重庆市南开中学2026届高三上学期第三次质量检测（11月期中）数学试卷（Word版附解析）

这是一份重庆市南开中学2026届高三上学期第三次质量检测（11月期中）数学试卷（Word版附解析），文件包含重庆市南开中学2026届高三上学期第三次质量检测11月期中数学试题原卷版docx、重庆市南开中学2026届高三上学期第三次质量检测11月期中数学试题Word版含解析docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共27页， 欢迎下载使用。
注意事项：
1. 本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟.
2. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
3. 回答选择题时， 选出每小题答案后， 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改
动， 用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本
试卷上无效.
4. 考试结束后， 将本试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只
有一项符合题目要求.
1. 命题“ ”的否定为（ ）
A B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据存在量词命题的否定形式，直接求解.
【详解】存在量词命题 否定是全称量词命题，
所以命题“ ”的否定为“ ”.
故选：C
2. 若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】将条件平方后，结合同角三角函数基本关系式和二倍角公式，即可求解.
【详解】 ，
第 1页/共 22页
得
故选：B
3. 已知 为虚数单位，复数 满足 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据复数模的运算性质及共轭复数模相等求解.
【详解】 ，
，即 ，
化简可得 ，即 ，
所以 ，
故选：A
4. 若函数 的图象关于直线 对称，则实数 的值为（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】由对称性知函数定义域关于点 对称，即可得解.
【详解】设 ，
因为函数 ，
所以 ，解得 ，即函数定义域为 ，
因为函数 的图象关于直线 对称，
所以 ，解得 ，
此时 ， ,
第 2页/共 22页
的图象关于直线 对称，故 符合.
故选：C
5. 已知向量 满足 ，则 （ ）
A. B. C. 1 D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】根据数量积的运算法则求解即可.
【详解】 ，
，
故选：A
6. 已知各项均为正数的等比数列 满足： ，则 的公比 （ ）
A. 6 B. 4 C. 3 D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】先讨论 时不满足题意，再结合等比数列前 项和公式讨论 情况即可.
【详解】解：因为各项均为正数的等比数列 满足： ，
当 时， ，不满足题意，故
，
所以 ，
即
因为
第 3页/共 22页
所以 ，即 ，解得 （舍），
所以 .
故选：D
7. 已知等差数列 的前 项和 存在最大值，且 ，则 取得最小正值时 为
（ ）
A. 1 B. 27 C. 28 D. 29
【答案】B
【解析】
【分析】根据条件确定等差数列的首项和公差的正负，再结合 所在二次函数的图象和性质，即可求解.
【详解】 存在最大值，所以数列 的公差 ，
由 ，且 ， ，所以数列 是首项 ， 的等差数列，
，则 ，
， ，
可得: ，
，
所以则 取得最小正值时 为 .
故选：B
8. 若点 为 的外心，且满足 ，则 的最大值为（ ）
A. B. 1 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用 将 整理得到 ，利用余弦定理得到
第 4页/共 22页
，得到角 的范围，从而求出 的最大值.
【详解】设 ，
， ，
，
，
，
， ，
，
，
，
.
故选：C.
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有
多项符合题目要求 全部选对得 6 分， 部分选对得部分分， 有选错得 0 分.
9. 已知平面向量 ，则下列说法正确 有（ ）
A. 若 ，则
B. 若 ，则
C. 若 与 的夹角为锐角，则实数 的范围为
D. 当 时， 在 上的投影向量的坐标为
【答案】ABD
【解析】
第 5页/共 22页
【分析】根据 判断 A，根据向量共线的坐标表示判断 B，根据 且 不同向判断 C，根据投
影向量的定义判断 D.
【详解】对于 A：若 ，则 ，解得 ，故 A 正确；
对于 B：若 ，则 ，解得 ，故 B 正确；
对于 C：当 与 夹角为锐角时，则 ，解得 ，
又 时， ，此时向量 夹角为 0，
所以当 与 的夹角为锐角时， 的取值范围为 且 ，故 C 错误；
对于 D：当 时， ，所以 ， ，
所以 在 上的投影向量为 ，故 D 正确；
故选：ABD．
10. 已知各项均为正数的数列 ，其前 项和 满足 ，下列说法正确的有（
）
A. 当 时，
B. 为单调递减数列
C. 可能为等比数列
D. 当 时， 中总存在小于 的项
【答案】BD
【解析】
【分析】根据递推关系求出 判断 A，利用作差法判断数列单调性判断 B，假设数列为等比数列，
由等比数列通项公式求出公比判断 C，由反证法及不等式性质求出 范围，再由此得出 的范围即
可判断 D.
【详解】当 时， ，取 ，则 ，又 ，则 ，
第 6页/共 22页
当 时， ，解得 ，故 A 错误；
时， ，
所以 ，所以 为单调递减数列，故 B 正确；
假设 为等比数列，则 ，又 ，即 ，化简得 ，
，化简可得 ，故 C 错误；
当 时， ，则 ，假设 ，
则 ， ，
与假设矛盾， 中总有小于 的项，故 D 正确.
故选：BD
11. 某公益组织一直关注青少年的成长，该组织的会标设计灵感便来源于“成长”一词的拼音首字母 ，
该会标的大致轮廓为如图所示的一个以 为圆心、 为直径的半圆，和一段 形折线 组成， 其
中 . 现有两动点 在圆弧 和线段 (包含端点)上
运动， 则下列说法正确的有（ ）
A. 的最大值为
B. 若 ，则 的取值范围是
C. 最大值为 2
第 7页/共 22页
D. 若 ，则 在 上的投影向量模长的取值范围是 .
【答案】ACD
【解析】
【分析】A.利用数形结合，以及圆的形式，即可判断；B.建立坐标系，设 ， ，
利用坐标法以及三角函数表示 ，即可求解；C.讨论点 的位置，利用坐标法，以及变量的范围，即可
求解；D.分点 的位置，讨论投影向量的模长.
【详解】A.由图可知， ，当点 三点共线时，等号成立，
所以 的最大值为 ，故 A 正确；
B.如图，建立平面直角坐标系， ， ， ， ， ， ，
，
所以 ，所以 ，
所以 ，故 B 错误；
C. 设 在线段 上时，设 ，
， ,
所以 ， 所以 的最大值为 2，
当点 在线段 上时， 所在直线方程为 ，设 ，
， ，
第 8页/共 22页
所以 的最大值为 2，
综上可知， 的最大值为 2，故 C 正确；
D. 设 在线段 上时， ， ，当点 与点 重合时， ，
此时 在 上的投影向量模长为 0，
当点 在线段 上时， ， ，
， ，由 可知，
， ，
在 上的投影向量模长为
，
设 ， ，
设 ，所以 的值域是 ，
所以 的值域是 ，
综上可知， 在 上的投影向量模长的取值范围是 ，故 D 正确.
故选：ACD
三、填空题：本题共 3 小题， 每小题 5 分， 共 15 分.
12. 已知函数 ，请写出一条过点 且与 的图象相切的直线方程_____.
【答案】 或 （写出其中一条即可）
【解析】
【分析】设切点，利用导数求出切线斜率，得出切线方程，代入所过点坐标即可得解.
【详解】 ，设切点 ，
第 9页/共 22页
则切线方程为 ，即 ，
因为过点 ，所以 ，
解得 或 ，
所以切线方程为 或
故答案为： 或 （写出其中一条即可）
13. 某零件厂共有编号分别为一、二、三、四的四个生产车间，已知 2025 年 9 月份第一、四车间生产的
零件数分别为 73 万件和 145 万件， 若四个车间产量随编号增加而增加， 且四个车间产量的中位数与平
均数相等，则 2025 年 9 月份该厂生产的零件总数为_____万件.
【答案】
【解析】
【分析】根据中位数和平均数公式，列等量关系式，即可求解.
【详解】设第二、三车间生产的零件数分别为 ， ，则 ，
由条件可知， ，得 ，
所以该厂生产的零件总数为 万件.
故答案为：
14. 已 知 数 列 的 通 项 公 式 分 别 为 ， ， 数 列 满 足
. 若对任意的 的值均能构成三角形，则满足条件的正整数 的所有取
值和为_____.
【答案】
【解析】
【分析】由 可知 范围，再由三角形三边关系可得 的不等关系，结合函数零
点解不等式可得.
【详解】由题意 ，不妨设 ，
三点均在第一象限内，由 可知， ，
故点 恒在线段 上，则有 .
第 10页/共 22页
即对任意的 ， 恒成立，
令 ，构造函数 ，
则 ，由 单调递增，
又 ，存在 ，使 ，
即当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增；
故 至多 个零点，
又由 ，
可知 存在 个零点，不妨设 ，且 .
①若 ，即 时，（ 为正整数，等号取不到），此时 .
则 ，可知 成立，
要使 、 、 的值均能构成三角形，
所以 恒成立，故 ，
所以有 ，解得 ；
②若 ，即 时，此时 .
则 ，可知 成立，
要使 、 、 的值均能构成三角形，
所以 恒成立，故 ，
所以有 ，解得 或 ；
所以满足条件的正整数 的所有取值和为
故答案为：
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
第 11页/共 22页
15. 已知函数 .
（1）求 的最小正周期和单调递增区间；
（2）现将函数 的图象向右平移 个单位后得到函数 的图象，若 ，求函数 的
值域.
【答案】（1）最小正周期为 ；单调递增区间是 ， ；
（2）
【解析】
【分析】（1）首先利用辅助角公式化简函数 ，再根据三角函数的性质，即可求解；
（2）根据平移规律写出函数 的解析式，再利用代入法，结合正弦函数的值域，即可求解.
【小问 1 详解】
由辅助角公式得 ，
函数 的最小正周期 ；
令 ， ，解得 ， ，
所以函数 的单调递增区间是 ， ；
【小问 2 详解】
由题意得 ，
当 ， ，则 ，
则 ，
第 12页/共 22页
所以函数 的值域是 .
16. 已知四棱台 ，底面四边形 为菱形， ，
且侧棱 平面 .
（1）证明： 平面 ；
（2）记 ，求直线 与平面 所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析；
（2） .
【解析】
【分析】（1）底面四边形 为菱形， ，则 为 的中点，可得 ，从而
得到 平面 ；
（2）取 中点 ，可以得到以 为原点， 、 、 分别为 轴建立空间直角坐标系，如图
所示，根据长度写出点的坐标，根据 得到 ，从而得到 ，利用向量求
出 的坐标，求出平面 的法向量 和 ， 利用向量的数量积得到直线 与平面 所成角的正
弦值.
【小问 1 详解】
，底面四边形 为菱形， ，
，则 ，设 ，连接 ，
底面四边形 为菱形，
为 的中点，
第 13页/共 22页
，
，
，
为平行四边形，
，
平面 ， 平面 ，
平面 ；
小问 2 详解】
底面四边形 为菱形， ，
是等边三角形，
取 中点 ，连接 ，则 ，
，
，
平面 ，
以 为原点， 、 、 分别为 轴建立空间直角坐标系，如图所示，
，
， ， ， ， ，
， ，
，
，
第 14页/共 22页
，
，
， ，
，
设 ，则 ，
，
，
，
，
， ，
， ，
设平面 的法向量为 ，
，则 ，取 ，解得 ， ，
则 ， ，
， ， ， ，
设直线 与平面 所成的角为 ，
则 ，
第 15页/共 22页
直线 与平面 所成角的正弦值 .
17. 已知双曲线 的渐近线方程为 ，焦距为 4.
（1）求双曲线 的方程；
（2）已知过点 的直线 与双曲线 右支交于 两点（ 第一象限 ） ，若 为坐标原点，
的面积为 面积的 2 倍，求直线 的方程.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意得 ，再结合 即可求解；
（2）根据题意设直线 的方程为 ，进而直线
与双曲线方程联立，并结合 求解即可得答案.
【小问 1 详解】
因为双曲线 的渐近线方程为 ，焦距为 4.
所以双曲线 的焦点在 轴上，且 ，即 ，
因为 ，所以 ， ， ，
第 16页/共 22页
所以双曲线 的方程为 .
【小问 2 详解】
根据题意，设直线 的方程为 ，
联立方程 得 ， 且 ，
所以 ，
因为 的面积为 面积的 2 倍，
所以 ，
代入 得 ， ，
所以 ，即 ，解得 ，
当 时， ， 与 矛盾，故 舍去，
当 时， ， ， ，满足题意.
所以 ，此时直线 的方程为： ，即
所以直线 的方程为 .
18. 已知函数
（1）若函数 有两个极值点 .
（i）求实数 的取值范围；
第 17页/共 22页
（ii）求证： ；
（2）若 对 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】（1）（i） （ii）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）（i）由题意转化为 有两个不等根 ，利用导数分析 的单调性、
极值即可求解；
（ii）转化为证明 ，构造函数 ，利用导数分析单调性，即
可得证；
（2）先证明：① ，② ，分类讨论 的大小，再有放缩法分析即可得证.
【小问 1 详解】
因为 ，
要满足题意，则 有两个不等根 ，
由 ，解 得 ，
所以 在 单调递减，在 单调递增，
故 ，
又 时， ； 时， ，
（i）若 有两个不等根 ，
则 ，即 ，
此时 的两侧导数正负符号都相反，所以 都是极值点；
（ii）由上面讨论可知： ，
故要证 ，即证 ，即证 ，
即证 ，令 ，
第 18页/共 22页
则 ，
由于 ，所以 ，又 单调递增，
所以 ，所以 ，
在 单调递增， ，
所以 成立，故 得证.
【小问 2 详解】
先证两个结论：① ；②
证明结论①：令 ，则 ，
所以 在 单调递减，在 单调递增，
所以 ，即 ；
证明结论②：令 ，则 ，
所以 在 单调递减，在 单调递增，所以 ，即
由题意可得 对 恒成立，
(1)当 时， ，不满足题意；
(2)当 时， ，
综上：
19. 已知数列 和 满足 ，且 且 .
（1）求数列 和 的通项公式；
（2）令 ，求数列 的前 项和 ；
（3）将数列 和 的所有项从小到大重新排序得到数列 . 在数列 的前 项中随机取一项
，再从不大于 的项中随机抽取一项，将其值记为随机变量 ，若 的期望为
第 19页/共 22页
，求证： .
【答案】（1）
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由条件递推公式得到 ，结合等差数列通项公式即可求解；
（2）由（1）得到 ，由裂项相消法求和即可；
（3）由题意确定以题意可知： ，得到随机变量 的取值为：
，由条件概率得到 ，结合期望
的计算公式求解即可.
【小问 1 详解】
由 ， ，又
所以
， ，
即 ，
即 的奇数项和偶数项都是以 为公差的等差数列，
所以 ，
所以
【小问 2 详解】
所以
第 20页/共 22页
【小问 3 详解】
以题意可知： ，
所以随机变量 的取值为： ，
，
，
，
，
，
，
所以
，
又 ，
第 21页/共 22页
，
所以 得证.
第 22页/共 22页