（人教A版）必修一高一数学上学期期末考点训练常考题型20 任意角、弧度制与三角函数的概念（2份，原卷版+解析版）

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1.角的概念的推广
①按旋转方向不同分为正角、负角、零角．
②按终边位置不同分为象限角和轴线角．
③终边相同的角：终边与角相同的角可写成．
2.弧度制的定义和公式
①1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．
②规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，，是以角作为圆心角时所对圆弧的长，为半径．
③用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制．比值与所取的的大小无关，仅与角的大小有关．
④弧度与角度的换算：；．
若一个角的弧度数为，角度数为，则，．
3.任意角的三角函数
设是一个任意角，角α的终边与单位圆交于点，那么
①点的纵坐标叫角α的正弦函数，记作；
②点的横坐标叫角α的余弦函数，记作；
③点的纵坐标与横坐标之比叫角α的正切函数，记作（）.它们都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数．
4.扇形的弧长及面积公式
(1)弧长公式：在半径为的圆中，弧长为的弧所对的圆心角大小为，则变形可得，此公式称为弧长公式，其中的单位是弧度．
(2)扇形面积公式
5.角度制与弧度制可利用进行相互转化，在同一个式子中，采用的度量方式必须统一，不可混淆.
6.象限角：
7.同角的三角函数关系
同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin2α＋cs2α＝1.
(2)商数关系：eq \f(sin α,cs α)＝tan αeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z)).
同角三角函数基本关系式的变形
(1)sin2α＋cs2α＝1的变形公式：sin2α＝1－cs2α；cs2α＝1－sin2α；
(2)tan α＝eq \f(sin α,cs α)的变形公式：sin α＝csαtanα；cs α＝eq \f(sin α,tan α).
方法指导
一、三角函数在各象限内的符号口诀是：一全正、二正弦、三正切、四余弦.
二、三角函数线的应用
1．三角函数线的作法步骤
(1)作直角坐标系和角的终边．
(2)作单位圆，圆与角的终边的交点为P，与x轴正半轴的交点为A.
(3)过点P作x轴的垂线，垂足为M.
(4)过点A作x轴的垂线，与角的终边或其反向延长线交于点T.
(5)有向线段MP，OM，AT即分别为角的正弦线，余弦线和正切线．
2．利用三角函数线解简单不等式的方法
利用三角函数线求解不等式，通常采用数形结合的方法，求解关键是恰当地寻求点，一般来说，对于sin x≥b，cs x≥a(或sin x≤b，cs x≤a)，只需作直线y＝b，x＝a与单位圆相交，连接原点和交点即得角的终边所在的位置，此时再根据方向即可确定相应的x的范围；对于tan x≥c(或tan x≤c)，则取点(1，c)，连接该点和原点即得角的终边所在的位置，并反向延长，结合图象可得．
3．利用三角函数线比较大小的步骤
①角的位置要“对号入座”；
②比较三角函数线的长度；
③确定有向线段的正负．
三、应用弧度制解决问题的方法
1.利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．
2.求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题．
3.在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．
四、同角的三角函数关系的应用
1.利用sin2α＋cs2α＝1可实现正弦、余弦的互化，开方时要根据角α所在象限确定符号；
2.利用eq \f(sin α,cs α)＝tan α可以实现角α的弦切互化．
3.弦的齐次问题
(1)形如asinα＋bcsα和asin2α＋bsinαcsα＋ccs2α的式子分别称为关于sinα，csα的一次齐次式和二次齐次式，对涉及它们的三角变换通常转化为正切(分子分母同除以csα或cs2α)求解．如果分母为1，可考虑将1写成sin2α＋cs2α.
(2)已知tanα＝m的条件下，求解关于sinα，csα的齐次式问题，必须注意以下几点：
①一定是关于sinα，csα的齐次式(或能化为齐次式)的三角函数式．
②因为csα≠0，所以可以用csnα(n∈N*)除之，这样可以将被求式化为关于tanα的表示式，可整体代入tanα＝m的值，从而完成被求式的求值运算．
4.对于sin α＋cs α，sin αcs α，sin α－cs α这三个式子，利用(sin α±cs α)2＝1±2sin αcs α，可以知一求二．
5.化简过程中常用的方法有：
(1)化切为弦，即把非正、余弦的函数都化为正、余弦函数．从而减少函数名称，达到化简的目的．
(2)对于含有根号的，常把根号下化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的．
题型探究
探究一：象限角及其判断
已知是第二象限角，则（ ）
A．是第一象限角B．
C．D．是第三或第四象限角
思路分析：
由已知可求，，，，逐项分析即可得解．
【答案】C
【详解】∵是第二象限角，∴，，即，，
∴是第一象限或第三象限角，故A错误；
由是第一象限或第三象限角，或，故B错误；∵是第二象限角，
∴，，∴，，∴是第三象限，第四象限角或终边在轴非正半轴，，故C正确，D错误. 故选：C．
【变式练习】
1．若是第一象限角，则是（ ）
A．第一象限角B．第一、四象限角
C．第二象限角D．第二、四象限角
【答案】D
【详解】由题意知，，，则，
所以，．当k为偶数时，为第四象限角；当k为奇数时，为第二象限角．所以是第二或第四象限角.故选：D.
2．若是第四象限角，则点在第（ ）象限.
A．第四象限B．第三象限
C．第三、四象限D．第一、二象限
【答案】C
【详解】因是第四象限角，即，则，
当k是奇数时，是第二象限角，，点在第三象限，
当k是偶数时，是第四象限角，，点在第四象限，所以点在第三、四象限.
故选：C
探究二：弧长公式与扇形面积公式
月牙泉，古称沙井，俗名药泉，自汉朝起即为“敦煌八景” 之一，得名“月泉晓澈”，因其形酷似一弯新月而得名，如图所示，月牙泉边缘都是圆弧，两段圆弧可以看成是的外接圆和以为直径的圆的一部分，若，南北距离的长大约m，则该月牙泉的面积约为（ ）（参考数据：）

A．572m2B．1448m2C．m2D．2028m2
思路分析：
由题意可得，求出内侧圆弧所在圆的半径，利用扇形的弧长公式和面积公式求出弓形的面积，再求出以为直径的半圆的面积，相减即可
【答案】D
【详解】设的外接圆的半径为，则，得，
因为月牙内弧所对的圆心角为，所以内弧的弧长，
所以弓形的面积为，
以为直径的半圆的面积为，所以该月牙泉的面积为
，故选：D
【变式练习】
1．已知一扇形的周长为，则当该扇形的面积取得最大时，圆心角大小为（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】D
【详解】设扇形的半径为，弧长为，则，所以，扇形面积，当时，有最大值，此时圆心角，故选：D
2．已知扇形的面积为，当扇形的周长最小时，扇形的圆心角为（ ）
A．1B．2C．4D．8
【答案】B
【详解】设扇形的圆心角为，半径为，则由题意可得∴ ，当且仅当时 , 即时取等号，∴当扇形的圆心角为2时 , 扇形的周长取得最小值32.
故选：B.
探究三：任意角的三角函数的概念及特殊角的三角函数值得求解
“角的终边经过点”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
思路分析：
根据三角函数的定义可判断角的终边经过点，可以推出，当时，角的终边有两种可能位置，不一定经过点，由此可得答案.
【答案】A
【详解】由角的终边经过点，设点为P，则,可得 ,由，知 终边在第一象限或第二象限，因此角的终边经过点或，所以“角的终边经过点”是“”的充分不必要条件，故选：A
【变式练习】
1．已知角的始边与轴非负半轴重合，终边上一点，若，则（ ）
A．3B．C．D．
【答案】C
【详解】解：因为角的终边上一点，所以，又，
所以为第四象限角，所以，又因，所以.故选：C.
2．2022年冬奥会在北京市和张家口市举行，北京也成为世界第一个“双奥”之城，北京冬奥会向世界展现了阳光､自信､开放､充满希望的中国形象，为世人留下许多精彩瞬间，其中“冰墩墩”给人留下了深刻印象，它的左手手心的爱心形状向世界表达了友好交流的寓意.如图，心形曲线可以表示为，A为曲线上一点，记OA与x非负半轴所成的角为，则当时，可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】由三角函数的定义，得，代入曲线方程有，则，由选项：若时，
若时，，若时，
若时，故选：C.
探究四：三角函数线的应用
已知，则的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
思路分析：
先证明当0＜x＜时，，从而可得，再利用正切函数和余弦函数的单调性可得答案.
【答案】C
【详解】先证明：当0＜x＜时， ，如图，角x终边为OP，其中点P为角x的终边与单位圆的交点，PM⊥x轴，交x轴与点M，A点为单位圆与x轴的正半轴的交点，AT⊥x轴，交角x终边于点T，则有向线段MP为角x的正弦线，有向线段AT为角x的正切线，设弧PA＝l＝x×1＝x，
由图形可知：S△OAP＜S扇形OAP＜S△OAT，即
所以＜＜，即所以
又由函数在上单调递增，所以，
又由函数在上单调递减，则 所以
所以，即 故选：C．
【变式练习】
1．若，则的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】如图，
在单位圆中，作出内的一个角及其正弦线、余弦线、正切线.由图知，，又分别与轴、轴的正方向相反，而与轴的正方向相同，
所以.故选：D
2．在单位圆中，可以用线段表示，和，当时，它们从小到大排序为（ ）
A．，，B．，，C．，，D．，，
【答案】B
【详解】
上图所示圆为单位圆，设，则，，，观察可得，当时，故选：B
探究五：同角的三角函数的关系及其应用
已知（ ）.
A．5B．4C．3D．2
思路分析：
利用同角三角函数间的基本关系，将分式的分子和分母分别除以，化简整理即可求解.
【答案】A
【详解】因为，由题意可知:,将分式的分子和分母分别除以，可得:,解得:.故选：.
【变式练习】
1．已知，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】由已知，，
平方得：，∴
∴∵，∴，，∴，∴.故选：C.
2．化简的结果是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】．故选：D
题型突破训练
一、单选题
1．下列命题：
第四象限的角可表示为
第二象限角大于第一象限角
将表的分针拨快分钟，则分针转过的角为
若是第二象限角，则的终边在第一象限．
其中真命题的个数是（ ）
A．个B．个C．个D．个
【答案】A
【详解】对于A,，第四象限的角可表示为，所以①错，
对于B，大小为的角在第二象限，大小为的角在第一象限，但，所以②错，
对于C，将表的分针拨快分钟，则分针转过的角为所以③错，
对于D，大小为的角在第二象限，但的终边在第三象限；所以④错，
所以真命题的个数为0，故选：A.
2．已知角，则的终边在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】C
【详解】因为，而，所以的终边在第三象限.故选：C.
3．与角终边相同的角可以表示为（ ）
A． B．
C．D．
【答案】A
【详解】与角终边相同的角为，故与角终边相同的角可以表示为.故选：A
4．如果，那么下列不等式成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】解：对于A：若，，满足，但是，故A错误；
对于B：因为，所以，故B错误；对于C：因为，所以，故C正确；
对于D：因为，所以，故D错误；故选：C
5．设，如果且，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】，，则，所以，，则，所以．故选：D．
6．设MP，OM和AT分别是角的正弦线、余弦线和正切线，则下列式子正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】根据题意在单位圆中作出角的正弦线、余弦线和正切线，如下：
由图可知，∵，∴，
∴，∴，故选：B
7．已知sinα+csα＝，则sin2α＝（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】解：∵， ∴，∴，∴．故选：A．
8．设，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】因为，，则，又因为，所以，
故选：B
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．是第二象限角B．已知，则
C．D．若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为3
【答案】ACD
【详解】，是第二象限角，则是第二象限角，故A正确；
，，故B错误；，故C正确；
设扇形的半径为，则，则，故D正确；故选：ACD
10．已知扇形的半径为，弧长为，若其周长为4，则下列说法正确的是（ ）
A．若该扇形的半径为1，则该扇形的面积为1
B．该扇形面积的最大值为1
C．当该扇形面积最大时，其圆心角为2
D．的最小值为3
【答案】ABC
【详解】对于A：因为r=1,周长为l+2r=4，所以l=4-2r=2，所以扇形的面积为,故A正确；
对于B：由已知l+2r=4，所以l=4-2r，又扇形的面积为，
（当且仅当，即时取得最大值）.故B正确;
对于C：当扇形面积为最大时，由对上面选项B分析可知且时,面积最大,圆心角.故C正确；对于D.因为，所以，
所以（当且仅当，即时等号成立）.故D错误.故选：ABC
11．已知且.下列选项中，满足为定值（与a，x的取值均无关）的是（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】ABC
【详解】对于A：为定值.故A正确；
对于B：为定值.故B正确；
对于C：为定值.故C正确；
对于D：不是定值.故D错误.
故选：ABC
三、填空题
12．已知，且，则____.
【答案】
【详解】解：，两边平方，可得，可得，
，可得，，可得，
．故答案为：.
13．若实数，满足，则的最大值为______.
【答案】
【详解】因为实数，满足，令，
则
当时，取最大值，故答案为：.
14．若，则x的取值范围是____________.
【答案】
【详解】因为，即，
当时，所以，因为，
所以，所以，所以x的取值范围是：.
故答案为：.
四、解答题
15．根据角度制和弧度制的转化，已知条件：，
(1)把表示成的形式；
(2)求，使与的终边相同，且．
【答案】(1)；(2).
【详解】(1)依题意，，所以.
(2)由(1)知，，而，则，解得，
所以.
16．如图，在平面直角坐标系xOy中，角α的始边与x轴的非负半轴重合且与单位圆相交于A点，它的终边与单位圆相交于x轴上方一点B，始边不动，终边在运动．
(1)若点B的横坐标为－，求tan α的值；
(2)若△AOB为等边三角形，写出与角终边相同的角的集合；
(3)若，请写出弓形AB的面积S与的函数关系式．
【答案】(1)(2)(3)
【详解】(1)解：由题意可得，根据三角函数的定义得.
(2)解：若为等边三角形，则，故与角终边相同的角β的集合为.
(3)解：若，则扇形的面积为，由，
所以弓形的面积为
17．已知.
(1)求的值
(2)若，求的值.
【答案】(1)；(2).
【详解】（1）解：，∴.
（2）解：原式=，∵，
又∵，∴，，，∴，∴原式.
18．由倍角公式，可知可以表示为的二次多项式，对于，我们有
．
可见可以表示为的三次多项式．
(1)对照上述方法，将可以表示为的三次多项式；
(2)若，解关于x的方程．
【答案】(1)；(2).
【详解】(1)
；
(2)由，可得，
∵，，∴，即，
整理可得，解得或（舍去），
∴.
19．（1）是否存在实数，使，使，，且是第二象限角？若存在，请求出实数；若不存在，情说明理由.
（2）若，，求的值.
【答案】（1）不存在，理由见解析；（2）
【详解】解：（1）假设存在实数，使，，
因为是第二象限角，所以，，解得，
又，即，解得，
与矛盾，故不存在实数满足题意；
（2）因为，所以
，．
．角度制
弧度制
象限角
集合
区间
第一象限角
第二象限角
第三象限角
第四象限角