2025-2026学年北京市海淀区北京一零一中高二上学期期中考试数学试卷

这是一份2025-2026学年北京市海淀区北京一零一中高二上学期期中考试数学试卷，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本大题共10小题，共50分。
1．直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
2．已知向量与向量垂直，则实数x的值为（ ）
A．﹣1B．1C．﹣6D．6
3．圆和圆的位置关系为（ ）
A．内切B．相交
C．外切D．外离
4．已知点是圆上的动点，则直线的斜率的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
5．如图，M，N分别是四面体OABC的边OA，BC的中点，E是MN的三等分点，且，用向量表示为（ ）

A．B．
C．D．
6．如图，在正方体中，分别是的中点．用过点且平行于平面的平面去截正方体，得到的截面图形的面积为（ ）
A．B．C．D．
7．已知直线，，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
8．已知在正方体中，，是正方形及其内部的动点，，则满足条件的点构成的图形的面积等于（ ）
A．B．C．D．
9．如图，已知正三棱柱，E，F分别是棱上的点．记与所成的角为，与平面所成的角为，二面角的平面角为，则（ ）
A．B．C．D．
10．在平面直角坐标系中，对于定点，记点集中距离原点最近的点为．当点在曲线上运动时，点轨迹的长度为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本大题共6小题，共30分。
11．已知空间中三个点，，共线，则 ．
12．如图，已知分别是空间四边形对角线的中点，若，则与所成角的大小为 ．
13．过点且与圆相切的直线的方程为 .
14．如图，在四棱锥中，底面，底面为梯形，，．若点是线段上的动点，则满足的点的个数是 ．
15．已知点，过点作直线的垂线，垂足为，则的最大值为 ．
16．如图，正方体的棱长为2，动点，在棱上且，动点，分别在棱上（均不与点重合）．给出以下四个结论：

①直线与直线所成角的范围是；
②四面体体积的最大值为；
③当且为中点时，线段上一点到直线的距离的最小值为；
④当且分别为中点时，若空间中一个动点满足，则的最小值为5．
其中所有正确结论的序号为 ．
三、解答题：本题共4小题，共40分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．已知圆的方程为．
(1)求圆的圆心及半径；
(2)若直线经过点，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使直线存在且唯一确定，求直线的方程．
条件①：被圆所截得的弦长最长；
条件②：被圆所截得的弦长最短；
条件③：被圆所截得的弦长为8．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
18．如图，在三棱柱中，侧面是正方形，平面，点是线段的中点，点在线段上，满足平面．

(1)求证：是线段的中点；
(2)求二面角的余弦值；
(3)求点到平面的距离．
19．如图，直角三角形和等边三角形所在平面互相垂直，，点是直线上的动点．

(1)设为的中点，求证：；
(2)若直线和平面所成角的正弦值为，求的值；
(3)设点是直线上的动点，求线段的长度的最小值．
20．设集合．若的子集不含两个相邻的正整数，则称该子集为的“孤立子集”．
(1)写出的所有“孤立子集”；
(2)求的“孤立子集”个数；
(3)设集合的“孤立子集”个数为，求证：当时，.
参考答案
11．4
12．
13．或
14．2
15．
16．②③④
17．
（1）由圆的方程整理可得，
所以圆心为，半径为．
（2）选择条件①：若直线被圆所截得的弦长最长，则直线应过圆心，
即直线过点和，所以直线的斜率为，则直线的方程为．
选择条件②：若直线过点被圆所截得的弦长最短，则直线应与CA垂直，
又，所以.故直线方程为，即．
选择条件③：由条件②可知，弦长最短时，直线应与CA垂直，直线方程为，
此时圆心到直线l的距离，截得的最短弦长为，
由于，所以不存在满足条件的直线．
18．
（1）在中，过点N作交BC于点Q，连接QM，如图：

在三棱柱中，因为，所以，
所以，N，Q，M四点共面．
因为直线平面，平面，平面平面，
所以．所以四边形是平行四边形．
所．
所以为的中点．
（2）因平面，平面，所以，，
又因为正方形，，
故可以B为原点，BA，，BC所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如下图：

因为，
所以，，，，， ，
所以，．
设平面的一个法向量为，
由得，取，得．
易知平面的法向量.
，
由图可知二面角是钝角，所以二面角的余弦值为.
（3）由（1）知是线段的中点，所以，又，
则点到平面的距离为.
19．
（1）因为平面平面，且平面平面，，
所以平面，又平面，
所以，
又因为三角形是等边三角形，且为的中点，
所以，又，
所以平面，又平面，
所以，
（2）取线段AB的中点O，BC的中点F，连接OD,OF，
则，，
由（1）知平面，则平面，所以，
建立如图所示空间直角坐标系：

设，，则，
所以，
则，
设平面的一个法向量为，
则，即，
令，则，，
所以，
因为直线和平面所成角的正弦值为，
所以，
即，解得或舍去，所以；
（3）设，由（2）知：，
当直线是异面直线和的公垂线时，线段最短，
则 ，即 ，解得 ，
则 ，此时 ，
所以线段的长度的最小值为.
20．
（1）由题意可知，
则的孤立子集有，
的孤立子集有.
（2）设集合的“孤立子集”个数为，对于的“孤立子集”可分为两类，
一类为不包含的孤立子集，等价于的孤立子集个数，另一类为包含，但不包含的孤立子集，等价于的孤立子集个数，
可得；
由（1）可知，
则，
，
，
，
，
；
（3）由（2）可知，且，
猜想，
当时，左边，右边，
所以左边右边，即时，猜想成立；
设时，猜想成立，即，
当时，，
即时，猜想成立，
所以；
当时，左边，
右边，
左边右边，即当时，等式成立；
设时等式成立，即成立，
当时，
左边
因为，又因为，
所以，
由可知，
所以，
即左边，
右边，所以左边=右边；
即时，等式成立；
综上所述，当时，.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
B
C
B
D
B
A
D
A
D