（人教A版）必修一高一数学上学期期末考点训练常考题型21 利用诱导公式进行化简和求值（2份，原卷版+解析版）

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1.诱导公式的两个应用
①求值：负化正，大化小，化到锐角为终了．
②化简：统一角，统一名，同角名少为终了．
2.常见的互余关系有与，与，与等；
探究一：诱导公式一的应用
在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于轴对称，若，则（ ）
A．B．C．D．
思路分析：
根据终边关于y轴对称可得关系，再利用诱导公式，即可得答案；
【答案】B
【详解】在平面直角坐标系xOy中，角与角均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，
∴，∵，∴故选：B.
【变式练习】
1．函数，的图象与直线的交点的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【详解】的图象与直线的交点的个数，即方程在区间上的解的个数，
由在区间上的解为或，可得方程在区间上的解的个数为2，故选C.
2．设，则的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】解：因为，，则，因为，
即，所以，故选：B
探究二：诱导公式二、三、四的应用
若，，则（ ）
A．B．C．D．
思路分析：
根据诱导公式及三角函数的值在各象限的符号，再利用同角三角函数的平方关系即可求解.
【答案】A
【详解】由，得，又，所以，
所以.故选：A.
【变式练习】
1．若为任意角，则满足的一个的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【详解】因为，所以，即，
所以满足条件的一个的值为2.故选：B
2．如图，一质点在半径为1的圆O上以点为起点，按顺时针方向做匀速圆周运动，角速度为，5s时到达点，则（ ）
A．-1B．C．D．
【答案】C
【详解】设单位圆与轴正半轴的交点为，则，所以，，故.故选：C
探究三：诱导公式五、六的应用
已知角 的终边经过点 ，则 的值为（ ）
A．B．C．D．
思路分析：
根据三角函数的定义，求得，再结合诱导公式，得到，即可求解.
【答案】A
【详解】由题意，角的终边经过点，可得，根据三角函数的定义，可得，又由.故选：A.
【变式练习】
1．设α为锐角，若cs＝－，则sin的值为（ ）
A．－ B．C．－D．
【答案】D
【详解】因为，所以，
所以.故选：D.
2．已知锐角终边上一点A的坐标为，则角的弧度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】，又，为锐角，∴ ，
故选：A.
探究四：利用诱导公式证明三角恒等式
若角的终边落在直线上，则_____．
思路分析：
化简得到，考虑角为第一或第三象限角两种情况，计算得到答案.
【答案】或
【详解】因为角的终边落在直线上，所以角为第一或第三象限角，
，
当角为第一象限角时，，；
当角为第三象限角时，，．
故答案为：或.
【变式练习】
1．若cs α＝，且α是第四象限角，则cs(α＋)＝________．
【答案】
【详解】由题意得sin α＝－＝－，所以cs(α＋)＝－sin α＝．故答案为：
2．若是锐角三角形的内角，则点在第_____________象限.
【答案】二
【详解】由题得,因为锐角三角形,
故,故,即.
又,同理.即.
故点在第二象限.
故答案为：二
探究五：利用诱导公式进行三角函数的化简求值
化简：＝________.
思路分析：
由诱导公式可得，整体代入原式结合三角函数公式化简可得出答案.
【答案】
【详解】原式=
故答案为：
【变式练习】
1．若，，则___________.
【答案】-1
【详解】因为，所以，
所以，
所以，即或,
当时，因为，所以，
所以，所以，所以，所以.
当时，即，所以，
所以，则.因为，所以，所以，
故不符合题意，应舍去，综合以上，故答案为：-1
2．______．
【答案】
【详解】由题意，原式=
.
故答案为：.
一、单选题
1．（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】.故选：D.
2．（ ）
A．B．C．D．1
【答案】B
【详解】.故选：B
3．按从小到大排列的顺序为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】，因为，在上为增函数，
所以，所以，故选：B
4．（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】；故选：B．
5．若，则函数的最大值与最小值之和为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】，
当时，，，当时，；当时，；.故选：C.
6．已知为第三象限角，，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】由，则，又为第三象限角，
所以，则，，
目标式可化为.故选：D
7．（ ）
A．3B．4C．D．
【答案】B
【详解】
＝．故选：B．
8．已知角的终边与单位圆相交于点，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】角的终边与单位圆相交于点P(sin11π6,cs11π6),.
故选：D.
二、多选题
9．下列各式化简中，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【详解】A：，正确；B：，错误；
C：，正确；
D：，故，
而，所以，正确.
故选：ACD
10．已知，，则可能等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】BD
【详解】解：因为，
所以由得，所以，因为
所以可能等于或故选：BD
11．在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点（cs，sin），，则下列说法正确的是（ ）
A．线段与的长均为1B．线段的长为1
C．若点，关于y轴对称，则D．当时，点，关于x轴对称
【答案】ACD
【详解】，同理可求，A正确；
由题意得：，由勾股定理得：，B错误；
若点，关于y轴对称，则，，则，，解得：，C正确；
当时，，即，即，关于x轴对称，D正确.故选：ACD
三、填空题
12．在平面直角坐标系中，动点在单位圆上按逆时针方向作匀速圆周运动，每12分钟转动一周.若点的初始位置坐标为，则运动到3分钟时，动点所处位置的坐标是____________.
【答案】
【详解】解：由题意可得图：
每12分钟转动一周，则运动到3分钟时，转过的角为；点的初始位置坐标为，若角的始边为轴的非负半轴，此时角终边所在直线为，则运动到3分钟时，形成的角度为，所以动点所处位置的坐标是．故答案为：．
13．已知，则___________.
【答案】
【详解】因为，
所以.故答案为：.
14．计算__________．
【答案】
【详解】
.故答案为：
四、解答题
15．（1）已知，求的值.
（2）求的值.
【答案】（1）2；（2）
【详解】解：（1）因为，所以；
（2）.
16．(1)化简：；
(2)已知角的终边经过点，求，的值；
【答案】(1)(2)，.
【详解】（1）.
（2）因为角的终边经过点，所以，
所以，.
17．已知．
(1)求的值；
(2)若为第四象限角，求的值．
【答案】(1)；(2)
【详解】（1）由题意得，
.
（2）由，得，代入，得，
因为为第四象限角，所以，，故．
18．已知，
(1)求，；
(2)求.
【答案】(1)答案见解析；(2)
【详解】（1）由为第一或第三象限角
又，则，联立解得，
①当为第一象限角时，则，
②当为第三象限角时，则，
（2）原式
19．已知，为第二象限角.
(1)若，求的值；
(2)若，求的值.
【答案】(1)；(2)
【详解】（1）为第二象限角，则.
.
∵，∴.
∴.
（2），则.
∵为第二象限角，∴，，.
∴
.
20．(1)请化简：．
(2)已知,,求.
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）原式=
（2）因为，两边平方得，有
所以
又因为，所以，，则，所以．诱导公式一
诱导公式二
诱导公式三
诱导公式四
诱导公式五
诱导公式六
诱导公式七
诱导公式八