2025-2026兰州一中高一上学期期中考试数学试卷（解析）

这是一份2025-2026兰州一中高一上学期期中考试数学试卷（解析），共16页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
命题：姚蓝 审题：赵忠彦
说明：本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡.
第I卷（选择题）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.）
1. 设集合，则（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先利用并集运算求解，再利用补集运算求解即可.
【详解】因为集合，所以，
又，所以.
故选：B
2. 下列各组函数是同一个函数的是（ ）
A. 与B. 与
C. 与D. 与
【答案】D
【解析】
【分析】利用同一函数的定义逐项判断即得.
【详解】对于A，的定义域为，的定义域为，A不是；
对于B，的定义域为，的定义域为，B不是；
对于C，的定义域为，的定义域为，C不是；
对于D，与的定义域都为，且，D是.
故选：D
3. 命题“”的否定是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题即可求解．
【详解】命题“”的否定是“”.
故选：D
4. “”的一个必要不充分条件是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求不等式的解集，根据集合的包含关系确定“”的必要不充分条件.
【详解】由.
所以不等式的解集为.
因为，所以“”是“”的充要条件；
因为与集合不存在包含关系，所以“”是“”的既不充分也不必要条件.
因为⫋，所以：“”是“”的必要不充分条件；
因为⫋，所以“” 是“”的充分不必要条件.
故选：C
5. 已知函数则函数定义域为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据根式、分式的性质列不等式求函数的定义域.
【详解】由解析式知，则或，
所以函数的定义域为.
故选：C
6. 已知，，，则的最小值为（ ）
A. 2B. 3C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】把用表示代入，再利用基本不等式即可求解.
【详解】由可得，
所以.
当且仅当，即，时等号成立.
故选：A
7. 若函数是上的单调函数，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由分段函数的单调性和二次函数的单调性以及一次函数的单调性判断即可.
【详解】二次函数的对称轴是，
当时，二次函数在为递减函数，此时，一次函数也为递减函数，
即，且处的函数值，
所以，
当时，由二次函数的单调性和题意判断不符合题意，
综上实数的取值范围是.
故选：D.
8. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用幂函数的单调性判定即可．
【详解】由单调递增，
则可知，
由单调递增，
又，可得
所以．
故选：C．
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.）
9. 已知，则下列不等式中成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用基本不等式可判断A；由不等式的性质可得B；利用特值可得C的正误，利用作差比较法可得D的正误.
【详解】对于A，因为，所以，由基本不等式可得，故A正确；
对于B，因为，所以，所以，B正确；
对于C，当，，C错误；
对于D，，
因为，所以，，所以，即，D正确.
故选：ABD.
10. 已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则下列结论正确的是（ ）
A. B. 是函数的最大值
C. 当时，D. 不等式的解集是
【答案】AD
【解析】
【分析】根据奇函数性质判断A；举例判断B；根据时函数的解析式，结合函数的奇偶性判断C；写出函数的完整解析式为一个分段函数，分两种情况解不等式就可求解.
【详解】因为函数的定义域为，所以时，函数有意义，所以，A正确；
因为函数为奇函数，所以，所以，
而，所以不是函数的最大值，B错误；
设，则，所以，
又为奇函数，，所以，
所以时，，C错误；
根据以上结果，有，所以，
有，解得，或，解得，
所以不等式解集是，D正确.
故选：AD
11. 已知连续函数满足：①，则有，②当时，，③，则以下说法中正确的是（ ）
A.
B.
C. 在上的最大值是10
D. 不等式的解集为
【答案】ACD
【解析】
【分析】依题意令，求出，从而判断A；令得到，再令，，即可判断B；再利用定义法证明函数的单调性即可判断C；依题意原不等式等价于，再根据函数的单调性转化为自变量的不等式，即可判断D.
【详解】因为，则有，
令，则，则，故A正确；
令，则，
令代，则，
即，即，故B错误；
设且，则，由，
令，则，即，
令，，则，即，
因为时，，又，故，
所以，所以，即在上单调递减，
又，所以，，
又，所以，
故在上的最大值为，故C正确；
由，即，
即，即，
又因为，即，
所以，即，
故，即，解得，
即原不等式解集为，故D正确；
故选：ACD.
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.）
12. 已知函数，则______.
【答案】5
【解析】
【分析】根据分段函数解析式，先求出的值，再代入求出即可.
【详解】根据题意知，
则.
故答案为：5.
13. 已知函数f(x)＝，若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，则实数a的取值范围是________．
【答案】(－3，＋∞)
【解析】
【分析】因为x∈[1，＋∞)，所以f(x)>0恒成立等价于x2＋2x＋a>0，令g(x)＝-x2-2x，利用分离参数法求g(x)的最大值可得.
【详解】对任意x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立；
等价于x2＋2x＋a>0，即a>－(x＋1)2＋1在[1，＋∞)上恒成立，令g(x)＝－(x＋1)2＋1，则g(x)在[1，＋∞)上单调递减，所以g(x)max＝g（1）＝－3，所以a>－3.
【点晴】（1） 恒成立等价于；
（2） 恒成立等价于；
（3） 能成立等价于；
（4） 能成立等价于.
14. 已知函数，若关于x的不等式恰有1个整数解，则实数a的最大值是______．
【答案】8
【解析】
【分析】数形结合，结合函数的图像即可得出结论.
【详解】函数的图象, 如图所示,

关于 的不等式 ，
当 时, , 由于关于 的不等式 恰有 1 个整数解,
因此其整数解为 3 , 又 ,
所以 ,
则 , 所以实数 的最大值为 8 ,
故答案为：8.
四、解答题（本大题共5小题，共计77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15. 已知集合，集合.
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由分式不等式的解法结合集合的运算可得；
（2）由已知得到，再分和两种情况由集合的包含关系可得.
【小问1详解】
当时，，
，
所以，
所以.
【小问2详解】
若，则，
当时，；
当时，，解得；
综上，实数的取值范围为.
16. 已知二次函数.
（1）若，解不等式；
（2）求函数在区间上的最大值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由一元二次不等式的解法可得；
（2）结合二次函数的性质分的取值讨论可得.
【小问1详解】
若，则，
所以，解得，
所以不等式的解集为.
【小问2详解】
二次函数的对称轴为，开口向下，
当时，函数在区间上单调递减，所以；
当时，对称轴处取最大值，所以；
当时，函数在区间上单调递增，所以，
综上，.
17. 已知幂函数在区间上单调递增.
（1）求k的值；
（2）（i）若，求的值；
（ii）求的值域.
【答案】（1）
（2）（i）2；（ii）
【解析】
【分析】（1）由幂函数的定义可得，再利用在上单调递增，即可求解；
（2）（i）根据（1）可知，将转化为有关的式子即可求解，方法二：求出代入即可求解；（ii）根据换元法可设，再根据函数的对称轴，可求出最小值.，方法二：因为在上单调递增，可求解.
【小问1详解】
由已知，得或，
又因为在区间上单调递增，所以.
【小问2详解】
，
（i）法一：
法二：可解得，
将即可求得.
（ii）法一：，
令，，
对称轴，所以当时取到最小值2，
所以值域为.
方法二：因为在上单调递增.
所以，所以值域为.
18. 已知函数是定义在上的奇函数，且.
（1）求，的值；
（2）判断在上的单调性，并用函数单调性的定义证明；
（3）设若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围.
【答案】（1），
（2）在上递增；证明见解析
（3）或
【解析】
【分析】（1）利用奇函数的性质可求得,再由的值，可求得.
（2）用定义法证明即可.
（3）由题意可得，函数最小值大于等于函数的最小值，结合二次函数的性质可解.
【小问1详解】
依题意函数是定义在上的奇函数，
所以，所以，
，
所以，经检验，该函数为奇函数．
故，.
【小问2详解】
在上递增，证明如下：任取，
其中，，所以，
故在上递增．
【小问3详解】
由于对任意的，总存在，使得成立，
所以的最小值大于的最大值．
而由（2）知：，即在上恒成立，
当时，在上递增，，所以，解得；
当时，在上递减，，所以，解得，．
综上所述，或．
故若对任意的，总存在，使得成立，则实数的取值范围为：或．
19. 已知一元二次函数．设方程的两个实数根，．
（1）当，时，若的解集为，求的值；
（2）若对于任意x，，，且为偶函数，求；
（3）当时，，且当时，的最小值为，求的最大值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）首先根据已知条件确定函数表达式，然后根据不等式的解集得到方程的两个根，进而根据韦达定理求解参数值；
（2）首先将已知条件代入函数表达式中，根据系数对应相等求解系数与的值，然后根据为偶函数，得，代入求解系数的值，进而求解函数解析式；
（3）首先根据已知条件即韦达定理得到系数关系：，然后根据二次函数表达式，结合二次函数的性质确定的最小值，求解出，最后再根据对勾函数求解的最大值即可.
【小问1详解】
已知，，则，所以.
因为的解集为，所以，且，是方程的两个根.
根据韦达定理可得：，解得：；，解得：.
由此可得：.
【小问2详解】
已知，
将，，代入可得：
，
整理得：
，
即：，得：，解得：，.
所以.
又为偶函数，所以，
将代入可得：
，
整理得：
，
即：，得：.
综上可得：.
【小问3详解】
因为为方程的两个实数根，
所以，，又，，
由，
得：，即.
因为，故此时二次函数的对称轴直线到直线与到直线的距离均为.
则二次函数的对称轴直线为.
由于，，故.
因此当时，的最小值为.
即
，
令，根据对勾函数易知函数在上单调递增，
因此当时函数取得最小值，最小值为.
故当时取得最大值，最大值为
故的最大值为.