湖北省部分省级示范高中2025-2026学年高二上学期期中测试数学试卷（Word版附解析）

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★祝考试顺利★
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.
一、单选题：共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 过椭圆的左焦点的直线交椭圆于，两点，为椭圆的右焦点，则的周长为（ ）
A. B. C. D.
2. 已知直线与平行，那么k的值为（ ）
A. 1或3B. 1或5C. 3或5D. 1或2
3. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
4. 在空间直角坐标系中，若，且，则（ ）
A. B. C. 3D.
5. 已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
6. 抛掷一红一绿两颗质地均匀骰子，记录骰子朝上面的点数，若用表示红色骰子的点数，用表示绿色骰子的点数，用表示一次试验结果，设事件；事件：至少有一颗点数为6；事件；事件.则下列说法正确的是（ ）
A. 事件与事件为互斥事件B. 事件与事件为互斥事件
C. 事件与事件相互独立D. 事件与事件相互独立
7. 若两条直线与圆的四个交点能构成矩形，则（ ）
A. B. 1C. 2D.
8. 已知点及圆，点 ，在圆上，若，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9. 已知椭圆，，分别为它的左右焦点，分别为它的左右顶点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（ ）
A. 短轴长是3B. 的周长为15
C. 离心率D. 若，则面积为9
10. 如图，在正方体中，为底面的中心，E，F分别为，的中点，P点满足，则（ ）
A 平面B. 平面
C. D. P，G，E，F四点共面
11. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点，的距离之比为定值（）的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系中，已知，，点满足，设点的轨迹为圆，下列结论正确的是（ ）
A. 圆的方程是
B. 过点向圆引切线，两条切线的夹角为
C. 过点作直线，若圆上恰有三个点到直线距离2，该直线斜率为
D. 在直线上存在异于，的两点，，使得
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12 设向量，，不共面，已知，，，若A，C，D三点共线，则______．
13. 柜子里有3双不同的鞋子，分别用表示6只鞋，从中有放回地取出2只，记事件“取出的鞋是一只左脚一只右脚的，但不是一双鞋”，则事件的概率是____________．
14. 棱长为的正四面体中，点为所在平面内的动点，且满足，则直线与直线所成的角的余弦值的最大值为_____.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 翱翔蓝天，报效祖国是很多有志青年的梦想，而实现这个梦想，需要依次通过五关：目测、初检、复检、文考（文化考试）、政审．若某校甲、乙、丙三位同学都顺利通过了前两关，根据分析甲、乙、丙三位同学通过复检关的概率分别是，他们能通过文考关的概率分别是，若后三关之间通过与否没有影响．
（1）求甲、乙都能进入政审这一关的概率；
（2）求甲、乙、丙三位同学中恰好有两个人通过复检的概率．
16. 在如图所示的平行六面体中，，，，，，设，，.
（1）用，，表示，，；
（2）求异面直线与所成角的余弦值.
17. 已知圆过两点、，且圆心在直线上.
（1）求圆的标准方程；
（2）求过点的圆的切线方程；
（3）若直线的横截距为，纵截距为，直线被圆截得的弦长为，求的最小值．
18. 如图，在四棱锥中，平面，底面为直角梯形，，.
（1）证明：平面平面；
（2）求点到平面的距离；
（3）线段上是否存在一点，使得平面与平面所成角（即两个平面相交时所成的锐二面角）的余弦值为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
19. 已知圆 与圆 相外切.
（1）求圆的标准方程；
（2）若，求 的最小值；
（3）已知，P为圆上任意一点，试问在x轴上是否存在定点B（异于点A），使得 为定值? 若存在，求点B的坐标；若不存在，请说明理由.