2025_2026学年广东省广州上册九年级数学期中考试题-含解析

这是一份2025_2026学年广东省广州上册九年级数学期中考试题-含解析，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列方程是一元二次方程的是（ ）
A.4x−y+9=0B.b−7=0C.3x2−y+8=0D.4y2−3y+1=0

2.下列图形是中心对称图形的是（ ）
A.等边三角形B.直角三角形C.平行四边形D.正五边形

3.将抛物线y=x2向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，所得的抛物线为（ ）
A.y=(x+3)2+5B.y=(x−3)2+5C.y=(x+5)2+3D.y=(x−5)2+3

4.x(x−2)=x−2的根为（ ）
A.x=1B.x1=2，x2=0C.x1=1，x2=2D.x=2

5.对于二次函数y=−x−12的图象的特征，下列描述正确的是（ ）
A.开口向上B.经过原点C.对称轴是y轴D.顶点在x轴上

6.设方程x2−3x+2=0的两根分别是x1,x2，则x1+x2的值为（ ）
A.3B.−32C.32D.−2

7.已知点A1,y1,B2,y2,C−2,y3在抛物线y=−(x+1)2+n上，则下列结论正确的是（ ）
A.y3>y1>y2B.y3>y2>y1C.y1>y2>y3D.y2>y1>y3

8.电影《我和我的祖国》讲述了普通人与国家之间息息相关密不可分的动人故事，一上映就获得全国人民的追捧，第一天票房收入约3亿元，以后每天票房收入按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达10亿元，若把增长率记作x，则方程可以列为（ ）
A.3(1+x)=10B.3(1+x)2=10
C.3+3(1+x)2=10D.3+3(1+x)+3(1+x)2=10

9.如图，在半径为5的圆O中，AB,CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB=CD=8，则OP的长为（ ）
A.3B.4C.32D.

10.如图，在正方形ABCD中，AB=5，点M在CD的边上，且DM=2，△AEM与△ADM关于AM所在的直线对称，将△ADM按顺时针方向绕点A旋转90∘得到△ABF，连接EF，则线段EF的长为（ ）
A.34B.29C.27D.33
二、填空题

11.点(1,−2)关于原点的对称点的坐标为____________．

12.抛物线y=ax2+c与y=−3x2的形状相同，开口方向相反，且其顶点坐标是(0,2)，则该抛物线的函数解析式是___________．

13.若关于x的一元二次方程(m+1)x2−2x+1=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是___________．

14.如图，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上，∠BOC=70∘，AD∥OC，则∠D=____________．

15.已知抛物线y=x2+bx+c的部分图象如图所示，当y>0时，x的取值范围是_________．

16.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，有下列4个结论：① abcb；③ a+b>m(am+b)(m≠1)；④若方程ax2+bx+c=1有四个根，则这四个根的和为4．其中正确结论的序号为______________．
三、解答题

17.选择适当的方法解下列方程：
（1）(x−3)2=4；
（2）x2−4x+1=0．

18.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A(−4,3)，B(−1,2)，C(−2,1)．
（1）试作出△ABC以B为旋转中心，沿顺时针方向旋转90∘后的图形△A1BC1；
（2）以原点O为对称中心，画出△ABC与关于原点O成中心对称的△A2B2C2，且C2坐标为______．

19.如图，⊙O中，弦AB，CD相交于点E，AD=BC．

（1）比较AB⌢与CD⌢的长度，并证明你的结论；
（2）求证：AE=CE．

20.已知关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m=0有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若该方程的两个实数根分别为x1、x2，且x12+x22=12，求m的值．

21.如图，已知抛物线y=−x2+mx+3与x轴交于点A、B两点，与y轴交于C点，点B的坐标为(3, 0)，抛物线与直线y=−32x+3交于C、D两点．连接BD、AD．
（1）求m的值．
（2）抛物线上有一点P，满足S△ABP=4S△ABD，求点P的坐标．

22.某超市销售一种商品，成本价为30元/千克，经市场调查，每天销售量y(千克)与销售单价x(元/千克)之间的关系(如图所示)，假设每千克售价不能低于30元，且不高于80元．
（1）求y与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
（2）若每天的总利润为w元，求出w关于x的函数关系式，并求出当销售单价定为多少元时，该超市每天的利润最大？最大利润是多少元？

23.根据背景素材，探索解决问题．

24.在△ABC中，∠ABC=90∘，AB=BC．
（1）如图1，点E为△ABC内部一点，连接BE，将线段BE绕点B顺时针方向旋转90∘得到BF，连接AE，CF，线段AE与CF的位置关系是_______；
（2）如图2，若将问题(1)中的点E改为△ABC外部一点，其余条件不变，AE与CF交于点G，证明A、B、C、G四点在同一个圆上；
（3）如图3，点D为△ABC外一点，且∠BDC=45∘，点O为AC的中点，连接OD,BD,CD．若OD=13，BD=72，求CD的长．

25.在平面直角坐标系xOy中，抛物线G:y=−x2+2mx−2m−3的顶点为点P．
（1）顶点P的坐标为_______；（用含m的式子表示）
（2）直线l:y=x−3分别与x轴和y轴交于点A和点B，点P在第四象限．
①当△PAB面积最大时，求抛物线G的解析式；
②在①的条件下，把抛物线G沿y轴向上平移t(t>0)个单位长度得到抛物线G′，若抛物线G′与△PAB的边有且只有两个交点，求实数t的取值范围．
参考答案与试题解析
2025-2026学年广东省广州上学期九年级数学期中考试卷
一、选择题
1.
【答案】
D
【考点】
一元二次方程的定义
【解析】
根据一元二次方程的定义：含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程，由此进行逐一判断即可．
【解答】
解：A、4x−y+9=0含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意；
B、b−7=0，未知数的最高次不是2，不是一元二次方程，不符合题意；
C、3x2−y+8=0含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意；
D、4y2−3y+1=0符合一元二次方程的定义，符合题意；
故选D．
2.
【答案】
C
【考点】
中心对称图形
【解析】
根据中心对称图形的定义依次进行判断即可得．
【解答】
解：A、等边三角形，不是中心对称图形，选项说法错误，不符合题意；
B、直角三角形，不是中心对称图形，选项说法错误，不符合题意；
C、平行四边形，是中心对称图形，选项说法正确，符合题意；
D、正五边形，不是中心对称图形，选项说法错误，不符合题意；
故选：C．
3.
【答案】
D
【考点】
二次函数图象的平移规律
【解析】
用顶点式表达式，按照抛物线平移的公式即可求解．
【解答】
解：将抛物线y=x2先向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度后，函数的表达式为：y=(x−5)2+3．
故选：D．
4.
【答案】
C
【考点】
解一元二次方程-因式分解法
【解析】
本题考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．先移项，再因式分解求解即可．
【解答】
解：x(x−2)=x−2，
x(x−2)−(x−2)=0，
(x−2)(x−1)=0，
∴x−2=0 或 x−1=0，
∴x=2 或 x=1，
∴方程的根为x1=1，x2=2．
故选：C．
5.
【答案】
D
【考点】
二次函数y=ax^2 、y=a（x-h）^2+k (a≠0)的图象和性质
【解析】
根据二次函数y=a(x−h)2的性质判断即可．
【解答】
在二次函数y=−x−12中，
∵a=−1y2．
故选A．
8.
【答案】
D
【考点】
一元二次方程的应用——增长率问题
【解析】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设平均每天票房的增长率为x，根据三天后累计票房收入达10亿元，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】
解：设平均每天票房的增长率为x，
根据题意得：3+3(1+x)+3(1+x)2=10．
故选：D．
9.
【答案】
C
【考点】
利用垂径定理求值
【解析】
连接OB，OD，OP,过O作OM⊥AB，交AB于点M，过O作ON⊥CD，交CD于点N，首先利用勾股定理求得OM的长，然后判定四边形OMPN是正方形，求得正方形的对角线的长即可求得OM的长．
【解答】
解：连接OB，OD，OP,过O作OM⊥AB，交AB于点M，过O作ON⊥CD，交CD于点N．
∵AB=CD=8，
∴BM=DN=4，
由垂径定理，勾股定理得：OM=ON=52−42=3，
∵AB,CD是互相垂直的两条弦，
∴∠DPB=90∘
∵OM⊥AB，ON⊥CD，
∴∠OMP=∠ONP=90∘
∴四边形MONP是正方形，
∴OP=32+32=32，
故选C．
10.
【答案】
A
【考点】
根据正方形的性质证明
【解析】
连接BM．先判定△FAE≅△MAB(SAS)，即可得到EF=BM．再根据BC=CD=AB=5，CM=3，利用勾股定理即可得到，Rt△BCM中，BM=34，进而得出EF的长．
【解答】
解：如图，连接BM．
∵△AEM与△ADM关于AM所在的直线对称，
∴AE=AD，∠MAD=∠MAE．
∵△ADM按照顺时针方向绕点A旋转90∘得到△ABF，
∴AF=AM，∠FAB=∠MAD．
∴∠FAB=∠MAE
∴∠FAB+∠BAE=∠BAE+∠MAE．
∴∠FAE=∠MAB．
∴△FAE≅△MAB(SAS)．
∴EF=BM．
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD=AB=5．
∵DM=2，
∴CM=3．
∴在Rt△BCM中，BM=BC2+CM2=52+32=34，
∴EF=34，
故选：A．
二、填空题
11.
【答案】
(−1,2)
【考点】
关于原点对称的点的坐标
【解析】
本题考查了关于原点对称的点的坐标，由两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反特点进行求解即可，解题关键是掌握关于原点对称点的坐标规律．
【解答】
解：∵两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，
∴点(1,−2)关于原点的对称点的坐标为(−1,2)，
故答案为：(−1,2)．
12.
【答案】
y=3x2+2
【考点】
y=ax²+k的图象和性质
【解析】
由抛物线y=ax2+c与y=−3x2的形状相同，开口方向相反，可得a的值，由顶点坐标可得c的值．
【解答】
解：∵抛物线y=ax2+c与y=−3x2的形状相同，开口方向相反，
∴a=3，
∵顶点坐标是(0,2)，
∴y=3x2+2，
故答案为：y=3x2+2．
13.
【答案】
m0，
∴m0时，x的取值范围是x3，
故答案为：x
16.
【答案】
①③④
【考点】
二次函数y=ax^2+bx+c (a≠0)的图象和性质
根据二次函数的图象判断式子符号
根据二次函数图象确定相应方程根的情况
【解析】
本题考查二次函数的图象和性质，二次函数的图象与系数之间的关系，根据开口方向，对称轴和与y轴的交点，判断①，对称轴结合特殊点，判断②，最值判断③，图象法确定方程的根的情况，判断④．
【解答】
解：∵抛物线的开口向下，对称轴为直线x=−b2a=1，与y轴交于正半轴，
∴a0,c>0，
∴abc0，
∴c>−b2，
∴2c>−b，无法得到2c>b，故②错误；
∵当x=1时，函数有最大值为：y=a+b+c，
∴当x=m(m≠1)时，y=am2+bm+cm(am+b)(m≠1)，故③正确；
∵方程ax2+bx+c=1有四个根，
∴抛物线y=ax2+bx+c，与直线y=1和y=−1分别有两个交点，且相对应的两个交点关于对称轴对称，
∴这四个根的和为2×1+2×1=4；故④正确；
故答案为：①③④．
三、解答题
17.
【答案】
（1）
x1=5，x2=1
（2）
x1=2+3，x2=2−3
【考点】
解一元二次方程-直接开平方法
解一元二次方程-配方法
【解析】
（1）用直接开平方法解方程即可；
（2）用配方法解方程即可．
【解答】
（1）解：(x−3)2=4，
∴x−3=2或x−3=−2，
解得x1=5，x2=1；
（2）解：x2−4x+1=0，
x2−4x=−1，
x2−4x+4=3，
(x−2)2=3，
x−2=±3，
解得x1=2+3，x2=2−3．
18.
【答案】
（1）见解析
见解析，C2(2,−1)
【考点】
生活中的旋转现象
关于原点对称的点的坐标
【解析】
（1）根据旋转的性质，结合旋转的方向作图即可；
（2）根据原点对称的点的坐标特点，确定坐标后画图即可．
本题考查了旋转作图，原点对称的作图，熟练掌握作图的基本要领，确定坐标是解题的关键．
【解答】
（1）解：根据题意，作图如下：
，
则△A1BC1即为所求．
（2）解：根据题意，A(−4,3)，B(−1,2)，C(−2,1)关于原点的对称点分别为A2(4,−3)，B2(1,−2)，C2(2,−1)．画图如下：
．
则△A2B2C2即为所求，且C2(2,−1)．
19.
【答案】
（1）相等，理由见解析
（2）见解析
【考点】
全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）
圆周角定理
利用弧、弦、圆心角的关系求解
【解析】
（1）由圆心角、弧、弦的关系推出AD⌢=BC⌢，即可得到CD⌢=AB⌢．
（2）由AAS证明△ADE≅△CBE，即可推出AE=CE．
【解答】
（1）解：AB⌢与CD⌢的长度相等，理由如下：
∵AD=BC，
∴ AD⌢=BC⌢，
∴ AD⌢+AC⌢=BC⌢+AC⌢，
∴ CD⌢=AB⌢；
（2）证明：在△ADE和△CBE中，
∠A=∠C∠AED=∠CEBAD=CB ，
∴△ADE≅△CBEAAS，
∴AE=CE．
20.
【答案】
（1）m≤0
（2）m=−2
【考点】
根的判别式
根据一元二次方程根的情况求参数
根与系数的关系
【解析】
（1）根据方程有实数根的条件，即Δ≥0求解即可；
（2）由韦达定理把x1+x2和x1x2分别用含m的式子表示出来，然后根据完全平方公式将x12+x22=12变形为(x1+x2)2−2x1x2=12，再代入计算即可解出答案．
【解答】
（1）由题意可得：Δ=(2m)2−4(m2+m)≥0
解得：m≤0
即实数m的取值范围是m≤0．
（2）由x12+x22=12可得：(x1+x2)2−2x1x2=12
∵x1+x2=−2m；x1x2=m2+m
∴(−2m)2−2(m2+m)=12
解得：m=3或m=−2
∵m≤0
∴m=−2
即m的值为-
21.
【答案】
∵ 抛物线y=−x2+mx+3过(3, 0)，
∴ 0=−9+3m+3，
∴ m=2
由y=−x2+2x+3y=−32x+3 ，得x1=0y1=3 ，x2=72y2=−94 ，
∴ D(72, −94)，
∵ S△ABP=4S△ABD，
∴ 12AB×|yP|=4×12AB×94，
∴ |yP|=9，yP=±9，
当y=9时，−x2+2x+3=9，无实数解，
当y=−9时，−x2+2x+3=−9，x1=1+13，x2=1−13，
∴ P(1+13, −9)或P(1−13, −9)．
【考点】
二次函数图象上点的坐标特征
抛物线与x轴的交点
【解析】
（1）利用待定系数法即可解决问题；
（2）利用方程组首先求出点D坐标．由面积关系，推出点P的纵坐标，再利用待定系数法求出点P的坐标即可；
【解答】
∵ 抛物线y=−x2+mx+3过(3, 0)，
∴ 0=−9+3m+3，
∴ m=2
由y=−x2+2x+3y=−32x+3 ，得x1=0y1=3 ，x2=72y2=−94 ，
∴ D(72, −94)，
∵ S△ABP=4S△ABD，
∴ 12AB×|yP|=4×12AB×94，
∴ |yP|=9，yP=±9，
当y=9时，−x2+2x+3=9，无实数解，
当y=−9时，−x2+2x+3=−9，x1=1+13，x2=1−13，
∴ P(1+13, −9)或P(1−13, −9)．
22.
【答案】
（1）y=−x+180
（2）w=−(x−105)2+5625，销售单价定为80元时，该超市每天的利润最大，最大利润5000元
【考点】
求一次函数解析式
二次函数的应用——销售问题
【解析】
（1）设y与x之间的函数关系式为y=kx+b(k≠0)，待定系数法求解析式即可求解；
（2）根据题意可得w =−(x−105)2+5625，进而根据二次函数的性质，即可求解．
【解答】
（1）解：设y与x之间的函数关系式为y=kx+b(k≠0)，
将点(30,150)，(80,100)代入得：
150=30k+b100=80k+b ，
解得k=−1b=180 ，
∴y与x之间的函数关系式为y=−x+180；
（2）根据题意，得：
w=y(x−30)
=(−x+180)(x−30)
=−(x−105)2+5625，
∵a=−1