2025-2026学年江苏省扬州市邗江区高二（上）期中数学试题（含答案）

这是一份2025-2026学年江苏省扬州市邗江区高二（上）期中数学试题（含答案），共8页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．过点（1，2）和点（3，0）的倾斜角为（ ）
A．45°B．60°C．135°D．150°
2．圆心在y轴上，且经过点（1，2），（﹣1，4）的圆的标准方程为（ ）
A．x2+（y+3）2＝2B．（x﹣3）2+y2＝20
C．x2+（y﹣3）2＝2D．（x+3）2+y2＝20
3．双曲线x2−y24=1的渐近线方程为（ ）
A．y＝±14xB．y＝±12xC．y＝±2xD．y＝±4x
4．中心为原点，焦点在x轴上，且长轴长与短轴长之比为2：1，焦距为43的椭圆方程为（ ）
A．x24+y216=1B．x216+y24=1
C．x24+y2=1D．x2+y24=1
5．已知直线l1：2x﹣3y+2＝0，l2：mx+4y﹣3＝0，若l1⊥l2，则m的值为（ ）
A．﹣6B．6C．83D．−83
6．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，点P在抛物线C上，PQ垂直l于点Q，QF与y轴交于点T，O为坐标原点，且|OT|＝1，则|PF|＝（ ）
A．1B．2C．3D．4
7．已知圆C1：x2+y2﹣2x+my+1＝0（m∈R）的面积被直线x+2y+1＝0平分，圆C2：（x+2）2+（y﹣3）2＝25，则圆C1与圆C2的位置关系是（ ）
A．外离B．相交C．内切D．外切
8．从某个角度观测篮球，可以得到一个对称的平面图形（如图），篮球的外轮廓形状为圆O，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，且AB＝BC＝CD，则该双曲线的离心率为（ ）
A．2B．62C．355D．477
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
（多选）9．已知A（0，2），B（1，0），直线AB上有一动点（x，y），下列说法正确的是（ ）
A．直线AB的斜率为﹣2
B．直线AB的截距式为x2+y1=1
C．（0，0）关于直线AB的对称点为(85， 45)
D．xy的最大值为12
（多选）10．已知圆O：x2+y2＝9，下列说法正确的是（ ）
A．若过点P(2，−3)的直线与圆O交于A，B两点，则|AB|的取值范围为[4，6]
B．圆O上有4个点到直线l：3x−y−2=0的距离为1.9
C．若圆O与圆C：（x﹣5）2+（y﹣12）2＝r2（r＞0）没有公切线，则r的取值范围为（0，16）
D．过直线l：x﹣y+6＝0上任意一点Q作圆O的切线，切点为C，D，则直线CD必过定点(−32，−32)
（多选）11．椭圆C：x22+y2=1的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，P为椭圆C上一点，则（ ）
A．|PF1|•|PF2|的最大值为2
B．椭圆C的离心率为12
C．椭圆C上存在点P，使得PF1→⋅PF2→=0
D．|OP|2+|PF2|2的最小值为2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．若圆x2+y2+4x﹣2y+F＝0的半径为2，则F＝ ．
13．抛物线y2＝2px（p＞0）过点P（4，4），则点P到抛物线准线的距离为 ．
14．已知椭圆C：x24+y23=1的左、右焦点分别为F1，F2，M为椭圆C上任意一点，N为圆E：（x﹣3）2+（y﹣2）2＝1上任意一点，则|MN|﹣|MF1|的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）已知直线l1：ax﹣2y﹣3＝0，l2：2x﹣4y+9＝0．
（1）若l1在x轴上的截距与l2在y轴上的截距相等，求a的值；
（2）若l1∥l2，求l1与l2之间的距离．
16．（15分）已知点P（1，m）是抛物线C：y2＝2px上的点，F为抛物线的焦点，且|PF|＝2，过焦点F的直线l与抛物线C相交于不同的两点A，B．
（1）求抛物线C的方程．
（2）若|AB|＝8，求直线l的斜率．
17．（15分）已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝9．
（1）直线l1过点A（﹣2，0），且与圆C相切，求直线l1的方程；
（2）设直线l2：3x+4y﹣2＝0与圆C相交于E，F两点，点P为圆C上的一动点，求△PEF的面积S的最大值．
18．（17分）已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的离心率为52，实轴长为4．
（1）求双曲线C的方程；
（2）若直线l：y＝kx﹣2（k＞0）与C的右支交于A，B两点，O为坐标原点．
（i）求k的取值范围；
（ii）若直线l与y轴交于点P，且|PA|•|PB|=403，求△OAB的面积．
19．（17分）如图，已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)过点P（3，1），焦距为42，斜率为−13的直线l与椭圆C相交于异于点P的M，N两点，且直线PM，PN均不与x轴垂直．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若|MN|=10，求MN的方程；
（3）记直线PM的斜率为k1，直线PN的斜率为k2，证明：k1k2为定值．
2025-2026学年江苏省扬州市邗江区高二（上）期中数学试题参考答案
一、选择题（共8小题）
二、多选题（共3小题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．1
13．5
14．22−5
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．解：（1）由已知，l2在y轴上的截距为94，
因为l1在x轴上的截距与l2在y轴上的截距相等，所以l1过点（94，0），
即9a4−3＝0，解得a=43；
（2）若l1∥l2，则﹣4a＝﹣2×2，解得a＝1，
所以l1：x﹣2y﹣3＝0，即l1：2x﹣4y﹣6＝0，
l1与l2之间的距离为|9+6|22+(−4)2=1525=352．
16．解：（1）因为P为抛物线上的一点，且|PF|＝2，
所以|PF|=1+p2=2，即p＝2，
所以抛物线方程为y2＝4x．
（2）由（1）知焦点为F（1，0），
当直线l斜率不存在，则|AB|＝4，不合题意，
因此直线斜率存在，设直线l方程为y＝k（x﹣1），
由y=k(x−1)y2=4x，得k2x2﹣（2k2+4）x+k2＝0，
设A（x1，x2），B（x2，y2），
则x1+x2=2k2+4k2，
|AB|=x1+x2+2=2k2+4k2+2=8，
解得k＝1或k＝﹣1，
所以直线l的斜率为±1．
17．解：（1）由圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝9，得C（1，1），圆C的半径为3，
当直线l1的斜率存在时，设直线l1的方程为y＝k（x+2），即kx﹣y+2k＝0，
由直线l1与圆C相切，得|k−1+2k|k2+1=3，解得k=−43，∴直线l1的方程为4x+3y+8＝0；
当直线l1的斜率不存在时，直线l1的方程为x＝﹣2，显然与圆C相切．
综上，直线l1的方程为x＝﹣2或4x+3y+8＝0；
（2）由题意得圆心C到直线l2的距离d=|3+4−2|32+42=1，
∴|EF|=2×32−12=42，
点P到直线l2的距离的最大值为r+d＝3+1＝4，
则△PEF的面积的最大值Smax=12×|EF|×(r+d)=12×42×4=82．
18．解：（1）由双曲线C的实轴长为4，得a＝2，
由双曲线C的离心率为52，得a2+b2a=52，得b＝1，
所以双曲线C的方程为x24−y2=1．
（2）（i）设A（x1，y1），B（x2，y2），
由y=kx−2x2−4y2=4，消去y得（1﹣4k2）x2+16kx﹣20＝0，
由A，B都在双曲线C的右支上，得1−4k2≠0Δ=256k2−80(4k2−1)＞0x1+x2=−16k1−4k2＞0x1x2=−201−4k2＞0，
解得12＜k＜52，
所以k的取值范围是（12，52)．
（ii）依题意，P（0，﹣2），
PA→⋅PB→=(x1，y1+2)⋅(x2，y2+2)=|PA→||PB→|=403，
则x1x2+(y1+2)(y2+2)=x1x+2+k2x1x2=(1+k2)x1x2=−20(1+k2)1−4k2=403，解得k＝±1，
而12＜k＜52，则k＝1，x1+x2=163x1x2=203，
所以△OAB的面积S△OAB=12|OP||x1−x2|=|x1−x2|=(x1+x2)2−4x1x2=43．
19．解：（1）由题意得9a2+1b2=12c=42a2=b2+c2，解得a=23b=2c=22，
故椭圆C的方程为x212+y24=1．
（2）设直线l的方程为y=−13x+m，M（x1，y1），N（x2，y2），
联立y=−13x+mx212+y24=1，消去y得4x2﹣6mx+9m2﹣36＝0，
由Δ＝（6m）2﹣144（m2﹣4）＞0，得−433＜m＜433，
则x1+x2=3m2，x1x2=9m2−364．
|MN|=1+19⋅(x1+x2)2−4x1x2
=103⋅9m24−(9m2−36)
=102⋅16−3m2=10，
解得m＝2或m＝﹣2，
当m＝﹣2时，直线l的方程为y=−13x−2；
当m＝2时，直线l：y=−13x+2经过点P（3，1），不符合题意，舍去．
所以当|MN|=10时，MN的方程为y=−13x−2．
（3）证明：直线PM，PN均不与x轴垂直，所以x1≠3，x2≠3，则m≠0且m≠2，
所以k1k2=y1−1x1−3⋅y2−1x2−3=(−13x1+m−1)(−13x2+m−1)(x1−3)(x2−3)
=19x1x2−13(m−1)(x1+x2)+(m−1)2x1x2−3(x1+x2)+9
=19⋅9m2−364−13(m−1)⋅3m2+(m−1)29m2−364−3⋅3m2+9=3m2−6m9m2−18m=13，
所以k1k2为定值．题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
C
C
B
B
B
B
D
题号
9
10
11
答案
ACD
AB
ACD