（复习课）2025-2026学年人教A版 高一数学寒假讲义03 函数的性质：单调性、奇偶性、最大（小）值+随堂检测（2份，原卷版+解析版）

这是一份（复习课）2025-2026学年人教A版 高一数学寒假讲义03 函数的性质：单调性、奇偶性、最大（小）值+随堂检测（2份，原卷版+解析版），文件包含复习课2025-2026学年人教A版高一数学寒假讲义03函数的性质单调性奇偶性最大小值+随堂检测原卷版docx、复习课2025-2026学年人教A版高一数学寒假讲义03函数的性质单调性奇偶性最大小值+随堂检测解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共24页， 欢迎下载使用。
1.单调性与最大（小）值
（1）增函数
设函数的定义域为I,区间DI.如果，，当时，都有,那么就称函数在区间D上单调递增.
特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数.
（2）减函数
设函数的定义域为I，区间DI.如果，，当时，都有,那么就称函数在区间D上单调递增.
特别地，当函数在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数.
（3）单调性、单调区间、单调函数
如果函数在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数在区间D上具有（严格的）单调性，区间D叫做的单调区间.
如果函数在某个区间上具有单调性，那么就称此函数在这个区间上是单调函数.
（4）证明函数在区间D上单调递增或单调递减，基本步骤如下：
= 1 \* GB3 ①设值：设，且 ；
= 2 \* GB3 ②作差： ；
= 3 \* GB3 ③变形：对变形，一般是通分，分解因式，配方等.这一步是核心 ，要注意变形到底；
= 4 \* GB3 ④判断符号，得出函数的单调性.
（5）函数的最大值与最小值
= 1 \* GB3 ①最大值：设函数的定义域为I，如果存在实数M满足:
（1）对于任意的，都有；
（2）存在，使得.
那么我们称M是函数的最大值.
= 2 \* GB3 ②最小值：设函数的定义域为I，如果存在实数m满足:
（1）对于任意的，都有；
（2）存在，使得.
那么我们称是函数的最小值.
2.奇偶性
（1）偶函数
设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做偶函数.
关于偶函数有下面的结论：
= 1 \* GB3 ①偶函数的定义域一定关于原点对称.也就是说定义域关于原点对称是函数为偶函数的一个必要条件；
= 2 \* GB3 ②偶函数的图象关于轴对称.反之也成立；
= 3 \* GB3 ③偶函数在关于原点对称的两个区间上的增减性相反.
（2）奇函数
设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做奇函数.
关于奇函数有下面的结论：
= 1 \* GB3 ①奇函数的定义域一定关于原点对称.也就是说定义域关于原点对称是函数为奇函数的一个必要条件；
= 2 \* GB3 ②奇函数的图象关于坐标原点对称.反之也成立；
= 3 \* GB3 ③如果奇函数当时有意义，那么.即当有意义时，奇函数的图象过坐标原点；
= 4 \* GB3 ④奇函数在关于原点对称的两个区间上的增减性相同.
【典型例题】
例1．函数，
(1)若在上是奇函数，求的值；
(2)当时，求在区间上的最大值和最小值；
(3)设，当时，函数既有最大值又有最小值，求的取值范围（用表示）
【解析】（1）因为在上是奇函数，所以恒成立，即恒成立.
所以恒成立，所以.
（2）当时，
函数在上单调递增，在上单调递减，
所以在上的值得范围为，其中时，，
函数在上单调递增，所以函数在上的值域为，其中当时，；
所以当时，，当时，.
（3）
因为，所以函数在上单调递增，在上单调递减，
函数在上单调递增，
当时，当时，令，可得
因为当，时，函数既有最大值又有最小值，所以.
例2．已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，．
(1)求当x＞0时，函数的解析式；
(2)解不等式．
【解析】（1）由为奇函数，得．当x＞0时，，
故，故当x＞0时，．
（2）由，得，
故或．如图所示，画出函数的图象．
由图易得的解集为（0，2），的解集为，
故不等式的解集为．
例3．已知“函数的图象关于原点成中心对称图形”的充要条件是“函数为奇函数”，可以推广为：“函数的图象关于点成中心对称图形”的充要条件是“函数为奇函数”．
(1)若函数满足对任意的实数m，n，恒有，求的值，并判断此函数的图象是否是中心对称图形．若是，请求出对称中心的坐标；若不是，请说明理由．
(2)若（1）中的函数还满足当时，，求不等式的解集．
【解析】（1）取，得，所以．
取，，得，于是，
所以函数是奇函数，所以函数的图象是中心对称图形，其对称中心的坐标为（0，1）．
（2）设，则，故，而，
所以在R上是增函数，由，得，解得或．
所以不等式的解集为．
例4．已知函数是定义在上的奇函数，且.
(1)求函数的解析式；
(2)判断函数在上的单调性，并用定义证明；
(3)解不等式：.
【解析】（1）因为函数是定义在上的奇函数，则，
即，可得，则，
所以，，则，因此，.
（2）证明：函数在上是增函数，证明如下：
任取、且，则
，
因为，则，，故，即.
因此，函数在上是增函数.
（3）因为函数是上的奇函数且为增函数，由得，由已知可得，解得.
因此，不等式的解集为.
例5．已知函数对任意的m，都有，且时，．
(1)求的值：
(2)证明在R上为增函数；
(3)设，若在上的最小值和最大值分别为a，b，且，证明：．
【解析】（1）令，则，所以；
（2）令，，且，则，所以，
故，所以在R上是增函数；
（3）因为在上为增函数，所以在上为增函数，
故，，所以，
因为，，所以，
又因为，所以上述等号不成立，故．
【过关测试】
一、单选题
1．已知函数在上单调递减，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题意，在上单调递减.则由可得，解得，即原不等式的解集为.故选：B.
2．已知函数 是定义域为 的偶函数， 且 ， 若 在 上是单调递减的， 那么 在 上是（ ）
A．单调递增B．单调递减C．先增后减D．先减后增
【答案】A
【解析】由函数是定义域为的偶函数，在上是单调递减的，可知在上单调递增，又，即2为函数的一个周期，故在上单调递增，故选：A
3．若函数是定义在上的奇函数，且满足，当时，，则当时，函数的解析式为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为函数是奇函数，所以，因为，所以，
当时，；因为当时，，所以
所以.故选：D.
4．已知图象开口向上的二次函数，对任意，都满足，若在区间上单调递减，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由，得函数图象的对称轴是直线，又二次函数图象开口向上，若在区间上单调递减，则，解得．故选：B.
5．定义在上的偶函数满足：对任意的，有，则、、的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】因为对任意的，有，所以当时，，
所以在上是减函数，又是偶函数，所以，，
因为，所以，即．故选：D．
6．已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】当a=0时，，不符合题意.
当a>0时，设，则函数，因为在区间上单调递减，要使函数在上单调递减，则，解得.
当a0，f（x1-x2）1，))解得2≤b＜eq \f(9,4)；
当n≤1时，函数f(x)在[m，n]上单调递减，
此时 SKIPIF 1 < 0 即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m2－2m＋b＝n，,n2－2n＋b＝m，))两式相减得：(m﹣n)(m＋n﹣1)＝0，
即m＝n(舍)或m＋n﹣1＝0，也即m＝1﹣n，由m＜n可得eq \f(1,2)＜n≤1，
将m＝1﹣n代入n2﹣2n＋b＝m可得方程n2﹣n＋b﹣1＝0在(eq \f(1,2),1]上有解，
即为函数b＝﹣n2＋n＋1在(eq \f(1,2),1]上的值域问题，
因为b＝﹣n2＋n＋1＝﹣(n﹣eq \f(1,2))2＋eq \f(5,4)在(eq \f(1,2),1]上单调递减，所以b∈[1,eq \f(5,4)).
综上所述，b的取值范围是[2,eq \f(9,4))∪[1,eq \f(5,4)).
函数f(x)的定义域D＝{x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D.有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)．
(1)求f(1)的值；
(2)判断f(x)的奇偶性并证明；
(3)如果f(4)＝1，f(3x＋1)＋f(2x﹣6)≤3，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x的取值范围．
【答案解析】解:(1)令x1＝x2＝1，有f(1×1)＝f(1)＋f(1)，解得f(1)＝0.
(2)f(x)为偶函数，证明如下：令x1＝x2＝－1，有f＝f(－1)＋f(－1)，解得f(－1)＝0.
令x1＝－1，x2＝x，有f(－x)＝f(－1)＋f(x)，∴f(－x)＝f(x)．∴f(x)为偶函数．
(3)f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2，f(16×4)＝f(16)＋f(4)＝3.
由f(3x＋1)＋f(2x－6)≤3，变形为f≤f(64)．(*)
∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．∴不等式(*)等价于f≤f(64)．
又∵f(x)在(0，＋∞)上是增函数，∴|(3x＋1)(2x－6)|≤64，且(3x＋1)(2x－6)≠0.
解得－≤x