吉林省长春市东北师大附中2025-2026学年高三上学期11月高考二模考试数学试卷

这是一份吉林省长春市东北师大附中2025-2026学年高三上学期11月高考二模考试数学试卷，共6页。试卷主要包含了， , 2e 等内容，欢迎下载使用。
一．选择题：本小题 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
R
设集合 A  {x∣0  x  2}，B ∣x x2  4 x  3  0 则 A ð B  （ ）
{x | 1  x  2}
C．{x | 0  x  2}
3  34 2
{x | 0  x  1}
D．{x |1  x  2}
5π
设a  () 4 ， b  ()
43
b  a  c
C． b  c  a
， c  lg2sin 12 ，则 a，b，c 的大小关系是（ ）
c  b  a
D． c  a  b
→→→→
设a, b 是非零向量，则“存在实数λ，使得a = λb ”是“ a  b  a  b ”的 （ ）
充分必要条件B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件
已知幂函数 f  x   a2  5 a  2  xa 的定义域为R ，则 f a   （ ）
2
A． 1
2

B．1C．4D．8
在平面直角坐标系 xOy 中，角以Ox 为始边，终边与单位圆交点的纵坐标是 2 ，把的
3
终边绕端点O 逆时针方向旋转 π 弧度，这时终边对应的角是，则cs2 （ ）
2
1
9
 1
9
 4 5
9
4 5
9
已知VABC 三个内角 A, B,C 所对的边分别为a, b, c ， A  π ，点 D 是线段 BC 上一点，且
3
AD 平分BAC ，若 AD  1 ，则 1  1  （ ）
bc
3
B．
C． 1
2
D． 3
3
下面图 1 是某晶体阴阳离子单层排列的平面示意图．其阴离子排列如图 2 所示，图 2
中圆的半径均为1，且相邻圆都相切，A, B, C , D 是其中四个圆的圆心，则 AB CD （ ）．
14B． 26C． 38D． 42
已知函数 f (x)  k 2 x2  2k (x  2) ex  e2x (k  0) ，当e  k 时，函数 f ( x) 极值点个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
二．选择题：本小题 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的四个选项中，有多
项符合题目要求的.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
3
5
2
下列不等式正确的是（ ）
6
B． sin2 x 
4
sin2 x
的最小值是4
若0  a  1，则 1 
a
1  4 1 a
0  lg2
x2  4x  2
函数 f  x  sin 2x  2sin x ，则（ ）
x  是 f  x  的一条对称轴B． 2是 f  x  的最小正周期
4
5
C． f  x   f  x   0
D． f  x  的最小值为
11．设函数 f  x   x  a2  x 2 a R ，则（ ）
当 a  0 时， f  x  在 x  0 处取极大值
当 a  0 时，方程 f  x  sin1  0 有3 个实根
当 a  2 时， a 是 f  x  的极大值点
存在实数 a ， f  x   f  x 1 恒成立
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
)
已知函数 f (x)  3sin(2x )(||  的图象向右平移个单位长度后，得到函数 g (x)
26
的图象，若 g (x) 是偶函数，则为.
a
| a |
| 2a
| a
已知向量a ， b 满足 →  b  → ， →  b | →  2b | ， | b | 1 ，则| a | ．
已知函数 f  x   e2 x  ax2 恰有两个极值点，则实数 a 的取值范围是．
四．解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
3.
15．（13 分）已知函数 f x   cs  2x  π  2 3cs 2x 
6 

求 f ( x) 在0, π  上的单调区间和值域；
2 
3
若 x   5π , 2π 且 f  x  求cs 2x 的值.
0123 030
16．（15 分）已知函数 f  x  ax  ln x 1， a R ．
当a  2 时，求函数 f  x 在点1, f 1 处的切线方程；
讨论 f  x 的单调性；
若 f  x 有极大值，且极大值小于 0，求 a 的取值范围．
n
17．（15 分）已知函数 f  x  x2  3x，f n 为数列a 的前n 项和. (1)求an 的通项公式；
(2)记数列1 的前n 项和为T ，证明： T  2 .
a f 2n 
nn7
 n
18．（17 分）在VABC 中，角 A, B,C 所对的边分别为a, b, c ，且满足c  2bcsA  b ．
求证： A  2B ；
若csB  3 ,a  4  2c ，求b ；
4
3b  c
求 b cs B 的最小值．
19．（17 分）一个完美均匀且灵活的项链的两端被悬挂，并只受重力的影响，这个项链形成的曲线形状被称为悬链线．1691 年，莱布尼茨、惠根斯和约翰·伯努利等得到“悬链线”
 x x 


方程c ec  e c ，其中 c 为参数．当c  1 时，就是双曲余弦函数ch  x 
y 
2
ex  e x
，类
2
 
ex  e x
似地双曲正弦函数sh x ，它们与正、余弦函数有许多类似的性质．
2
类比三角函数的三个性质：①倍角公式 sin 2x  2 sin x cs x ；②平方关
 sinx'  cs x
'
系 sin 2 x  cs2 x  1 ；③求导公式, 写出双曲正弦和双曲余弦函数的一
csx   sin x
个正确的性质并证明；
若 x 
[ π , 3π] ，试比较csh(sin x) 与sinh(cs x) 的大小关系，并证明你的结论；
4 2
若 x1 > 0 ， x2  0 ，证明：
ch  x2   sh x2   x2  1  ch x1  sh x1   sin x1  x2
 sin x1  x2 cs x．
数 学 试 题 答 案
由 f  x  0 ，解得 x  1 ，
a
一选择题：
f  x
 0,  1 
  1 ,  
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
B
D
C
C
B
B
B
B
AC
BC
ABD
所以在a  上单调递增，在 a 上单调递减，┄┄┄9 分

二、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
（3）由（2）当a  0 时 f  x  0 恒成立， f  x 在0,   上单调递增，无极值. ┄┄11 分
当a  0 时， f  x 在 x  1 处取得极大值，极大值为 f   1   ln  1   2 .┄┄┄13 分
a a  a 

12．
6
13. 1
3
14． , 2e ．
令ln   1   2  0 ，解得a  1 ，┄┄┄14 分

 a e2
三．解答题：
12

1所以a 的取值范围为 ,  1  .┄┄┄15 分
【详解】（1）由 f (x) 
cs 2x  sin 2x  3(2 cs x 1) cs 2x  sin 2x  3 cs 2x
e2 
3
1
3
3
2222
π

nn
【详解】（1）由题意知，a 的前n 项和S  n2  3n ，┄┄┄1 分
 sin 2x 
cs 2x  sin(2x 
)，┄┄┄2 分
当n  1 时， a  S
 1 3  4 ，┄┄┄2 分
22311
π 
ππ 2π
当n  2 时， a
 S  S
 n2  3n n 12  3n 1  2n  2 ，┄┄┄4 分
由 x  0,  ，则2x  3 [ ,] ，
nnn1
2 3 3
经检验， a  4 满足a  2n  2 ，┄┄┄6 分
1n
, )(,
故2x  π [ π π 时， f (x) 单调递增， 2x  π  π 2π]时 f (x) 单调递减，┄┄┄4 分
a  的通项公式为a
 2n  2 ；┄┄┄6 分

33 2
5π

32 3
5π π
n
f x 
（2）证：
n
4x  3， f 2n  4n  3
┄┄┄7 分
故 f (x) 的单调增区间为[0,) ，单调减区间为(, ]，┄┄┄4 分
111
1212 2

，┄┄┄8 分
值域为[ 3 ,1].┄┄┄6 分
an f 2n2n  24n  3
2 n 14n  3
3
2又1  1  1  1  1  1  1  ，┄┄┄11 分
（2）由
π
，┄┄┄7 分
2 n 14n  32 n 14n8 n n 18  nn 1 
f (x0 )  sin(2x0  3) 
ππ
3
π

 1  1  1  1 
6
且2x0  [, π]，则cs(2x  )  ，┄┄┄9 分
a f 2n8  nn 1 
32033
n
所以cs 2x  cs[(2x  π)  π]  cs(2x
 π) cs π sin(2x
 π) sin π
┄┄┄11 分
T  1 1 1  1  1  1  1 +? + 1  1   1 1 1  ┄┄┄13 分
0033
033
033
n8 
22334
nn 1 8 
n 1 
6
1 1
n 1

  6  1  3  3   3 
.┄┄┄13 分
 11 
1 1
32326
16． 【详解】（1）当a  2 时 f  x  2x  ln x 1 ，则 f 1  1， f  x  2  1 ，┄┄┄1 分
x
 8  1 n 1   8 ┄┄┄14 分


故T  1 1 1   1  2 .┄┄┄15 分
所以 f 1  3，┄┄┄2 分
所以函数 f  x 在点1, f 1 处的切线方程为 y 1  3 x 1 ，即3x  y  2  0 ；┄┄┄4 分
（2）函数 f x  ax  ln x 1的定义域为0,   ，
又 f  x  a  1  ax 1 ，┄┄┄5 分
xx
当a  0 时 f  x  0 恒成立，
f  x 在0,   上单调递增. ┄┄┄7 分
n8 n 1 87
【详解】（1）因为c  2bcsA  b ，
根据正弦定理得： sin C  2sin BcsA  sin B .
又因为sin C  sin A  B  sin Acs B  cs Asin B ，┄┄┄2 分
所以sin Acs B  csAsin B  sin B  sin A  B  sin B .
又 A, B 为三角形内角，所以 A  B  B  A  2B .┄┄┄4 分
（2）因为 A  2B ， csB  3 ，
1 cs2 B
4
 1
所以sin B 
 7 ， sin A  sin 2B  2sin B cs B  3 7 ，┄┄┄6 分
当a  0 时，由 f
 x  0 ，解得0  x  ，48
a
1
 3 2
cs A  cs 2B  2 cs2 B 1  2  
 4 
1  1 .
8
x [ π , 3π] ， csh(sin x)  sinh(cs x) .┄┄┄5 分
4 2
x  π 3π
esin x  esin x
ecs x  ecs x
所以sin C  sin A  B  sin Acs B  cs Asin B  3 7  3  1 
7  5 7 .┄┄┄8 分
证明:依题意，
[,]， csh(sin x)  sinh(cs x) 

848416
4 222
3 7
asin A86
 1 (esin x  ecs x  esin x  ecs x ) ，┄┄┄6 分
2
5 7
由正弦定理得
，
x  π 5π
csin C5
当[,] 时， sin x  cs x ，
4 4
16
又a  4  2c ，所以a  6 ， c  5 .
由余弦定理得b2  a2  c2  2ac cs B  36  25  2 6 5 3  16 .
4
所以b  4 .┄┄┄11 分
因为sin C  sin  A  B  sin 3B
 sin B cs 2B  cs B sin 2B  sin B 1 2sin2 B  cs B  2sin B cs B
于是esin x  ecs x  0 ，而esin x  ecs x  0 ，因此csh(sin x)  sinh(cs x)  0 ，当 x (5π , 3π]时， cs x  0 ，则 cs x  cs x ， ecs x  ecs x ，
42
即ecs x  ecs x  0 ，而esin x  esin x  0 ，因此csh(sin x)  sinh(cs x)  0 ，
于是x [ π , 3π] ， csh(sin x)  sinh(cs x)  0 ，所以csh(sin x)  sinh(cs x) .┄┄┄10 分
4 2
（3）因为ch x  sh x  ex ，
223
所以原式变为ex2  x
1ex1  sin  x  x   sin x  x
cs x ，┄┄┄11 分
 sin B 1 2sin B  2sin B 1sin
B  3sin B  4 sin
B .┄┄┄13 分
212121
由正弦定理
3b  c 
b cs B
3sin B  sin C 
sin B cs B
6sin B  4sin3 B
sin B cs B
 6  4sin2 B
cs B
即证ex1  x2 sin x  x   ex1 sin x  x ex1  cs x  ，
12121
设函数 f  x  ex sin x ，即证 f  x  x   f  x   x f  x  ， f  x  ex  cs x ，┄13 分
6  4 1 cs2 B
2  4 cs2 B  2 2 cs B  1 
t x  f x  ex  cs x
12121
t x  ex  sin x
cs B
cs B 
┄┄┄15 分
设，，
cs B
因为0  B  π ，所以cs B  0 ，
2
2
x  0 时t x  0 ， t  x  在0,   上单调递增，即 f  x  ex  cs x 在0,   上单调递增，设hx  f x  x1   f x1   xf x1  ，（ x  0 ），则hx  f x  x1   f x1  ，
所以2 2 cs B 
1  2 2
 4
，当且仅当2 cs B 
1即 B  π 时取等号.
由于 f  x  ex  cs x 在0,   上单调递增， x  x
x ，
2 cs B
cs B

11
cs B4

3b  c
cs B 
所以 f x  x1   f x1  ，即h x  0 ，故h  x 在0,   上单调递增，
所以 b cs B 的最小值为4 2 .┄┄┄17 分
【详解】（1）平方关系： ch2  x sh2  x  1；
又h 0  0 ，所以 x  0 时， h  x  0 ，
所以 f x  x1   f x1   xf x1   0 ，即 f  x  x1   f  x1   xf  x1  ，
f  x  x   f  x   x f  x 
倍角公式： sh2x  2sh xch  x；

sh  x  ch  x
因此12121
恒成立，所以原不等式成立，得证．┄┄┄17 分
导数： ．
ch  x  sh  x
理由如下：平方关系:
 e  e
x x 2
ch2  x  sh2  x  
 ex  ex 2
 
 e2 x  e2 x  2  e2 x  e2 x  2 

1；
2244
e2 x  e2 x
ex  e x ex  e x 
倍角公式： sh 2x  2sh  xch  x ；
22
导数： sh  x 
ex  ex 
2
 ex  e x
2
 chx ， ch  x
 ex  e x
2
 shx ；
以上三个结论，证对一个即可．┄┄┄4 分
2