii）求证：直线过定点．