吉林油田高级中学2025-2026学年高一上学期11月考试数学试卷

这是一份吉林油田高级中学2025-2026学年高一上学期11月考试数学试卷，共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．若 A  x  N∣1  x  10，则（ ）
A． 2  A
B． 0  A
C． 8  A
D． 9.5  A
命题“ x  2, x2  4 ”的否定为（ ）
A．“ x  2, x2  4 ”
B．“ x  2, x2  4 ”
C．“ x  2, x2  4 ”
D．“ x  2, x2  4 ”
已知 p :- 1< x < 3 ， q : 0  x  2 ，则 p 是q 的（ ） A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
若集合 A  x ax2  2x 1  0，且集合 A 有且只有两个子集，则 a 的值为（ ）
A．0B．1C．0 或 1D．不能确定
已知0  x  5 ， 1  y  2 ，则 x  3y 的取值范围是（ ）
6  x  3y  8
6  x  3y  4
6  x  3y  8
4  x  3y  6
用一段长为 30m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长 18m，菜园的最大面积是（ ）
112m2
112.5m2
113m2
113.5m2
“高铁、扫码支付、共享单车和网购”称为中国的“新四大发明”．某中学为了解本校学生对“新四大发明”的使用情况，随机调查了 100 位学生，其中使用过共享单车或扫码支付的学生共有 80 位，使用过扫码支付的学生共有 65 位，使用过共享单车且使用过扫码支付的学生共有 30 位，则使用过共享单车的学生人数为
（ ）
A．65B．55C．45D．35
二、多选题
设a,b,c, d 为实数，且a  b  0  c  d ，则下列不等式正确的有（ ）
A． c2  cd
C． ac  bd
B． a  c  b  d
D． c  d
ab
已知集合 M  1,0,1， N  x 1  x  2，则下列结论正确的是（ ）
A． M  N
C． M  N  1, 0,1, 2
B． N  M
D． M ðR N   
对于给定的实数a ，关于实数 x 的一元二次不等式 x  a x  5  0 的解集可能为（ ）
{x∣x  5 或 x  a}
{x∣x  a 或 x  5}
{x∣a  x  5}

已知非空数集 S 满足：对任意给定的 x, y  S （x、y 可以相同），有 x  y  S 且 x  y  S ．则下列选项正
确的是（ ）
A． 0  S
B．若2  S ，且5  S ，则Z  S
C．S 不可能是有限集D．若 S 中最小的正数为 5，则S  {x∣x  5k, k  Z}
三、填空题
已知集合M = {1, m + 2, m2 + 4} ，且5  M ，则m 的值为.
下列各组函数不表示同一个函数的是（填写序号）.
x2
① f  x ， g  x  
x 2 ② f  x  1 ， g  x  x0
③ f  x  x 1
x2 1
 
， g x ④
x 1
f  x   x, x  0 ，
x, x  0

g t   t
若不等式a 1 x2  2 a 1 x  4  0 对一切 x  R 恒成立，则实数a 的取值范围为.
四、解答题
已知函数 f  x 
求函数的定义域；
x  5 
1
x 1 .
 5 
求 f 2 ， f  2  的值；
 
当a  3 时，求 f 2a ， f a  3 的值.
11 
已知不等式ax2  bx 1  0 的解集为x
  x   ，
23
求 a，b 的值；
求不等式ax2  4x  2b  0 的解集；
求不等式 ax  3  0 的解集.
x  b
已知全集U  x | 6  x  5 ， M  {x | 3  x  2}， N  x | 0  x  2 .
(1)求M ∩ ðU N  ；
(2)若C  {x | a  x  2a 1} 且C  (ðU M ) ，求 a 的取值范围.
完成下列证明：
已知a  b  0 ， c  d  0 ， e  0 ，求证： ee；
a  cb  d
求证： V ABC 是等边三角形的充要条件是a2  b2  c2  ab  ac  bc .这里 a，b，c 是V ABC 的三条边.
关于实数大小关系的基本事实是解决等式或不等式问题的逻辑基础.两个正数的大小关系是完全确定的，但通过运算就会产生非常奇妙的变化，基本不等式就是其中之一.通过运算（代数变形）可以解决很多关于
基本不等式的问题.例如此题：已知a, b 为正实数，且a  b  1 ，则 b + 1 的最小值为.
ab
b  a a b
其解法如下： b  1  b  a  b  b  a 1  21  3 ，当且仅当 b  a ，即a  b  1 时，等号成立，因

ababab
此 b + 1 的最小值为 3.
ab
根据上述材料解决以下问题.
已知 a，b，c 为正实数，且a  b  c  1，求证： 1
ab2
 1  4 ；
已知a  0 ， b  0 ，且a  b  1 ，则 1 
4a
y
4a 2a  b
a  bc
的最小值是多少?
x2 12 y2
某同学在解决题目“已知 x 为正实数，
给出如下解法：
为非负实数，且 x  2 y  2 ，则

xy 1
的最小值是多少?”时，
令t  y 1t  1 ，则 x  2 y  2 化为 x  2t  4 .
x2 1
2 t 12
11
1212
原式
xt
 x  x  2  t  t  2    x  2t  4  x  t  x  t 

1  1  2  x  2t   1  5  2x  2t   9 当且仅当 2t  2x ，即 x  t  4 ，即 x  4 ， y  1 时，等号成立.
4  xt 
4 tx 4xt
333

利用上述解题思路和数学逻辑思维，解决如下问题：已知 x  2 ， y  0 ，且 x  2 y  3 ，则
x2  3x  5  2 y2  2 y 1
x  2
y的最小值是多少?
1．C
根据集合与元素的关系讨论求解即可.
【详解】解：因为 A  x  N∣1  x  10  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8, 9,10，所以， 2  A ， 0  A ， 8  A ， 9.5  A ，即 ABD 不正确，C 正确.故选：C
2．D
根据给定条件，利用含有一个量词的否定求解作答.
【详解】命题“ x  2, x2  4 ”是全称量词命题，其否定是存在量词命题，
所以命题“ x  2, x2  4 ”的否定是： x  2, x2  4 .
故选：D 3．B
根据充分条件，必要条件的定义判断.
【详解】1  x  3 时，不一定满足0  x  2 ，充分性不成立；
而{x | 0  x  2}  {x | 1  x  3} ，即0  x  2 时一定满足1  x  3 ，必要性成立.
则 p 是q 的必要不充分条件.
故选：B 4．C
由集合 A 有且只有两个子集，所以有集合 A 只有一个元素，从而对ax2  2x  1  0 的首项系数进行讨论求出参数的值.
【详解】由集合 A 有且只有两个子集，所以有集合 A 只有一个元素，
当a  0 时， ax2  2x  1  0 为2x 1  0  x  1 满足题意.
2
当a  0 时， ax2  2x  1  0 只有一个根，则：
  (2)2  4  a 1  4  4a  0 ，所以a  1 ，
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
D
B
C
A
B
C
AD
AD
CD
题号
11
答案
ABD
综上所述： a  1 或a  0 .
故选：C.
5．A
利用不等式的性质求代数式的范围.
【详解】由题设0  x  5 ， 6  3 y  3 ，则6  x  3y  8 .
故选：A 6．B
设矩形的宽为 x m,长为 y m，则2x  y  30, 0  y  18 ，利用基本不等式即可求出面积的最大值.
【详解】设矩形的宽为 x m，长为 ym ，则2x  y  30, 0  y  18 ，则菜园面积s  xy ，
m x  0, y  0 2x  y  2 2xy ，解得 xy  112.5 当且仅当2x  y  15 时取等号.
故菜园的最大面积是112.5m2 .
故选：B 7．C
【解析】用集合 A 表示使用过共享单车的人，集合 B 表示使用过扫码支付的人，根据集合运算确定结果．
【详解】参数调查的所有人组成全集U ，使用过共享单车的人组成集合 A ，使用过扫码支付的人组成集合
B ， Card ( A) 表示集合 A 中的元素，
由题意Card ( A ∪ B)  80 ， Card (B)  65 ， Card ( A ∩ B)  30 ，
∴ Card ( A ∩ ðU B)  80  65  15 ，∴ Card ( A)  15  30  45 ．故选：C．
8．AD
由不等式的性质逐个判断即可.
【详解】d  c  0 ，所以c2  cd ，A 正确，
取a  5, b  1, c  1, d  2 ，满足a  b  0  c  d ，显然a  c  b  d 不成立，B 错误；取a  2, b  1, c  1, d  2 ，满足a  b  0  c  d ，显然ac  bd 不成立，C 错误；
d  c  0 ，得d  c  0 ，又a  b  0 ，得 1  1  0 ，
ba
所以d  c ，所以 c  d ，D 正确，
baab
故选：AD 9．AD
根据集合之间的基本关系与集合的基本运算逐项判断.
【详解】因为1 N , 0  N ,1 N ，所以M  N ，故 A 正确；因为2  M , 2  N ，所以 N  M 不成立，故 B 错误；
因为M  N ，所以M  N  x 1  x  2，故 C 错误；
因为ðR N  x x  1或 x  2 ，所以M ðR N    ，故 D 正确；故选：AD.
CD
分类讨论a 的范围即可求解.
【详解】当a  5 时，关于实数 x 的一元二次不等式 x  a x  5  0 的解集为；当a  5 时，关于实数 x 的一元二次不等式 x  a x  5  0 的解集为x | a  x  5 ;当a  5 时，关于实数 x 的一元二次不等式 x  a x  5  0 的解集为x | 5  x  a ;故选：CD
ABD
利用定义直接判断 A；利用定义推理判断 B；举例说明判断 C；利用定义结合反证法推理判断 D.
【详解】对于 A，令a 是非空数集 S 的元素，则0  a  a  S ，A 正确；
对于 B，由2  S ，得2  0  2  S ，可推得2n  S , n  Z ，即{2n | n  Z}  S ，
又5  S ，则1  6  5  S ，从而2n 1 S ，则{2n 1| n  Z}  S ，因此Z  S ，B 正确；对于 C， S  {0} 符合要求，此集合为有限集，C 错误；
对于 D，由 S 中最小的正数为 5， 5  0  5  S ，可推得5k  S , k  Z ，假设S 里有形如5k  r, k  Z, r {1,2,3,4}，那么(5k  r)  5k  r  S ， 与 5 是集合中的最小正整数矛盾，因此S  {x∣x  5k, k  Z} ，D 正确.故选：ABD
3 或1
利用元素与集合的关系确定m 的值，结合元素的互异性验证.
【详解】由题意可得m + 2 = 5 或m2 + 4 = 5 ，解得m  3 或m  1或m  1，当m  3 时， M  1, 5,13 ，符合题意.
当m  1时， M  1, 3, 5，符合题意，
当m  1时， M  1,1, 5 ，不满足集合中元素的互异性，不符合.
综上得m  3 或1.故答案为： 3 或1. 13．①②③
根据函数的要素，定义域和对应关系进行逐一判断.
x2
【详解】① f  x 的定义域为R ， g  x   x 2 的定义域是[0, ) ，两者定义域不一样，不是同一函
数；
② f  x  1 的定义域为R ， g  x  x0 的定义域是{x | x  0}，两者定义域不一样，不是同一函数；
③ f  x  x 1 的定义域为R ， g  x  x2 1 的定义域是{x | x  1}，两者定义域不一样，不是同一函数；
x 1
④ f  x   x, x  0 ， g t   t ，两者定义域都是R ，且 g t   t   t, t  0 ，两者对应关系也一样，是同一


x, x  0t, t  0
函数.
故不表示同一个函数的是①②③.故答案为：①②③
14． 3,1
分a  1 和a  1两种情况，列出相应的不等关系，即可求得答案.
【详解】当a  1 时，原不等式为4  0 恒成立，则a  1 符合题意；
a 1  0

当a  1时，需使
Δ  4 a 1
2 16 a 1  0
，解得3  a  1 ，
所以实数a 的取值范围为3,1.
故答案为： 3,1
15．(1) 5, 1 1, 
(2) f 2  3 1， f  2   5  3 15
5
75
 
 
(3)
2a  5 
1
2a 1 ，
a  2 
1
a  2
利用函数有意义列出不等式，求解即得函数的定义域.
（2）（3）代入自变量值，计算得函数值.
【详解】（1）使根式
x∣x  1 .
x  5 有意义的实数 x 的集合是x∣x  5 ，使分式 1
x  1
有意义的实数 x 的集合是
所以，这个函数的定义域是5, 1 1,  ，
f 2  2  5 
1
2 1
3 1；
f 
 2 
 5 
2  5  1
52
 5  5  3 15
27
5
775.
  1
5
因为a  3 ，所以 f 2a ， f a  3 有意义.
f 2a 
2a  5 
1
2a 1 ；
f a  3 
a  3  5 
1
a  3 1
a  2 
1
a  2 .
16．(1) a  6 ， b  1 ；

x

 1  x 
3

1 ；

2 
x x  1 或 x  1 

法 1：  1 和 1 是方程ax2  bx 1  0 的两根，由韦达定理进行求解；
23
法 2：  1 和 1 是方程ax2  bx 1  0 的两根，代入方程，进行求解；
23
在（1）基础上得到不等式为3x2  2x 1  0 ，求出不等式解集；
在（1）基础上得到不等式为6x  3  0 ，转化为一元二次不等式，求出答案.
x 1
【详解】（1）法 1：依题意，  1 和 1 是方程ax2  bx 1  0 的两根，
23
由韦达定理，  1  1   b ,  1  1  1 ，解得a  6 ， b  1 ；
23a2 3a
法 2：依题意，  1 和 1 是方程ax2  bx 1  0 的两根，
23
 1 2 1 
a   2   b   2  1  0

直接代入方程得，
，解得a  6 ， b  1 ；
2
 a  1 
 b  1  1  0
33

  
  
（2）由（1）知a  6 ， b  1 ，
∴不等式ax2  4x  2b  0 为6x2  4x  2  0 ，即3x2  2x 1  0 ，
解得：  1  x  1 ， 3
1
 不等式ax2  4x  2b  0 的解集为x   x  1 .
3
（3）由（1）知a  6 ， b  1 ，
∴不等式 ax  3  0 为6x  3  0 ，即6x  3 x 1  0 ，

x  b
解得 x  1或 x  1 ，
2
x 1
x 1  0
 不等式 ax  3  0 的解集为x x  1 或 x  1  .
2

x  b
17．(1){x | 3  x  0 或 x  2}
(2) (,1) ∪ 2, 3
根据补集、交集的知识来求得正确答案.
先求得ðU M ，然后根据C 是否为空集进行分类讨论，列不等式来求得a 的取值范围.
【详解】（1）因为U  x | 6  x  5 ， N  x | 0  x  2 ，所以ðU N  {x | 6  x  0 或2  x  5}，
因为M  {x | 3  x  2}，
所以M ∩ ðU N   {x∣3  x  0 或 x  2}；
（2）因为U  x | 6  x  5 ， M  {x | 3  x  2}，所以ðU M  {x∣6  x  3 或2  x  5}，
当C   时， C  ðU M  成立，此时a  2a  1 ，解得a  1 ，
当C   时，因为C  ðU M  ，
 a  2a 1a  2a 1
所以2a 1  3 或2a 1  5


 a  6


 a  2
解得2  a  3 ，
综上，a 的取值范围为(,1) ∪ 2, 3 . 18．(1)证明见解析
(2)证明见解析
利用不等式性质证明；
根据充分性与必要性定义证明即可.
【详解】（1） Q c  d  0 ，c  d  0 ，又m a  b  0 ， a  c  b  d  0 ，
0 11，又m e  0 ， ee.
a  cb  d
先证明充分性：
a  cb  d
由2 a2  b2  c2   2 ab  ac  bc ，
即a2  2ab  b2   a2  2ac  c2   b2  2bc  c2   0 ，所以a  b2  a  c2  b  c2  0 ，
所以a  b  c ，三角形为等边三角形.
然后证明必要性.
当三角形 ABC 是等边三角形时， a  b  c ，所以a2  b2  c2  ab  ac  bc .
综上所述， V ABC 是等边三角形的充要条件是a2  b2  c2  ab  ac  bc . 19．(1)证明见解析
(2) 7
2 6
5
4
(3) 7 
【详解】（1）已知 a，b，c 为正实数， a  b  c  1，则
1 1  a  b  c  a  b  c  2 c

 a  b  2  2
 4 ，
a  bc
c  a  b
a  bca  bca  bc
ca  b1
当且仅当，即c  a  b  时，等号成立，得证.
a  bc2
（2）已知a  0 ， b  0 ，则 1  4a  1  4a  a 1 a  4a
 a 1  4a
4a
 1  2  1  7 ，
2a  b
4aa  a  b
4aa 1
4aa 1444
当且仅当 a 1  4a ，即a  1 ， b  2 时，等号成立，
4aa 133
则 1 
4a
4a 2a  b
的最小值是 7 .
4
已知 x  2 ， y  0 ，令t  x  2 t  0 ，则 x  2 y  3 化为t  2 y  5 .
t  22  3t  2  52 y2  2 y 1

3


1


ty

t


y

原式
  t  1   2 y  2 
 t  2 y 1  3  1  6  1  3  1 t  2 y   6  1  5  6 y  t   7  2 6 ，
ty5  ty 5 ty 5
