2025年安徽省安庆市中考一模数学试卷（解析版）-A4

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（满分150分 考试时间120分钟）
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1. 今天是2025年1月10日，其中数据“2025”的相反数为（ ）
A. B. C. 2025D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了相反数的定义，根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可得．
【详解】解：“2025”的相反数为，
故选：B．
2. 如图是某赛事领奖台示意图，则此领奖台的左视图是（ ）

A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题是一道关于三视图的题目，解答本题的关键是熟练掌握左视图的定义．
根据左视图的定义即可得出答案．
【详解】解：由左视图的定义可得B选项正确，
故选：B．
3. 2024年前三季度安徽省地区生产总值37257亿元，其中数据“37257亿”用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数，解题的关键要正确确定的值以及的值．
【详解】解：37257亿，
故选：．
4. 下列计算正确是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了同底数幂的乘除法运算，幂的、积的乘方运算，掌握计算公式是解题的关键．
分别利用同底数幂的乘除法运算，幂的、积的乘方计算公式进行判断即可．
【详解】解：A、，原写法错误，故不符合题意；
B、，原写法错误，故不符合题意；
C、，原写法错误，故不符合题意；
D、，原写法正确，故符合题意；
故选：D．
5. 一次函数与反比例函数的图象有一个交点坐标为，则它们的另一个交点坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了正比例函数与反比例函数交点问题，解题的关键是理解两个交点关于原点对称即可较快求解．
【详解】解：一次函数与反比例函数的图象有一个交点坐标为，
，解得：，
，
另一个交点坐标与关于原点对称，
另一个交点坐标为，
故选：B．
6. 如图，边长为1的正方形的顶点B在上，顶点A，C在内，的延长线交于点D，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查求不规则图形的面积，掌握扇形的面积公式，是解题的关键．
根据正方形的性质和勾股定理得的半径为，结合扇形与三角形的面积公式，即可得到答案．
【详解】解：连接，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，即的半径为，
∴=．
故选：A．
7. 如图，已知正方形边长为4，点为中点，连接，取中点，过点作垂线，交于点，则的长为（ ）

A. 3B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质，垂直平分线的性质，勾股定理，掌握垂直平分线上的点到线段两端距离相等是解题关键．连接、，由题意可知垂直平分，则，设，利用勾股定理列方程求解即可．
【详解】解：如图，连接、，

正方形边长为4，
，，
点为中点，
，
点为中点，，
垂直平分，
，
设，则，
在中，，
在中，，
，
解得：，
故选：C．
8. 设，，为互不相等的实数，且，则下列结论一定正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了等式的性质，根据题意可得，进一步可得，而根据现有条件无法得到A、B、D中的结论，据此可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，故C选项结论正确，符合题意；
根据现有条件无法证明A、B、D三个选项中的结论，
故选：C．
9. 如图，与是两个全等的等腰直角三角形，其中，点、、在同一条直线上，与相交于点，则以下判断错误的是（ ）
A. B. 为等边三角形
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】过点作，三线合一，结合斜边上的中线以及全等三角形的性质，得到，进而得到，求出，进而求出，推出，证明为等边三角形，求出，证明，推出，作作，设，利用含30度角的直角三角形的性质，结合勾股定理求出的长，进而求出的长，勾股定理求出的长，进而求出长，求出，即可．
【详解】解：∵与是两个全等的等腰直角三角形，
∴，
∴，
过点作，
则：，
在中，，
∴，故选项A正确，不符合题意；
∴，
∴，
∴，
∵，
∴为等边三角形，故选项B正确，不符合题意；
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；故选项C正确，不符合题意；
作，设，
∵，
∴，，
∵是等腰三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴；故选项D错误，符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查全等三角形的性质，相似三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，解直角三角形等知识点，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造特殊图形，是解题的关键．
10. 如图，正方形边长为6，点是边的中点，点在上，且，动点从点沿、运动到点，过点作于点，作于点，记点运动的路程为，四边形的面积为，则关于的函数图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了动点问题的函数图象，解题的关键是根据点的变化列出函数解析式.
结合原图形上动点在不同的线段上运动得到不同的关系式，再根据不同的关系式得到不同的图象，最后结合所给选项进行分析即可.
【详解】解：
如图，延长线段交于点，则
,，由勾股定理得，
，
，
∴，，该区间解析式为二次函数，图象为抛物线，开口向下；
当时，，该区间解析式为一次函数，随的增大而减小；
故选：A
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 计算：________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式加法计算，先化简二次根式，再根据二次根式的加法计算法则求解即可．
【详解】解：，
故答案为：．
12. 方程的根是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解分式方程，把分式方程化为整式方程，注意分母不为0，即可作答．
【详解】解：∵，
∴且，
解得，
经检验：是原分式方程的解，
故答案为：．
13. 通常情况下酚酞遇酸性和中性溶液不变色，遇碱性溶液变红色．一次化学课上，学生用酚酞溶液检测四瓶标签被污染无法分辨的无色溶液的酸碱性．已知四瓶溶液分别是A：盐酸（呈酸性），B：硝酸钾溶液（呈中性），C：氢氧化钠溶液（呈碱性），D：氢氧化钾溶液（呈碱性）．小周将任选的两瓶溶液滴入酚酞溶液进行检测，则两瓶溶液恰好都变红色的概率是__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了列表法求概率，根据列表可得共有12种等可能的结果，其中两瓶溶液恰好都变红色的结果有：，共2种，进而根据概率公式计算即可求解．
【详解】解：列表如下：
共有12种等可能的结果，其中两瓶溶液恰好都变红色的结果有：，共2种，
两瓶溶液恰好都变红色的概率为．
故答案为：．
14. 中，，，平分交于点，平分交于点．
（1）________；
（2）若，则长为________．
【答案】 ①. ②. ##
【解析】
【分析】本题主要考查等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，角平分线的性质定理，掌握以上知识，合理作出辅助线是解题的关键．
（1）根据等边对等角得到，根据角平分线的定义得到，，由三角形内角和定理即可求解；
（2）如图所示，延长交于点，过点作于点，，，在中，，，，，由此即可求解．
【详解】解：（1）在中，，，
∴，
∵平分，
∴，
∵平分，
∴，
在中，；
（2）如图所示，延长交于点，过点作于点，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴平分，
∴，
∵是角平分线，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：①；②．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 解不等式：
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了一元一次不等式的求解，解题的关键是掌握一元一次不等式的求解方法，正确求出不等式的解集．按一元一次不等式的解法：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1即可求解求解，注意系数化为1时变号．
【详解】解：
16. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，格点（网格线交点）、、的坐标分别为、、．
（1）作关于y轴对称的．
（2）请仅用无刻度直尺作图，保留作图痕迹，不写作法．
①在所给的网格图中，确定一个格点，使得交于点；在图中标出点和点，并写出点坐标________；
②线段的长为________．
【答案】（1）见解析 （2）见解析，或；
【解析】
【分析】本题考查作图--轴对称变换，及通过网格图确定垂直线和计算线段长度的知识点等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题．
（1）利用轴对称的性质分别作出的对应点，连接，，即可；
（2）确定垂直线，可以利用网格的特点和直角的性质．作点C以B为中心逆时旋转至，连接，平移点至A，点B至，连接交与，并延长可得，由图写出对应点坐标； 补全图形后，所在的矩形面积去掉周围三个三角形的面积，由勾股定理求出的长度，由面积可得的长度．
【小问1详解】
解：如图，即为所求．
【小问2详解】
解：如图，作点C以B为中心逆时旋转至，连接，平移点至A，点B至，连接交与，并延长可得，
，，
．
．
由图可知，点坐标可为或．
由图可知
，
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 某工厂准备在开学前生产甲、乙两种型号的开学文具礼盒共万套．甲礼盒的成本为元/套；乙礼盒的成本为元/套．该工厂计划筹集资金万元，且全部用于生产甲、乙两种礼盒，则这两种礼盒各生产多少万套？
【答案】甲，乙两种礼盒各，万套
【解析】
【详解】本题考查二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的解法是解题的关键；
根据题意，设甲、乙两种礼盒各、万套，建立方程，求解即可；
解：设甲、乙两种礼盒各、万套．

解得：
答：甲，乙两种礼盒各，万套；
18. 设表示两位数，如：当时，表示82；数学兴趣小组研究的平方规律，依次计算发现个位上数字是2的两位数平方的规律：
第1个等式，
第2个等式：
第3个等式：
第4个等式：
按照以上规律，完成下列问题：
（1）写出第5个等式：________．
（2）写出你猜想的第个等式：________（用含的等式表示），并证明．
【答案】（1）
（2），证明见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，完全平方公式，正确理解题意是解题的关键．
（1）观察可知的平方等于乘以的积加上4，据此写出第5个等式即可
（2）根据（1）的规律写出第n个等式，再利用完全平方公式把等式左边展开，利用单项式乘以多项式的计算法则把等式右边展开即可证明结论．
【小问1详解】
解：由题意得，第5个等式为
【小问2详解】
解：猜想，证明如下：
∵左边，
又∵右边，
∴左边右边，
∴．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 如图，是的直径，点在上，作于交于，的平分线交于点，交于点，连结，．
（1）若的半径为6，，求弦的长；
（2）求证：．
【答案】（1）
（2）详见解析
【解析】
【分析】此题考查了垂径定理、勾股定理、圆周角定理等知识，熟练掌握相关定理内容是解题的关键．
（1）连接，利用垂径定理得到，，用勾股定理求出即可求出答案；
（2）利用角平分线的定义、圆周角定理等证明即可得到结论．
【小问1详解】
解：连接，
∵为直径，，
∴，
∵，半径
∴
在中，

∴
【小问2详解】
∵平分
∴
∵
∴
∵为直径
∴
∴
∵
∴
∴
20. 2025年亚冬会在哈尔滨举行．亚布力滑雪场初级赛道截面图，如图所示，平台长10米，滑道长400米，滑道的坡角，雪场电梯坡角，点、、在同一条直线上．已知，，运动员滑下后从点走到点的速度为50米/分，坐电梯从到点的速度为100米/分．
（1）求雪场电梯的长度．
（2）计算运动员从点走到点，再坐电梯从到点，所需的时间．（，，，，，结果保留整数）
【答案】（1）224米
（2）运动员从点走到点，再坐电梯从点到点所需时间大约需要6分钟
【解析】
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
（1）过点作于点．在中，解直角三角形得米，由矩形性质得，在中，利用直角三角形的性质即可得解；
（2）在中，解直角三角形得米，由矩形性质得，米，在中，解直角三角形得米，米，从而即可得解．
【小问1详解】
解：过点作于点．
在中，，，
（米）
∵四边形是矩形，
∴
在中，，，
∴（米）
【小问2详解】
解：在中，，，
（米）
∵四边形是矩形，
∴
∴（米）
在中
∵，
∴（米）
∴（米）
∴所需总时间为：（分钟）
答：运动员从点走到点，再坐电梯从点到点所需时间大约需要6分钟．
六、（满分12分）
21. 为了解学生体育课程学习情况，某中学在九年级480名男生中随机抽取若干名，进行“一分钟跳绳”和“立定跳远”两项测试，对数据进行整理分析，得到如下信息．
信息一：“一分钟跳绳”成绩如图（不完整）所示（成绩用表示，单位：个）．分成六组：；；；；；．
信息二：“一分钟跳绳”成绩在这一组的是：175，175，178，180，182，184，184，185，188，188，189；
信息三：“立定跳远”成绩（成绩用表示，单位：米）的人数（频数）分布表如表：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）被随机抽取的男生人数为________人，并请补全条形统计图；
（2）下列结论正确的是________（将所有正确的序号填在横线上）；
①；
②一分钟跳绳成绩达到160个及以上的人数占抽取人数的百分比低于；
③立定跳远成绩的中位数记为，则；
（3）若一分钟跳绳成绩达到180个及以上时，成绩记为满分，请估计全年级男生一分钟跳绳成绩为满分的人数．
【答案】（1）40；图见解析
（2）
（3）全年级男生一分钟跳绳满分人数约276人
【解析】
【分析】本题考查条形统计图与频数分布表，中位数，用样本估计总体．
（1）将D组的人数除以其百分比，即可求出被随机抽取的男生人数，将人数减去其他各组的人数，求得B组的人数，即可补全条形统计图；
（2）①将抽取的男生人数40减去各分组的人数，求出m的值，即可判断；
②由条形统计图可得，一分钟跳绳成绩达到160个及以上的人数为（人），除以总人数即可判断；
③根据中位数的定义判断即可；
（3）由题意得到C组中一分钟跳绳成绩达到180个及以上有8人，因此抽查的学生中满分的有23人，进而计算即可解答．
【小问1详解】
解：（人）
∴被随机抽取的男生人数为40人．
B组的人数为：（人）
补全条形图如下：
故答案为：40；
【小问2详解】
解：①，故①正确；
②由条形统计图可得，一分钟跳绳成绩达到160个及以上的人数为（人），
占抽取人数为；故②错误；
③抽取的男生人数为40，故立定跳远成绩的中位数是第20，21个数据的平均数，由分布表可知第20，21个数据位于第三组，故中位数n满足；故③正确．
综上，结论正确的是①③．
故答案为：①③
【小问3详解】
解：由题意可得，C组中一分钟跳绳成绩达到180个及以上有8人，因此抽查的学生中满分的有（人）
∴估计全年级男生一分钟跳绳成绩为满分的人数为（人）
七、（满分12分）
22. 已知：在矩形中，点是边上中点．
（1）如图1，连接并延长交延长线于点，连接交于点．
①求证：
②求的值；
（2）如图2，过点作直线分别与、的延长线交于点、点，连接、．求证：．
【答案】（1）①证明见解析；②；
（2）证明见解析．
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，掌握相关知识是解题的关键．
（1）①由矩形的性质得到，再得出，由点是中点，得到，即可证明；
②由，得到，再证明，即可求解；
（2）延长交延长线于点，由 得到，，，，得出，再得到，即可得出结论．
【小问1详解】
①证明：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵点是中点，
∴，
在与中，
，
，
②解：由①可知，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
证明：延长交延长线于点，
∵
∴，，，，
∴，
∵，
∴，
在矩形中，，
∴，
∴，
∴，
∴．
八、（满分14分）
23. 已知抛物线过点，抛物线（其中为常数）．
（1）求的值和的顶点坐标．
（2）已知无论为何值，与总交于一个定点，这个定点的坐标为________；
（3）当时，平移抛物线，使其顶点在抛物线上．平移后的抛物线与轴交点记为，顶点为，点为坐标原点．当时，求面积的最大值．
【答案】（1），顶点坐标为
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式及顶点坐标，二次函数的性质，二次函数的平移，以及利用二次函数解决几何面积最值问题，理解题意，利用数形结合的方法解题是关键．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）解析式联立利用根的判别式确定交点的个数，整理解析式即可求解；
（3）根据题意画出图形，利用函数解析式表示出顶点纵坐标，利用三角形面积公式列出关于的二次函数，根据顶点坐标求最值即可．
【小问1详解】
解：将代入得：，
解得，
，
顶点坐标为；
【小问2详解】
解：联立得，
整理得
∴两个图形一定有交点，
整理得
∴当时，无论取何值，
由（1）得，的顶点坐标为，
∴与总交于一个定点的坐标为，
故答案为：；
【小问3详解】
解：
如图所示，
当时，抛物线，
平移之后顶点坐标为，即
∴平移之后

，此二次函数抛物线开口向下，
可求顶点横坐标为，，
∴顶点纵坐标为最大值
当时，代入二次函数得，
分组
人数
2
10
9
6
2