25.11浙江省杭州市公益中学2025-2026学年第一学期九年级期中考试数学试卷（含答案）

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一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．“在一副除去大小王的扑克牌中，抽取一张扑克牌恰好是红桃”这一事件是（ ）
A．必然事件 B．不可能事件C．随机事件 D．确定性事件
2．抛物线y＝（x+1）2的对称轴是（ ）
A．直线y＝﹣1B．直线y＝1C．直线x＝﹣1D．直线x＝1
3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果把Rt△ABC的各边都扩大为原来的4倍，则sinA的值（ ）
第3题图
A．不变B．缩小为原来的倍
C．扩大为原来的2倍D．扩大为原来的4倍
4．某林业局将一种树苗移植成活的情况绘制成如统计图，由此可估计这种树苗移植成活的概率约为（ ）
第4题图
A．0.95B．0.90
C．0.85D．0.80
5．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝2，BD＝3，AC＝10，则AE的长为（ ）
A．3B．6C．5D．4
第5题图 第6题图 第7题图
6．如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（ ）
A．∠ABP＝∠CB．∠APB＝∠ABC C．＝ D．＝
7．凸透镜成像的原理如图所示，AD∥l∥BC．若物体到焦点的距离与焦点到凸透镜中心线DB的距离之比为5：4，则物体被缩小到原来的（ ）
A．B．C．D．
8．已知二次函数y＝ax2+bx+c中自变量x和函数y的部分对应值如表：
则方程ax2+bx+c＝0的一个解x＝t的取值范围下列可能的是（ ）
第9题图
A．﹣3＜t＜﹣2B．﹣2＜t＜﹣1C．﹣1＜t＜0D．0＜t＜1
9．如图，在▱ABCD中，AG平分∠BAD分别交BD，BC，DC延长线于点F，G，E，记△ADF与△CEG的面积分别为S1，S2，若AB：AD＝2：3，
则的值是（ ）
A．B．C．D．
10．已知点（x1，m），（x2，n），（x3，p）均在二次函数y＝ax2+2ax+c图象上，若n＝c﹣a，则（ ）
A．若|x1﹣x2|≤|x3﹣x2|，则n≥m≥p B．若n≥m≥p，则|x1﹣x2|≤|x3﹣x2|
C．若|x1﹣x2|≥|x3﹣x2|，则n≥m≥p D．若n≥m≥p，则|x1﹣x2|≥|x3﹣x2|
二．填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．一个不透明的袋子里装有4个红球、3个黄球和1个黑球，它们除颜色外其余均相同．从袋中任意摸出一个小球为红球的概率是 ．
12．将二次函数y＝（x﹣2）2的图象向左平移1个单位长度，向上平移2个单位长度，平移后的二次函数解析式为 ．
13．已知点P是线段AB的黄金分割点，AP＞PB．若AB＝2，则BP＝ ．
14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，过D点作AB的垂线交AC于点E，BC＝6，sinA＝，则DE＝ ．
第14题图
15．已知两个不同的点A（a，﹣1），B（b，﹣1）都在二次函数y＝x2﹣3x的图象上，则代数式1a2+1+1b2+1的值为 ．
第16题图
16．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD为BC上的中线，将△ADC沿直线AD翻折得到△ADC′，C′D与AB交于点F，连接CC′与AB，AD分别交于点E，O，连接BC′，则∠CC′B＝ .若，则＝ ．
三．解答题（共8小题，共72分）
17．（1）计算：sin245°+ tan60°•cs30°；
（2）已知x-2yx+3y=56，求xy的值．
18．数学文化哥德巴赫猜想哥德巴赫提出“每个大于2的偶数都可以表示为两个质数之和”的猜想，我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．数学兴趣小组准备了4张除正面外完全相同的卡片，上面分别写着质数2，3，5，7．
（1）小组成员从中随机抽取1张卡片，卡片上的数字是偶数的概率为 ．
（2）小组成员从中随机抽取2张卡片，求这2张卡片上的数字之和是偶数的概率．
19．已知二次函数y＝x2+bx+c经过（0，﹣2）和（1，﹣2）．
（1）求该二次函数的表达式和对称轴．
（2）当﹣1≤x≤3时，求该二次函数的最大值和最小值．
20．在如图所示的12个小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点都在小正方形的顶点上．仅用无刻度的直尺按要求完成下列作图．
（1）在图1网格中找格点D，作射线BD，使得∠ABD＝∠CBD；
（2）在图2网格中找格点E，作直线BE交AC于点Q，使得AQ＝AB．
21．如图，已知：四边形ABCD是平行四边形，点E在边BA的延长线上，CE交AD于点F，∠ECA＝∠D．
（1）求证：△EAC∽△ECB；
（2）若DF＝AF，求AC：BC的值．
22．某超市为了销售一种新型饮料，对月销售情况作了如下调查，结果发现每月销售量y（瓶）与销售单价x（元）满足一次函数关系．所调查的部分数据如表：（已知每瓶进价为4元，每瓶利润＝销售单价﹣进价）
（1）求y关于x的函数表达式．
（2）该新型饮料每月的总利润为w（元），求w关于x的函数表达式，并指出单价为多少元时利润最大，最大利润是多少元？
（3）由于该新型饮料市场需求量较大，厂家进行了提价．此时超市发现进价提高了a元，每月销售量与销售单价仍满足第（1）问函数关系，当销售单价不超过14元时，利润随着x的增大而增大，求a的最小值．
23．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2tx+t2﹣t．
（1）求抛物线的顶点坐标（用含t的代数式表示）；
（2）点P（x1，y1），Q（x2，y2）在抛物线上，其中t﹣2＜x1＜t+1，x2＝1﹣t．
①若y1的最小值是﹣2，求y2的值；
②若对于x1，x2，都有y1＜y2，求t的取值范围．
24．如图，已知正方形ABCD的边长为12，点E是射线BC上一点（点E不与点B、C重合），过点A作AF⊥AE，交边CD的延长线于点F，直线EF分别交射线AC、射线AD于点M、N．
（1）求证：△ABE≌△ADF；
（2）当点E在边BC上时，如果AN＝5DN，求∠BAE的正切值．
（3）当点E在边BC延长线上时，设线段BE＝x，y＝EN•MF，求y关于x的函数解析式．
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
…
y
…
﹣1
﹣4
﹣1
8
23
…
单价x（元）
5
6
7
…
销售量y（瓶）
150
140
130
…