第7章幂的运算(易错知识点拨+优选易错培优题强化练）（原卷+解析卷）-苏科版数学七下期末复习易错题专项精讲练

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(易错知识点拨+优选易错培优题强化练）
易错知识点梳理01：同底数幂的乘法
混淆乘法法则：am×an=am+n，学生可能会错误地将其记作am×an=am×n。
忽略底数相同：在进行同底数幂的乘法时，必须确保底数相同，否则不能直接应用该法则。
易错知识点梳理02：幂的乘方
混淆乘方法则：(am)n=am×n，学生可能会错误地将其记作(am)n=am+n。
计算错误：在进行幂的乘方运算时，容易在计算指数时出错，如(a3)4错误地计算为a12以外的结果。
易错知识点梳理03：积的乘方
混淆积的乘方法则：(ab)n=an×bn，学生可能会错误地将其记作(ab)n=an+bn。
忽略每个因子都要乘方：在应用积的乘方法则时，必须确保每个因子都进行乘方运算。
易错知识点梳理04：同底数幂的除法
混淆除法法则：am÷an=am−n（a≠0，m和n都是正整数，且m>n），学生可能会错误地将其记作am÷an=am÷n。
忽略底数相同：在进行同底数幂的除法时，必须确保底数相同，否则不能直接应用该法则。
忽略零指数幂的定义：当m=n时，am÷an=a0=1（a≠0），学生可能会忽略这一点。
易错知识点梳理05：零指数幂与负整数指数幂
混淆零指数幂的定义：a0= 1（a≠0），学生可能会错误地认为任何数的零次幂都等于0或该数本身。
混淆负整数指数幂的定义：a−n=1/an（a≠0，n是正整数）学生可能会错误地将其记作a−n=−an或a−n=1/a−n
易错知识点梳理06：运算顺序与括号的使用
混淆运算顺序：在进行幂的运算时，必须遵循先乘方、再乘除、最后加减的运算顺序，否则容易出错。
忽略括号的作用：括号在幂的运算中起着非常重要的作用，可以改变运算顺序。学生可能会忽略括号，导致运算结果错误。
易错知识点梳理07：符号的处理
混淆负数的幂的符号：当底数为负数时，幂的符号取决于指数的奇偶性。学生可能会在处理负数幂时忽略这一点，导致符号错误。
忽略分数和负数的幂：在处理分数和负数的幂时，学生可能会因为对幂的运算法则理解不透彻而出错。
易错知识点梳理08：实际应用问题
无法将实际问题转化为幂的运算：在实际应用问题中，学生可能会因为无法准确理解题意或无法将问题转化为幂的运算而出错。
计算结果与实际不符：即使学生能够正确地将问题转化为幂的运算，也可能因为计算错误或单位换算错误而导致结果与实际不符。
检测时间：100分钟 试卷满分：100分 难度系数：0.51
一、选择题（本题共10道小题，每小题2分，共20分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的。
1．（2分）（2024七下·宿迁期末）下列运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
2．（2分）（2024七下·昆山期末）下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
3．（2分）（2022八上·纳溪期末）已知一粒米的质量是0.000021千克，这个数字用科学记数法表示（ ）
A． 千克B． 千克
C． 千克D． 千克
【答案】C
【完整解答】科学记数法的表示方法：科学记数法的表示形式为 ，其中 ，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数.
0.000021＝ ，
故答案为：C.
【思路引导】根据绝对值小于1的正数可以用科学记数法的表示，一般形式为a×10-n的形式。其中1≤|a|＜10，-n=原数左边第一个不为0的数字前面的0的个数的相反数。求解即可。
4．（2分）（2024七下·宿城期末）2023年4月26日，“第四代北斗芯片”正式发布，这是一款采用全新工艺的22纳米芯片.已知22纳米米，数据0.000000022用科学记数法可表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【完整解答】解： 0.000000022 =2.2×10-8；
其他选项的计算结果均为错误；
故本题应选：B
【思路引导】 用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，由此即可得到答案．
5．（2分）（2021七上·安仁期末）比较255、344、433的大小（ ）
A．255＜344＜433B．433＜344＜255
C．255＜433＜344D．344＜433＜255
【答案】C
【完整解答】解：∵255=（25）11=3211，344=（34）11=8111，433=（43）11=6411，
又∵32＜64＜81，
∴255＜433＜344.
故答案为：C.
【思路引导】根据幂的乘方的知识，可得255=（25）11=3211，344=（34）11=8111，433=（43）11=6411，再比较底数的大小，即可得结论.
6．（2分）（2023七下·南京期末）已知，则m，n满足的关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【完整解答】解：∵9m=27n，
∴32m=33n，
∴2m=3n.
故答案为：D.
【思路引导】根据幂的乘方法则结合已知条件可得32m=33n，据此可得m、n的关系.
7．（2分）（2022七下·秦淮期末）已知，那么a，b，c之间的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【完整解答】解：==，
==-，
=1，
故
故答案为：D.
【思路引导】根据任何一个不为0的数的负指数幂，等于这个数的正指数幂的倒数，据此即可算出a、b，再根据任何一个不为0的数的0次幂都等于1即可算出c的值，然后进行比较即可.
8．（2分）（2024七上·城阳期末）若a，b是正整数，且满足，则a与b的关系正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【完整解答】解：∵，，
，
∴，
∴，
故答案为：A．
【思路引导】根据乘法和乘方的概念，以及同底数的乘法法则得，，再根据等式的恒等性即可得到答案.
9．（2分）（2024七下·揭阳期末）下列运算中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
10．（2分）（2024七下·诸暨期末）已知，，则的值为( )
A．B．C．D．
【答案】D
【完整解答】解：∵ab=3，3a3÷3b=9，
∴
∴a-b=2，
∴
∴
故答案为：D．
【思路引导】根据已知可得3a-b=32，得出a-b=2，根据完全平方公式变形求值即可．
二、填空题（本题共10道小题，每小题2分，共20分。不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置）
11．（2分）（2021七下·成都期末）已知：m+2n﹣2＝0，则3m•9n的值为 .
【答案】9
【完整解答】解：∵m+2n﹣2＝0，
∴m+2n＝2，
∴3m•9n=3m•（32）n=3m+2n=32=9，
故答案为：9.
【思路引导】将已知方程转化为m+2n＝2；利用幂的乘方逆运算和同底数幂相乘的法则，将代数式转化为3m•9n=3m+2n，然后整体代入求值.
12．（2分）（2024七下·南京期末）已知2a＝3，4b＝5， 则 的值是 .
【答案】15
【完整解答】解：∵2a＝3，4b＝5，
∴ = .
故答案为：15.
【思路引导】根据幂的乘方运算法则以及同底数幂的乘法法则计算即可.
13．（2分）（2024七下·上城期末）已知关于x，y的二元一次方程组，给出下列结论中正确的是 （请填序号）
①当这个方程组的解x，y的值互为相反数时，；
②无论m取何值，恒成立；
③当方程组的解x，y都为自然数时，则m有唯一值为0；
④无论m取什么实数，的值始终为8．
【答案】①②④
【完整解答】解：解方程组，得，
①∵x，y的值互为相反数
∴，即，
解得，故①正确；
②
，故②正确；
③∵方程组的解都为自然数，
∴或，
当时，符合题意；
当时，符合题意，
故方程组的解x，y都为自然数时，m的值为0或1，故③错误；
④由得，
∴
，
∴无论m取什么实数，的值始终为8，故④正确，
综上，结论正确的是①②④，
故答案为：①②④．
【思路引导】首先将m作为字母参数解二元一次方程组，用含m的式子表示出x、y；根据互为相反数的两个数的和为零得到m的方程，然后解方程即可求解①；将x、y所代表的式子代入等式的右边，化简即可判断②；根据自然数是正整数和零可判断③；利用幂的乘方和同底数的乘法运算法则机损后，整体代入计算可判断④．
14．（2分）（2025八上·广州期末）若，则的结果是 ．
【答案】
【完整解答】解：∵，
∴，
∴
故答案为：8.
【思路引导】根据幂的乘方及同底数的乘法计算法则对原式化简得：进而把代入计算即可.
15．（2分）（2025八上·天河期末）已知，，则的值为 ．
【答案】12
16．（2分）（2025七上·奉贤期末）若，则 ．
【答案】3
【完整解答】解：∵，
∴-n=-3，
∴n=3.
故答案为：3.
【思路引导】利用已知条件可得到3-n=3-3，即可求出n的值.
17．（2分）（2024八上·道县期末）已知3m=8，3n=2，则3m+n= ．
【答案】16
【完整解答】解：∵3m=8，3n=2，
∴3m+n=3m•3n=8×2=16．
故答案为：16．
【思路引导】逆运用同底数幂相乘，底数不变指数相加进行计算即可得解．
18．（2分）（2024七下·新化期末）我们知道，同底数幂的乘法则为：其中，，为正整数类似地我们规定关于任意正整数，的一种新运算：，若，那么 ．
【答案】
【完整解答】解：∵，
∴，
∴，
∴，
……，
依此类推可得，
∴，
故答案为：．
【思路引导】根据题意计算出g(2)、g(3)的值，从而得到规律，再根据g（2023）g（2024）=g（4047），进行求解即可．
19．（2分）（2024七下·义乌期末） 若实数 满足 ， 则
【答案】
【完整解答】解：∵2n-m-1=0，
∴m-2n=-1，
∴4m÷16n=4m÷42n=4m-2n=4-1=.
故答案为：.
【思路引导】由已知的等式变形得：m-2n=-1，逆用幂的乘方法则可得16n=42n，然后根据同底数幂的除法法则将所求代数式变形得：4m÷16n=4m÷42n=4m-2n，整体代换并结合负整数指数幂法则计算即可求解.
20．（2分）（2024七下·鄞州期末）对正整数 ，规定 ，记 对正整数 n ，规定 ，记，若正整数使得为完全平方数，请写出一个符合条件的 k 的值：
【答案】12（答案不唯一）
三、解答题（本大题共8小题，共60分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
21．（6分）（2024七下·毕节期末）计算下列各题：
（1）（3分）
（2）（3分）用简便方法计算：
【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【思路引导】（1）先计算乘方、负整数指数幂及零次幂的运算，逆用积的乘方，再计算加减；
（2）利用平方差公式进行简便运算．
（1）解：
；
（2）解：
．
22．（6分）（2024七下·抚州期末）我们知道，同底数幂的乘法法则为（其中，m、n为正整数），类似地我们规定关于任意正整数m、n的一种新运算：，若，则，请根据这种新运算解决以下问题：
（1）（3分）①若，则________；
②若，则________；
（2）（3分）若，求的值．
【答案】（1）解：①，②
（2）解：，
，
，
当时，；
当时，；
的值为27或．
【完整解答】（1）①∵，
∴；
②，
，
故答案为：，.
【思路引导】（1）①利用新运算的规定，将f(2)拆分成f(1+1)，在进行运算即可；②利用新运算的规定，将将f(2)拆分成f(1+1)，进行运算即可；
（2）利用新运算的规定，将所给条件f(4)=81拆分成f(1)4=81，可求出f(1)的值为±3，在把要求的值f(3)拆分成f(1)3，分别代入f(1)得值进行计算即可．
23．（8分）（2024七下·乐业期末）【综合与实践】数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识与直观的几何图形相结合，从而可以帮助我们快速解题．初中数学的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释．利用“数形结合”的思想方法，可以从代数角度解决图形问题，也可以用图形关系解决代数问题．
【问题情境】如图1，在学习整式乘法时，我们可以根据图形的面积关系直观地推导出两数和的完全平方公式：．
【类比探究】
（1）由图2的面积可得等式：______；
【综合应用】
（2）利用（1）得到的结论，若实数x、y、z满足，求的值；
【深入探究】
（3）如图3，现有边长分别为a、b的两种正方形纸片和边长为a、b的长方形纸片若干张，请完成：
①若用m张边长为a的正方形，n张边长为b的正方形，f张边长为a、b的长方形纸片，拼出一个面积为的长方形（无空隙、无重叠地拼接），则______；
②若有3张边长为a的正方形，5张边长为b的正方形，4张边长为a、b的长方形纸片，从中取出若干张，每种至少取一张．把取出的这些纸片拼成一个正方形（无空隙、无重叠地拼接），则拼成的正方形的边长最长可以是______．
【答案】（1）；（2）；（3）①16；②
24．（8分）（2024七下·九江）幂的运算逆向思维可以得到；；等，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可以化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解．
（1）（4分）若，求的值．
（2）（4分）比较大小：若，，，则，，的大小关系是什么?
【答案】（1）
（2）
25．（8分）（2024七下·上城期末）我们规定两数a、b之间的一种运算，记作：如果，那么；例如，记作，
（1）（2分）根据以上规定求出：______________；______________；
（2）（3分）小明发现也成立，并证明如下
设：

根据以上证明，请计算，______________]
（3）（3分）猜想，______________]，并说明理由．
【答案】（1）3，0
（2）42
（3）2
【完整解答】（1）解：∵，
∴；
∵，
∴，
故答案为：3，0；
（2）解：设，，
∴，，，
∵，则，
∴，
故答案为：42．
（3）猜想，理由：
设，，
∴，，，
∵，则，
∴，
故答案为：2．
【思路引导】（1）根据新定义运算法则计算解题；
（2）根据新定义的运算法则，利用同底数幂的乘法解答即可；
（3）根据新定义的运算法则，利用同底数幂的乘法解答即可．
26．（8分）（2024七下·宿迁期末）阅读材料：若，求m，n的值．
，
，
∴，，
∴，．
根据你的观察，探究下面的问题：
（1）（4分）已知：，求的值；
（2）（4分）已知：的三边长a，b，c都是正整数，且满足，求的周长的最大值；
【答案】（1）
（2）27
27．（8分）（2023七下·芗城期末）阅读理解：
已知，求m，n的值.
解：，
，
，
又，，
，，
，．
学以致用：
（1）（2分）若，求t的值；
（2）（3分）已知，求x，y的值；
（3）（3分）已知，且，求的值.
【答案】（1）
（2）；
（3）2
28．（8分）（2022七下·邗江期末）小明和小红在计算时，分别采用了不同的解法.
小明的解法：，
小红的解法：.
请你借鉴小明和小红的解题思路，解决下列问题：
（1）（4分）若，求的值；
（2）（4分）已知满足，求的值.
【答案】（1）解：
∵
∴
∴原式；
（2）解：∵
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∴.
【思路引导】（1）根据幂的乘方法则可得原式=32×34a+2÷33b，结合同底数幂的乘除法法则可得原式=34a+4-3b，由已知条件可得4a-3b=-1，然后代入计算即可；
（2）逆用乘法分配律可得22x+2×3=96，由同底数幂的乘方运算的性质得22x+2=32=25，即2x+2=5，求解即可.