广西玉林市八校联考2025-2026学年高一上学期11月期中考试数学试卷

这是一份广西玉林市八校联考2025-2026学年高一上学期11月期中考试数学试卷，共12页。试卷主要包含了已知函数𝑓 =，【答案】𝑓 = { 2等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
高一数学 试 卷
命题人：李欣蔚审题人：梁钊、潘秋秀
（考试时间：120 分钟试卷满分：150 分）
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、单项选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合? = {? ∈ ?|−3 < 2? − 1 < 9}，? = {−1,0,1,2}，则A ∩ B = ()
{−1,0,1,2}B．{0,1,2}C． {1,2}D．{−1,1,2}
已知命题?：∀? ≥ 0, ? + 1 ≥ 1则¬P为（）
?
A．∀? ≥ 0, ? + 1 < 1
?
C．∃? ≥ 0, ? + 1 < 1
?
∀? < 0, ? + 1 < 1
?
D．∃? < 0, ? + 1 < 1
?
已知幂函数?(?) = (?2 − 3? + 3)??的图像关于?轴对称，则实数?的值为（）
A．1 或 2B．1C．2D．0
在同一直角坐标系中，函数? = 2?2 + 4?? + ? − 1与? = ??(? > 0 且? ≠ 1)的图象可能是（）
．
BC．D．
已知命题?：∀? ∈ (0,4], ?2 − ?? + 1 > 0为真命题，则?的一个充分不必要条件是
（）
A. ? < 1B. ? > 2C. ? < 2D. ? < 17
4
6.已知?(?)为偶函数，?(?)为奇函数，且?(1) + ?(−1) = 2，?(−1) + ?(1) = 4，则
?(1) =（）
A.−3B. 1C. −1D. 3
遗忘曲线（又称“艾宾浩斯遗忘曲线”）是由德国心理学家艾宾浩斯（H．Ebbinghaus）研究发现，描述了人类大脑对新事物遗忘的规律．陈同学利用信息技术拟合了“艾宾浩斯遗忘曲线”，得到记忆率?与初次记忆经过的时间?（单位：时）的大致关系：
? = 1 − 0.6?0.06，若陈同学需要在明天9: 00考语文时拥有复习背诵记忆的 42%，则他明天复习背诵的时间需大约在（）
)
参考数据:(1
2
0.06
3
≈ 0.9593,()
2
0.06
≈ 1.025,2
0.06
≈ 1.0425.
8: 30B．8: 00C．7: 30D．7: 00
−?2 + 4?? + 1, ? < 1
函数 ?(?) = {
1−3? + 3, ? ≥ 1 满足对∀?1, ?2 ∈ ?且?1 ≠ ?2，都有
?
?(?1)−?(?2) > 0，则实数?的取值范围是（）
?1−?2
A．(1 ,
3
1]B．(1 ,
23
41
]C．(
73
, +∞)D．[1 , 4
]
2 7
二、多项选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出
的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部
分分，有选错的得 0 分。
已知? > ? > 0，下列不等式中正确的是（）
? < ?+1
??2 > ??2C.?? > ?2D.?2 > ??
??+1
下列结论中，正确的是（）
A.?(?) = √?2和?(?) = (√?)2表示同一个函数
B.已知?(√? + 1) = ? + 2√?，则?(?)的解析式为?(?) = ?2 − 1(? ≥ 1)
C.已知函数? = ?(?)的定义域是[−2,2]，则函数?(?) = ?(?−1)的定义域是[−1,3]
?
)
D.函数?(?) = (1
2
2?+3，? ∈ [−2,1]的值域是[ 1
32
, 2]
若正实数?, ?满足2? + ? = 1，则下列说法正确的是（）
13 + 1
??有最大值为
8
??有最小值为7 + 2√6
112?2+1
C．(? + )(? + )的最小值为 4D．
??
的最小值为4 + 2√6
??
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
关于?的不等式?2 + ?? − 2? ≤ 0的解集为[−2,5]，则?? =
13.已知函数?(?) = ??−4 − 1 (? > 0 且? ≠ 1)的图象恒过定点?，幂函数?(?)的
2
图象过点?，则?(9) =
14.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设∀? ∈ ?，用[?]表示不超过?的最大整数，则? = [?]称为高斯函数，例如：[−3.5] = −4，
，则?的取值范围是
[2.1] = 2．若∀? ∈ (0, +∞)，满足[?]2 − [?] ≤ ?2+1
?
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（13 分）已知集合? = {?|?2 + ? − 12 ≤ 0}，集合? = {?|? − 1 ≤ ? ≤ 3? + 1}
（1） 若?=0，求? ∪ ?，? ∩ (???).
（2）若? ∩ ? = ?，求实数?的取值范围.
16.（15 分）
1
1 0.5
0 √ 3 3
（1）化简求值:(0.008)3 + (2 )
4
+ (2 − π)
+ √3 ∙()
4
11?2+?−2−7
（2）已知?2 + ?−2 = 3，求
的值
?+?−1+3
17（15 分）玉林五彩田园种植了多种农作物，调研发现：某种农作物单株的产量t（单位：kg）与肥料成本 x （单位：元）满足如下关系：
1 (?2 + 40),0 ≤ ? ≤ 3
t(x) = {4
15 − 18 , 3 < ? ≤ 10
?
，单株成熟除肥料成本 x （单位：元）外，还需其
他成本2?（单位：元）.已知这种农作物的市场售价为 6 元／kg，且供不应求，记该农作物单株获得的利润为?(?)（单位：元）．
求?(?)的函数关系式；
当投入的单株肥料成本为多少元时，该农作物单株获得的利润最大？最大利润是多少元？
18.（17 分）已知函数?(?) =
1
?∙2?+? (? ≠ 0, ?为常数)，
2?+1
其图像过点(0,0)和(1, ).
3
（1） 求?和?的值，确定?(?)的解析式；
（2） 判断函数?(?)的奇偶性，并证明你的结论；
（3）若? ∈ [−2,3]，求函数?(?)的最大值和最小值.
19.（17 分）已知函数?(?) = ??+?是定义在[−1,1]上的奇函数，且?(1) = 1.
1+?2
求实数?和?的值；
判断函数?(?)在[−1,1]上的单调性，并用定义证明你的结论；
若?(?2 − 1) + ?(1 − 4?) < 0，求?的取值范围．
2025 年秋季期 11 月份玉林市八校联合调研测试
高一数学 参考答案与评分标准
【答案】B
【详解】因为? = {? ∈ ?|−3 < 2? − 1 < 9} = {? ∈ ?|−1 < ? < 5} = {0,1,2,3,4}
? = {−1,0,1,2}，所以A ∩ B = {0,1,2}，
故选：B
【答案】C
【详解】命题?：∀? ≥ 0, ? + 1 ≥ 1的否定是：
?
∃? ≥ 0, ? + 1
?
< 1．故选：C．
【答案】C
【详解】由于?(?)是幂函数，所以?2 − 3? + 3 = 1，解? = 1或? = 2.当? = 2时，
?(?) = ?2，图象关于?轴对称，符合题意.当? = 1时，?(?) = ?，图象关于原点对称，不符合题意.所以? = 2
故选：C．
【答案】C
【详解】当0 < ? < 1时，函数? = ??在?上单调递减，函数? = 2?2 + 4?? + ? − 1的对称轴为? = −? < 0，且函数? = 2?2 + 4?? + ? − 1与?轴交点的纵坐标为
? − 1 < 0，D 不符合，C 符合.当? > 1时，函数? = ??在?上单调递增，函数
? = 2?2 + 4?? + ? − 1的对称轴为? = −? < 0，B 不符合，且函数
? = 2?2 + 4?? + ? − 1与?轴交点的纵坐标为? − 1 > 0，A 不符合.故选：C.
【答案】A
【详解】因∀? ∈ (0,4], ?2 − ?? + 1 > 0为真命题，所以? < ? + 1在(0,4]上恒成立，
?
即
111
? < (? + )，因为? + ≥ 2，当且仅当? = ，即? = 1时等号成立，所以
? ?????
1
(? + )
?
???
= 2,所以? < 2。所以? < 2是 p 的充要条件，? < 17是?的一个必要不
4
充分条件，? > 2是?的既不充分也不必要条件．故选：A
【答案】D
【详解】因为?(?)为偶函数，?(?)为奇函数，则?(−1) = ?(1)，?(−1) = −?(1)所以?(1) − ?(1) = 2，?(1) + ?(1) = 4，两式相加得 2?(1) = 6，即?(1) =3，故选 D.
【答案】A
【分析】利用函数模型求出需要记忆的时间，即可推断出考前复习背诵的时间在几点开始.
【详解】令1 − 0.6?0.06 = 0.42，则?0.06 = 29 ≈ 0.97．
30
1
∵ ()
2
0.06
≈ 0.9593,(3)
2
0.06
≈ 1.025,2
0.06
≈ 1.0425.
∴?的估计值可取 0.5，即他复习背诵的时间需大约在8: 30．故选：A.
【答案】D
【详解】由函数?(?) = {
−?2 + 4?? + 1, ? < 1
1−3? + 3, ? ≥ 1，因为函数? = ?(?)任意
?
∀?1
, ?2
∈ ?且?1
≠ ?2
，都有?(?1)−?(?2) > 0，所以函数?(?)在定义域?上为单调递增
?1−?2
函数，则满足{
2? ≥ 1
1 − 3? < 0
? ≥ 1
2
得
，即 ? > 1，解1 ≤ ? ≤ 4
，所以实数?的
−1 + 4? + 1 ≤ 1 − 3? + 3
327
? ≤ 4
取值范围是[1
2
{7
]
, 4 .故选 D.
7
【答案】ACD
【详解】 A 选项：由? − ?+1 = ?(?+1)−?(?+1) =?−?
，因为? > ? > 0，所以
??+1
?(?+1)
?(?+1)
? − ? < 0，?(? + 1) > 0，所以? − ?+1 =?−?< 0，即? < ?+1，故 A 正确；
??+1
?(?+1)
??+1
B 选项：当? = 0时，?c2 = bc2，故 B 错误；
C 选项：∵ ?? − ?2 = ?(? − ?) > 0，∴ ?? > ?2，C 选项正确；
D 选项：∵ ?2 − ?? = ?(? − ?) > 0，∴ ?2 > ??，D 选项正确；故选 ACD
【答案】BD 【详解】对于 A 选项，?(?)的定义域为?，?(?)的定义域为{?|? ≥ 0}，所以 A 选项不符合题意.
对于 B 选项,令? = √? + 1(? ≥ 1)，由?(√? + 1) = ? + 2√? = (√? + 1)2 − 1，则
?(?) = ?2 − 1, ? ≥ 1，即?(?) = ?2 − 1, ? ≥ 1，所以 B 选项符合题意.
−2 ≤ ? − 1 ≤ 2
对于 C 选项，因为函数? = ?(?)的定义域是[−2,2]，则{
，解得
? ≠ 0
−1 ≤ ? ≤ 3且? ≠ 0，所以函数? = ?(?)的定义域为[−1,0) ∪ (0,3]，所以 C 选项不符合题意.
1 1 2?+3

对于 D 选项,因为−2 ≤ ? ≤ 1，所以−1 ≤ 2? + 3 ≤ 5，所以≤ ()≤ 2，故
函数值域为[ 1
32
, 2]
，所以 D 选项符合题意.故选 BD
322
√
【答案】ABD 【详解】对于 A：因为2? + ? = 1 ≥ 2 2??，则?? ≤ 1，当且仅当
8
2? = ?，即? =
1 , ? =
4
1时取等号，故 A 正确；
2
对于 B，3 + 1
??
= (3
?
+ 1)(2? + ?) = 7 +
?
3?
?
+ 2?
?
≥ 7 + 2√
3?
?
2?
?
= 7 + 2√6,
当且仅当3? = 2?，即? = 6−√6 ? = √6−1
??
,
105
时取等号，故 B 正确；
对于 C，∵ ? > 0, ? > 0,则(? + 1)(? + 1) ≥ 2√? ∙ 1 ∙ 2√? ∙ 1 = 4,
????
当且仅当? = ? = 1时取等号，∵ 2? + ? = 1，当? = ? = 1时等式不成立，则等号取
不到，则
(? +
1)(? +
?
1)的最小值不是 4，故 C 不正确；
?
2?2+1
对于 D：
??
= 2?2+(2?+?)2
??
= 6?2+4??+?2
??
= 6?
?
+ ?
?
+ 4 ≥ 4 + 2√6,当且仅当
6? = ?,即
√6,
时取等号，所以2?2+1，
??
? =
− 1 ? = 3 − √6
2
的最小值为
??
4 + 2√6
故 D 正确．故选 ABD.
【答案】-15
【详解】由题意，-2 和 5 为方程?2 + ?? − 2? = 0的根，则{ −2 + 5 = −? ，解得
−2 × 5 = −2?
? = −3, ? = 5，所以?? = −15.
1
【答案】
3
【详解】∵ ?(4) = ?0 − 1 = 1,∴ ?(4, 1)，设?(?) = ??，则4? = 1，故α = − 1，
22222
−1−11
∴ ?(?) = ? 2，∴ ?(9) = 9 2 = 3
【答案】−1 ≤ ? < 3
【分析】根据基本不等式求解最值，即可根据一元二次不等式求解−1 ≤ [?] ≤ 2，即可根据取整函数的定义求解.
【详解】∀? ∈ (0, +∞)，?2+1
?
= ? + 1
?
≥ 2，当且仅当? = 1时取等号，
由[?]2 − [?] ≤ ?2+1，可得[?]2 − [?] ≤ 2，则−1 ≤ [?] ≤ 2，故−1 ≤ ? < 3.
?
15【详解】
（1）? = {?|?2 + ? − 12 ≤ 0} = {?|(? − 3)(? + 4) ≤ 0} = {?| − 4 ≤ ? ≤ 3}1 分
当?=0时，? = {?| − 1 ≤ ? ≤ 1}2 分
∴ ??? = {?|? < −1 或 ? > 1}3 分
∴ ? ∪ ? = {?| − 4 ≤ ? ≤ 3}，4 分
∴ ? ∩ (???) = {?| − 4 ≤ ? < −1 或 1 < ? ≤ 3}5 分
（2）∵ ? ∩ ? = ?，∴ ? ⊆ ?6 分
①当 B = ∅时，? − 1 > 3? + 1，解得? < −1;8 分
②当B ≠ ∅时，{
? − 1 ≤ 3? + 1
? − 1 ≥ −4
3? + 1 ≤ 3
，解得−1 ≤ ? ≤
2
2
;12 分
3
综上所述，?的取值范围为（ − ∞，
3
]13 分
16.【详解】
1
1 0.5
0 √ 3 3
（1）(0.008)3 + (2 )
4
+ (2 − π)
+ √3 ∙()
4
3 13 2 1
13 3
= [(0.2)
]3 + [()
2
]2 + 1 + 32 ∙ (
)24 分
4
321 3
= 0.2 +
27
+ 1 + 3
2
1 2 3
()2
4
=+ 9 ∙ [() ]2
102
27
=+ 9 ∙ ( 10
279
1
3
) 2
153
=
+ =
108
1
.8 分
40
−1
（2）∵ ?2 + ?
2 = 3
11
∴ (?2 + ?−2)2 = ? + ?−1 + 2 = 910 分
∴ ? + ?−1 = 711 分
∵ (? + ?−1)2 = ?2 + ?−2 + 2 = 4913 分
∴ ? + ?−2 = 4714 分
∴ ?2+?−2−7 = 47−7 = 40 = 415 分
?+?−1+3
7+310
3 ?2 − 3? + 60,0 ≤ ? ≤ 3
17.【答案】(1)?(?) = { 2
90 − 3? − 108 , 3 < ? ≤ 10
?
(2)当投入的单株肥料成本为3 元时，该农作物单株获得的利润最大，最大利润是64.5
元.
【详解】（1）由题意可得，?(?) = 6?(?) − ? − 2? = 6?(?) − 3?1 分
,
当0 ≤ ? ≤ 3时，t(x) = 1 (?2 + 40)
4
则?(?) = 6 × 1 (?2 + 40)
4
− 3? = ?2
3
2
− 3? + 60
.3 分
,
当3 < ? ≤ 10时，?(?) = 15 − 18
?
则?(?) = 6 × (15 − 18) − 3? = 90 − 3? − 1085 分
?
综上，?(?)的函数关系式为：
3 ?2 − 3? + 60,0 ≤ ? ≤ 3
?(?) = { 2
90 − 3? − 108 , 3 < ? ≤ 10
?
?
.7 分
（2）当0 ≤ ? ≤ 3时，?(?) =
对称轴为? = 1,
3 ?2
2
− 3? + 60是二次函数，图象为开口向上的抛物线，
所以当? = 3时，?(?)3
.9 分
??? = ?(3) = 2 × 9 − 9 + 60 = 64.5
当3 < ? ≤ 10时，
?(?) = 90 − 3? − 108 = 90 − (3? + 108) ≤ 90 − 2√3? ⋅ 108 = 5411 分
???
108
当且仅当3? =
∵ 64.5 > 54
，即? = 6时等号成立，此时?(?)??? =54；12 分
?
∴当? = 3时，利润最大，最大利润为 64.5 元14 分
综上，当投入的单株肥料成本为 3 元时，该农作物单株获得的利润最大，最大利润是 64.5 元15 分
18.【详解】
)
（1）∵ ?(?)图像过点(0,0)和(1, 1
3
∴ p+q
2
2p+q
= 0
，=
3
1
分
3
∴ p = 1, q = −14 分
∴ ?(?) = 2?−1
2?
.5 分
+1
（2）?(?)是奇函数6 分
证明：∵ ?(?)定义域是?，关于原点对称7 分
?(−?) = 2−?−1 = 1−2? = − 2?−1 = −?(?)9 分
2−?+1
1+2?
2?+1
∴ ?(?)是奇函数。10 分
2?−12
（3）∵ ?(?) = 2?+1 = 1 − 2?+1
易知?(?)在?上单调递增，∴在[−2,3]上也单调递增12 分
∴ ?(?)
= ?(3) = 23−1 = 714 分
???
23+19
?(?)
= ?(−2) = 2−2−1 = − 3
???
2−2+1
7
.16 分
5
3
∴ ?(?)在[−2,3]上最大值为
，最小值为−
9
.17 分
5
19.【详解】（1）根据题意，函数?(?) = ??+?是定义在[−1,1]上的奇函数，
1+?2
??
∴ ?(0) = 0 ∴ ? = 0，则?(?) = 1+?2，2 分
又∵ ?(1) = 1，则
? = 1，解得? = 2，3 分
2
经检验? = 2, ? = 0时，?(?)是奇函数，所以? = 2, ? = 0．
2?
（2）?(?) = 1+?2在[−1,1]上单调递增4 分
证明：任取?1, ?2 ∈ [−1,1], ?1 < ?25 分
则?(? ) − ?(? ) = 2?1 − 2?2 = 2(?1−?2)(1−?1?2)7 分
121+?2
1+?2
(1+?2)(1+?2)
1212
∵ −1 ≤ ?1 < ?2 ≤ 1
∴ 1 + ?2 > 0，1 + ?2 > 0，1−?1?2 > 0，?1 − ?2 < 09 分
12
∴ ?(?1) − ?(?2) < 0，即?(?1) < ?(?2)10 分
∴ ?(?)在[−1,1]上单调递增11 分
（3）函数?(?)是定义在[−1,1]上的奇函数，且?(?2 − 1) + ?(1 − 4?) < 0，则?(?2 − 1) < −?(1 − 4?) = ?(4? − 1)，13 分
∵ ?(?)在[−1,1]上单调递增，
−1 ≤ ?2 − 1 ≤ 1
−√2 ≤ ? ≤ √2
∴ {−1 ≤ 4? − 1 ≤ 1，∴ {
?2 − 1 < 4? − 1
1
0 ≤ ? ≤ 1
2
0 < ? < 4
.16 分
1
解得0 < t ≤
，所以?的取值范围是0 < t ≤
2
．17 分
2