广东省惠州市2025~2026学年九年级上学期期中考试数学试卷（学生版）

这是一份广东省惠州市2025~2026学年九年级上学期期中考试数学试卷（学生版），共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
1. 观察下列图案，其中旋转角最大的是（ ）
A. B.
C. D.
2. 关于的方程，下列说法错误的是（ ）
A. 二次项系数为1B. 一次项系数为
C. 常数项为0D. 它是一元二次方程
3. 关于二次函数 的图象，下列说法中，正确的是（ ）．
A. 对称轴为直线
B. 顶点坐标为
C. 可以由二次函数 的图象向左平移1个单位得到
D. 在y轴的左侧，图象上升，在y轴的右侧，图象下降
4. 如图，是由绕点按逆时针方向旋转得到的．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
5. 若a，b是方程的两根，则（ ）
A. 2023B. 2024C. 2025D. 2026
6. 《四元玉鉴》是中国元代数学重要著作之一，由数学家朱世杰所著．书中有这样一道方程的应用题：今有锦一匹，先卖三尺，余卖得钱二贯九百七十五文．只云匹长不及尺价四十七文，问匹长、尺价各几何？译文：今有一匹锦，先卖掉三尺，剩下的卖了二贯九百七十五文；已知这匹锦的长度数比一尺锦的价格数少四十七文，问：这匹锦的长和每尺的价格各是多少？（备注：1贯＝1000文），设这匹锦的长为x尺，根据题意可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
7. 若抛物线的顶点在第二象限，则m的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
8. 已知关于的方程的解为，则方程的解为（ ）
A. B.
C. D.
9. 在学习两点间的距离、直线外一点到这条直线的距离的过程中，同学们积累了一定的研究经验，如果定义：平面内，一点与一个图形上所有点的最短距离叫做这个点到该图形的距离．如图①，正方形的边长为2，中心为点；在该正方形外有一点，，且．当点绕着点顺时针旋转时，设旋转角的度数为，点到正方形的距离为，如图②是点在旋转过程中，随的变化而变化的函数图像，则的值为（ ）
A. 1B. C. D. 2
10. 如图，在中,，将绕点B顺时针旋转得到，延长分别交于点，连接．下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数是( )
A 1个B. 2个C. 3个D. 4个
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11. 若是关于的二次函数，则的值为_____．
12. 已知二次函数与一次函数的图象相交于点，．如图所示，则能使成立的x的取值范围是________．
13. 如图，在平面直角坐标系中，点B在x轴上，，点A到x轴的距离为4，将绕点O逆时针旋转，得到，则点的坐标是 _________________．
14. 如图，有长为的篱笆，一面利用墙（墙为）的矩形花圃．如果要围成面积为的花圃，设的长为，依题意列方程____________．
15. 如图，已知二次函数（）的图像如图所示，其对称轴是直线．有下列5个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论有__________（填序号）
三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分）
16. 用适当的方法解下列方程：
（1）；
（2）．
17. 如图，三个顶点坐标分别为，．
（1）作出将向左平移4个单位，向上平移1个单位后得到的图形；
（2）作出关于原点成中心对称的图形；
（3）若将绕点A顺时针旋转，则点C的对应点的坐标是___________（无需作图）
18. 已知关于的一元二次方程有两个实数根．
（1）求实数的取值范围．
（2）若方程的一个实数根为4，求的值和另一个实数根．
四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分）
19. 如图，在菱形中，，是边上一点（不与点，重合），将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接．
（1）求证：；
（2）连接，若，，求线段的长．
20. 随着“绿色出行，低碳生活”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．
（1）某品牌新能源汽车1月份销售量为3万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，3月份的销售量达到5.07万辆车．求从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率．
（2）某汽车销售公司抢占先机，购进一批新能源汽车进行销售，该公司选择一款进价为15万元/辆新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆，若该店计划下调售价使平均每周的销售利润为96万元．为了推广新能源汽车，此次销售尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价．
21. 一次足球训练中，小明从球门正前方A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面．已知球门高为2.44m，现以O为原点建立如图所示直角坐标系．

（1）求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）．
（2）对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处？
五、解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分）
22. 如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的倍（为正整数），则称这样的方程为“倍根方程”．例如：方程的两个根分别是2和4，则这个方程就是“二倍根方程”；方程的两个根分别是1和3，则这个方程就是“三倍根方程”．
（1）根据上述定义，是“___________倍根方程”；
（2）若关于的方程是“二倍根方程”，求的值；
（3）直线与轴交于点，直线过点，且与相交于点．若一个五倍根方程两个根为和，且点在的内部（不包含边界），求的取值范围．
23. 如图1，在平面直角坐标系中放置一个直角三角板，其顶点为、、，将此三角板绕原点O逆时针旋转，得到三角形．
（1）一抛物线经过点、、B，求该抛物线的解析式；
（2）设点P是第一象限内抛物线上的一个动点，是否存在点P，使四边形的面积是面积的4倍？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）抛物线上有一动点M，对称轴上有一动点N，求当A，B，M，N四点围成的图形为平行四边形时点N的坐标．