26春人教版2024八年级下册数学20.1 勾股定理及其应用 习题20.1 课件

习题20.1人教·八年级数学下册勾股定理复习巩固1. 设直角三角形的两条直角边长分别为 a 和 b，斜边长为 c.（1）已知 a = 12，b = 5，求 c；（2）已知 a = 3，c = 4，求 b；（3）已知 c = 10，b = 9，求 a.解：由勾股定理：   2. 如图，一根直立于地面的木杆在离地面 3 m 处折断， 木杆顶端落在离木杆底端 4 m 处. 木杆折断之前有多高？解：如图，根据题意△ABC 是直角三角形，其中直角边 AC = 3 m，BC = 4 m.根据勾股定理，AB2 = AC2 + BC2 = 32 + 42 = 25，∴AB = 5 m.∴AC + AB = 3 + 5 = 8（m）∴木杆折断之前有 8 m 高.ABC3. 如图，一个圆锥的高 AO = 2.4，底面半径 OB = 0.7 . AB 的长是多少？解：圆锥的高 AO、半径 OB、母线 AB 构成直角三角形.在 Rt△AOB 中，根据勾股定理，AB2 = AO2 + OB2 = 2.42 + 0.72 = 6.25，∴AB = 2.5. ∴AB 的长为 2.5.4. 一个含两小圆孔的长方形零件尺寸（单位：mm）如图所示， 求两孔中心的距离（结果保留小数点后一位）.解：由图可知：AC = 40－21 = 19（mm），BC = 60－21 = 39（mm）在 Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，根据勾股定理，AB2 = AC2 + BC2 = 192 + 392 = 1882，∴ AB ≈ 43.4mm，∴两孔中心的距离约为 43.4 mm.5. 如图，要从电线杆离地面 5 m 处向地面拉一条长为 7 m 的钢缆. 求地面上钢缆的固定点 A 到电线杆底部点 B 的距离（结果保留 小数点后一位）.解：由勾股定理，AB2 = 72－52 = 24，∴ AB ≈ 4.9 m，∴ 地面上钢缆的固定点 A 到电线杆底部点 B 的距离约为 4.9 m.6. 在数轴上画出表示 的点.  OA = 4，AB = 2. 综合运用7. 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AB = c.（1）如果 ∠ A = 30°，求 BC，AC；解:（1）在△ABC 中，∠C = 90°，AB = c，∠A = 30°，   （2）如果∠ A = 45°，求 BC，AC.7. 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AB = c.综合运用（2）在△ABC 中，∠C = 90°，AB = c，∠A = 45°，因此 AC = BC.由勾股定理，AC2 + BC2 = AB2，即 2AC2 = c2，  8. 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 2.1，BC = 2.8. 求：（1）△ABC 的面积； （2）斜边 AB； （3）高 CD. （2）由勾股定理，  ∴ CD = 1.68 .  ∵ h = 15 cm，∴d = 12h = 12×15 = 180（cm）.答：所修坡道的长度 l 约为 180.62 cm.10. 如图，有一个水池，水面是一个边长为 10 尺的正方形， 在水池正中央有一根芦苇，它高出水面 1 尺. 如果把这根 芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面. 水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？解：设水的深度为 x 尺，则这根芦苇的长度为 (x + 1) 尺.根据题意和勾股定理可列方程 x2 + 52 =(x + 1)2.解得 x = 12.∴水的深度为 12 尺，这根芦苇的长度为 13 尺.11. 如图，一张三角形纸片 ABC，∠C = 90°，AC = 8 cm，BC = 6 cm. 将纸片沿直线 DE 折叠，使点 A 与 B 重合，求 CD 的长.解：由折叠知，BD = AD.设 CD = x cm，则 BD = AD = AC－CD = (8－x) cm.在 Rt△BCD 中，由勾股定理，CD2 + BC2 = BD2， 12. 甲、乙两个三角形工件的尺寸（单位：mm） 如图所示，分别求它们的高 h1，h2 . 在 Rt△AMC 中，由勾股定理， ∴ h1 = 24 mm.如图乙.设 DN = x mm，则 EN = DE－DN = (21－x) mm.在 Rt△DFN 和 Rt△EFN 中，由勾股定理，DF2－DN2 = FN2 = EF2－EN2，即 132－x2 = 202－(21－x)2，解得 x = 5. ∴h2 = 5 mm.12. 甲、乙两个三角形工件的尺寸（单位：mm） 如图所示，分别求它们的高 h1，h2 .拓广探索13. 如图，分别以等腰直角三角形 ABC 的边 AB，AC，BC 为直径 画半圆. 求证：所得两个月牙形图案 AGCE 和 BHCF 的面积之 和（图中阴影部分）等于 Rt△ABC 的面积.分析：由图可知，阴影部分的面积为 S半圆AEC + S半圆CFB + S△ABC－ S半圆ACB，即可求出阴影部分的面积，再求出 Rt△ABC 的面积，即可得证.13. 如图，分别以等腰直角三角形 ABC 的边 AB，AC，BC 为直径 画半圆. 求证：所得两个月牙形图案 AGCE 和 BHCF 的面积之 和（图中阴影部分）等于 Rt△ABC 的面积.拓广探索证明：∵△ABC 为等腰直角三角形，∴设 AC = BC = x，   13. 如图，分别以等腰直角三角形 ABC 的边 AB，AC，BC 为直径 画半圆. 求证：所得两个月牙形图案 AGCE 和 BHCF 的面积之 和（图中阴影部分）等于 Rt△ABC 的面积.拓广探索观察图形可知：S半圆AEC + S半圆CFB + S△ABC－S半圆ACB 即为阴影部分面积， ∴图中阴影部分面积等于 Rt△ABC 的面积.14. 如图，△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，CA = CB， CE = CD，△ACB 的顶点 A 在△ECD 的斜边 DE 上. 求证：AE2 + AD2 = 2AC2．（提示：连接 BD.）分析：连接 BD，证明△AEC≌△BDC，再根据勾股定理即可得证.14. 如图，△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，CA = CB， CE = CD，△ACB 的顶点 A 在△ECD 的斜边 DE 上. 求证：AE2 + AD2 = 2AC2．（提示：连接 BD.）证明：如图，连接 BD.∵△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，∴CE = CD，∠E = ∠ADC = 45°，AC = BC，∠ECD = ∠ACB = 90°，即∠ECA + ∠ACD = ∠ACD + ∠DCB，∴∠ECA = ∠DCB .∴△AEC ≌△BDC（SAS）.∴AE = BD，∠BDC = ∠E = 45°，∴∠ADB =∠ADC + ∠BDC = 90°.根据勾股定理，AC2 + BC2 = AB2，BD2 + AD2 = AB2，∴AE2 + AD2 = BD2 + AD2 = AB2 = AC2 + BC2 = 2AC2 .课后作业见对应课时作业。