第50讲　数据分析——列联表与独立性检验高考数学一轮复习讲义练习

这是一份第50讲　数据分析——列联表与独立性检验高考数学一轮复习讲义练习，共17页。试卷主要包含了968，因为χ2＞10，828＝x0，879＝x0等内容，欢迎下载使用。

附：χ2＝ eq \f(n(ad－bc)2,(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d))，n＝a＋b＋c＋d.
激活思维
1. 为调查中学生近视情况，测得某校150名男生中有80名近视，140名女生中有70名近视．在检验这些学生眼睛近视是否与性别有关时，下列方法最有说服力的是( C )
A. 回归分析B. 均值与方差
C. 独立性检验D. 概率
2. 某科研机构为了研究中年人秃发与心脏病是否有关，随机调查了一些中年人的情况，具体数据如下表：
根据表中数据得到χ2≈15.968，因为χ2＞10.828，所以断定秃发与心脏病有关系，则这种判断出错的可能性不大于_0.001_．
【解析】 因为χ2＞10.828＝x0. 001，所以判断出错的可能性不大于0.001.
3. (人A选必三P139复习参考题T3)根据分类变量x与y的观测数据，计算得到χ2＝2.974.依据α＝0.05的独立性检验，结论为( C )
A. 变量x与y不独立
B. 变量x与y不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.05
C. 变量x与y独立
D. 变量x与y独立，这个结论犯错误的概率不超过0.05
【解析】 因为χ2＝2.974＜x0.05＝3.841，所以变量x与y独立．又2.706＜2.974＜3.841，所以这个结论犯错误的概率不超过0.1.
4. (人A选必三P134练习T4改)已知变量X，Y，由它们的样本数据计算得到χ2的观测值χ2≈4.328，则最大有_95%_(填百分数)的把握说变量X，Y有关系．
【解析】 因为χ2≈4.328＞3.841＝x0.05，所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为变量X，Y有关系，所以最大有95%的把握认为变量X，Y有关系．
5. (人A选必三P135习题T8)调查某医院一段时间内婴儿出生的时间和性别的关联性，得到如下的列联表(单位：人)：
依据α＝0.1的独立性检验，则在犯错误的概率不超过_0.1_的前提下可以认为性别与出生时间有关联．
【解析】 由题意得χ2的观测值为χ2＝ eq \f(89×(24×26－8×31)2,55×34×32×57)≈3.689＞2.706，所以在犯错误的概率不超过0.1的前提下可以认为性别与出生时间有关联．
聚焦知识
1. 2×2列联表
一般地，假设有两个分类变量X和Y，它们的取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其2×2列联表为
2. 临界值
χ2＝ eq \f(n(ad－bc)2,(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)).忽略χ2的实际分布与该近似分布的误差后，对于任何小概率值α，可以找到相应的正实数xα，使得P(χ2≥xα)＝α成立．我们称xα为α的临界值，这个临界值就可作为判断χ2大小的标准．
3. 独立性检验
基于小概率值α的检验规则是：
当χ2≥xα时，就推断H0不成立，即认为X和Y不独立，该推断犯错误的概率不超过α；
当χ2＜xα时，没有充分证据推断H0不成立，可以认为X和Y独立．
这种利用χ2的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为χ2独立性检验，读作“卡方独立性检验”，简称独立性检验．
下表给出了χ2独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值：
研题型 素养养成
举题说法
列联表与独立性检验
例1 (2024·晋城三模节选)某兴趣小组调查并统计了某班级学生期末统考中的数学成绩和建立个性化错题本的情况，用来研究这两者是否有关．若该班级共有36名学生，具体见列联表信息．
(1) 依据小概率值α＝0.005的独立性检验，分析学生期末统考中的数学成绩与建立个性化错题本是否有关；
【解答】 零假设为H0：期末统考中的数学成绩与建立个性化错题本无关．根据列联表中的数据，经计算得到χ2＝ eq \f(36×(20×8－4×4)2,24×12×12×24)＝9＞7.879＝x0.005.根据小概率值α＝0.005的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为期末统考中的数学成绩与建立个性化错题本有关，此推断犯错误的概率不大于0.005.
(2) 为进一步验证(1)中的判断，该兴趣小组准备在其他班级中抽取一个容量为36k的样本(假设根据新样本数据建立的列联表中，所有的数据都扩大为(1)中列联表中数据的k倍，且新列联表中的数据都为整数)．若要使得依据α＝0.001的独立性检验可以肯定(1)中的判断，试确定k的最小值．
【解答】 χ′2＝ eq \f(k(a＋b＋c＋d)(ka·kd－kb·kc)2,k(a＋b)·k(c＋d)·k(a＋c)·k(b＋d))＝ eq \f(k(a＋b＋c＋d)(ad－bc)2,(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d))＝9k≥10.828，解得k≥ eq \f(10.828,9).要使新列联表中的数据都为整数，则需4k∈Z.又因为4k≥ eq \f(10.828×4,9)≈4.8，所以4k的最小值为5，故k的最小值是 eq \f(5,4).
独立性检验的方法：
(1) 构造2×2列联表；
(2) 计算χ2；
(3) 查表确定有多大的把握判定两个变量有关联．
注意：查表时不是查最大允许值，而是先根据题目要求的百分比找到第一行对应的数值，再将该数值对应的xα值与求得的χ2值相比较．另外，表中第一行数据表示两个变量没有关联的可能性p，所以其有关联的可能性为1－p.
变式1 (2024·全国甲卷)某工厂进行生产线智能化升级改造．升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下：
(1) 填写如下列联表：
能否有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有99%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？
【解答】 根据题目所给数据得到如下2×2的列联表：
零假设为H0：甲、乙两车间产品的优级品率不存在差异，计算可得χ2＝ eq \f(150×(70×24－26×30)2,96×54×50×100)＝4.687 5，因为4.6875＞3.841＝x0.05，所以有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异．因为4.687 5＜6.635＝x0.01，所以没有99%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异．
(2) 已知升级改造前该工厂产品的优级品率为p＝0.5.设 eq \x\t(p) 为升级改造后抽取的n件产品的优级品率．如果 eq \x\t(p) ＞p＋1.65 eq \r(\f(p(1－p),n))，则认为该工厂产品的优级品率提高了．根据抽取的150件产品的数据，能否认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？( eq \r(150)≈12.247)
【解答】 由题意得 eq \x\t(p)＝ eq \f(96,150)＝0.64，p＋1.65 eq \r(\f(p(1－p),n))＝0.5＋1.65× eq \r(\f(0.5×0.5,150))≈0.57，所以 eq \x\t(p)＞p＋1.65 eq \r(\f(p(1－p),n))，故能认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了．
独立性检验与回归分析的综合
例2 下表是某市一主干道路口监控设备所抓拍的5个月内驾驶员不“礼让行人”违章驾驶人次统计数据．
(1) 由表中数据看出，可用线性回归模型拟合违章驾驶人次y与月份x之间的关系，求y关于x的经验回归方程 eq \(y,\s\up6(^))＝ eq \(b,\s\up6(^))x＋ eq \(a,\s\up6(^))，并预测该路口7月份不“礼让行人”违章驾驶人次．
【解答】 由表中数据知， eq \x\t(x)＝ eq \f(1＋2＋3＋4＋5,5)＝3， eq \x\t(y)＝ eq \f(125＋105＋100＋90＋80,5)＝100，所以 eq \(∑,\s\up6(5),\s\d4(i＝1)) (xi－ eq \x\t(x))(yi－ eq \x\t(y))＝－50－5＋0－10－40＝－105， eq \(∑,\s\up6(5),\s\d4(i＝1)) (xi－ eq \x\t(x))2＝4＋1＋0＋1＋4＝10，所以 eq \(b,\s\up6(^))＝ eq \f(\(∑,\s\up6(5),\s\d4(i＝1)) (xi－\x\t(x))(yi－\x\t(y)),\(∑,\s\up6(5),\s\d4(i＝1)) (xi－\x\t(x))2)＝ eq \f(－105,10)＝－10.5， eq \(a,\s\up6(^))＝100－(－10.5)×3＝131.5，所以经验回归方程为 eq \(y,\s\up6(^))＝－10.5x＋131.5.令x＝7，得 eq \(y,\s\up6(^))＝－10.5×7＋131.5＝58，故预测该路口7月份不“礼让行人”违章驾驶人次为58.
(2) 交警从这5个月内通过该路口的驾驶员中随机抽查90人，调查驾驶员“礼让行人”行为与驾龄的关系，得到下表：
依据小概率值α＝0.1的独立性检验，判断“礼让行人”行为与驾龄是否有关联，并用一句话谈谈你对结论判断的体会．
【解答】 根据题中的列联表补全得下表：
零假设为H0：“礼让行人”行为与驾龄之间无关联．由题得χ2＝ eq \f(90×(24×24－16×26)2,50×40×40×50)＝0.576＜2.706＝x0.1，依据小概率值α＝0.1的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，即“礼让行人”行为与驾龄之间无关联．“礼让行人”是一种良好的驾驶习惯，无论驾龄多少，都需遵守规章，礼让行人．
变式2 为了解某一地区电动汽车销售情况，一机构根据统计数据，用最小二乘法得到电动汽车销量y(单位：万台)关于年份x的经验回归方程为y＝4.7x－9 459.2，且销量y的方差为s eq \\al(2,y)＝ eq \f(254,5)，年份x的方差为s eq \\al(2,x)＝2.
(1) 求y关于x的样本相关系数r，并据此判断电动汽车销量y与年份x的相关性强弱(若|r|＞0.9，则可判断y与x线性相关程度较强)；
【解答】 样本相关系数r＝ eq \f(\(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1)) (xi－\x\t(x))(yi－\x\t(y)),\r(\(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1))(xi－\x\t(x))2\(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1)) (yi－\x\t(y))2))＝ eq \f(\(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1)) (xi－\x\t(x))(yi－\x\t(y)),\(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1))(xi－\x\t(x))2)· eq \f(\r(\(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1))(xi－\x\t(x))2),\r(\(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1))(yi－\x\t(y))2))＝ eq \(b,\s\up6(^))· eq \f(\r(ns eq \\al(2,x)),\r(ns eq \\al(2,y)))＝ eq \(b,\s\up6(^))· eq \f(\r(s eq \\al(2,x)),\r(s eq \\al(2,y)))＝4.7× eq \r(\f(10,254))＝ eq \f(47,\r(10)×\r(254))＝ eq \f(47,2\r(635))≈ eq \f(47,50)＝0.94＞0.9，故y与x线性相关程度较强．
(2) 该机构还调查了该地区90位购车车主的性别与购车种类情况，得到的数据如下表：
依据小概率值α＝0.05的独立性检验，能否认为购买电动汽车与车主性别有关？
参考数据： eq \r(5×127)＝ eq \r(635)≈25.
【解答】 零假设为H0：购买电动汽车与车主性别无关．由题得χ2＝ eq \f(n(ad－bc)2,(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d))＝ eq \f(90×(39×15－30×6)2,45×45×69×21)≈5.031＞3.841，所以依据小概率值α＝0.05的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为购买电动汽车与车主性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.05.
随堂内化
1. 为了解某大学的学生是否爱好体育锻炼，用简单随机抽样的方法在校园内调查了120位学生，得到如下2×2列联表：
则a－b－c＝( C )
A. 7B. 8
C. 9D. 10
【解析】 由题意得c＝120－73－25＝22，a＝74－22＝52，b＝73－52＝21，所以a－b－c＝52－21－22＝9.
2. 两个分类变量X和Y，值域分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数分别是a＝10，b＝21，c＋d＝35.若X与Y有关系的可信程度不小于97.5%，则c的值可以为( A )
(附：x0.025＝5.024)
A. 3B. 4
C. 5D. 6
【解析】 2×2列联表如下：
由上表数据知χ2＝ eq \f(66×[10(35－c)－21c]2,31×35×(10＋c)(56－c))≥5.024，代入A，B，C，D中c的值验证，知A正确．
3. (2025·苏州期末)(多选)为比较甲、乙两所学校学生的数学水平，采取简单随机抽样的方法抽取88名学生．通过测验得到了如下数据：甲校43名学生中10名学生数学成绩优秀；乙校45名学生中有7名学生数学成绩优秀．整理数据如下表：
参考公式及数据：
χ2＝ eq \f(n(ad－bc)2,(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d))，n＝a＋b＋c＋d.
则下列说法正确的有( ACD )
A. 甲校的数学抽测成绩优秀率一定比乙校的数学抽测成绩优秀率高
B. 甲校的数学成绩优秀率一定比乙校的数学成绩优秀率高
C. 甲校的数学优秀人数可能比乙校的数学优秀人数多
D. 对于小概率值α＝0.1，可以认为两校的数学成绩优秀率几乎没有差异
4. (多选)暑假结束后，为了解假期中学生锻炼身体情况，学生处对所有在校学生做问卷调查，并随机抽取了180人的调查问卷，其中男生比女生少20人，并根据调查结果绘制得到等高堆积条形图．已知x0.01＝6.635，在被调查者中，下列说法正确的是( BCD )
(第4题)
A. 男生中不经常锻炼的人数比女生中经常锻炼的人数多
B. 男生中经常锻炼的人数比女生中经常锻炼的人数多8
C. 经常锻炼者中男生的频率是不经常锻炼者中男生频率的1.6倍左右
D. 在犯错误的概率不大于0.01的条件下，可以认为假期是否经常锻炼与性别有关
【解析】 设男生人数为x，则女生人数为x＋20.由题得x＋x＋20＝180，解得x＝80，即在被调查者中，男、女生人数分别为80，100，可得到如下2×2列联表：
由表可知，A显然错误；男生中经常锻炼的人数比女生中经常锻炼的人数多48－40＝8，B正确；在经常锻炼者中是男生的频率为 eq \f(48,88)≈0.545 5，在不经常锻炼者中是男生的频率为 eq \f(32,92)≈0.347 8， eq \f(0.545 5,0.347 8)≈1.6，C正确；零假设H0：假期是否经常锻炼与性别无关，则χ2＝ eq \f(180×(48×60－32×40)2,80×100×88×92)≈7.115＞6.635＝x0.01，根据小概率值α＝0.01的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为假期是否经常锻炼与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.01，D正确．
5. 为了考察一种新疫苗预防某X疾病的效果，研究人员对一地区某种动物进行试验，从该试验群中随机进行了抽查，已知抽查的接种疫苗的动物数量是没接种疫苗的2倍，接种且发病占接种的 eq \f(1,6)，没接种且发病的占没接种的 eq \f(1,3).若本次抽查得出“在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为接种该疫苗与预防某X疾病有关”的结论，则被抽查的没接种疫苗的动物至少有( B )
附：x0.05＝3.841.
A. 35只B. 36只
C. 37只D. 38只
【解析】 设被抽查的没接种疫苗的动物有k只，依题意，得如下2×2列联表：
χ2＝ eq \f(3k\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2k2,9)－\f(5k2,9)))\s\up12(2),\f(2k,3)·\f(7k,3)·2k·k)＝ eq \f(3k,28)，因为本次调查得出“在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为接种该疫苗与预防某X疾病有关”的结论，所以χ2＞3.841，即 eq \f(3k,28)＞3.841，即3k＞3.841×28.又k为3的倍数，所以kmin＝36.
练案❶ 趁热打铁，事半功倍．请老师布置同学们及时完成《配套精练》．
练案❷ 1. 补不足、提能力，老师可增加训练《抓分题·高考夯基固本天天练》(提高版)对应内容，成书可向当地发行咨询购买．
2. 为提高高考答卷速度及综合应考能力，老师可适时安排《一年好卷》或《抓分卷·高考增分提速天天练》(提高版)，成书可向当地发行咨询购买．
配套精练
附：χ2＝ eq \f(n(ad－bc)2,(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d))，其中n＝a＋b＋c＋d.
一、 单项选择题
1. 下列关于独立性检验的说法正确的是( D )
A. 独立性检验是对两个变量是否具有线性相关关系的一种检验
B. 独立性检验可以100%确定两个变量之间是否具有某种关系
C. 利用χ2独立性检验推断吸烟与患肺病的关联，若有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，则我们可以说在100个吸烟的人中，有99人患肺病
D. 对于独立性检验，随机变量χ2的值越小，判定“两变量有关系”犯错误的概率越大
【解析】 对于A，独立性检验是通过卡方计算来判断两个变量存在关联的可能性的一种方法，并非检验二者是不是线性相关，故A错误；对于B，独立性检验并不能100%确定两个变量相关，故B错误；对于C，99%是指“吸烟”和“患肺病”存在关联的可能性，并非吸烟的人中患肺病的发病率，故C错误；对于D，根据χ2计算的定义可知D正确．
2. (2024·枣庄一模)某儿童医院用甲、乙两种疗法治疗小儿消化不良．采用有放回简单随机抽样的方法对治疗情况进行检查，得到两种疗法治疗数据的列联表：
经计算得到χ2≈4.881，根据小概率值α＝0.005的独立性检验，则可以认为( C )
A. 两种疗法的效果存在差异
B. 两种疗法的效果存在差异，这种判断犯错误的概率不超过0.005
C. 两种疗法的效果没有差异
D. 两种疗法的效果没有差异，这种判断犯错误的概率不超过0.005
【解析】 零假设为H0：疗法与疗效独立，即两种疗法效果没有差异．根据列联表中的数据，χ2≈4.881＜7.879＝x0.005，根据小概率值α＝0.005的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，因此可以认为H0成立，即认为两种疗法效果没有差异．
3. (2024·临汾二模)人生因阅读而气象万千，人生因阅读而精彩纷呈．腹有诗书气自华，读书有益于开阔眼界、提升格局；最是书香能致远，书海中深蕴着灼热的理想信仰、炽热的国家情怀．对某校高中学生的读书情况进行了调查，结果如下：
根据小概率值α＝0.001的独立性检验，推断是否喜欢阅读与性别有关，则m的值可以为( A )
A. 10 B. 20
C. 30 D. 40
【解析】 根据列联表可知a＝260，b＝60，c＝200，d＝m，则n＝a＋b＋c＋d＝520＋m，由公式χ2＝ eq \f(n(ad－bc)2,(a＋c)(b＋d)(c＋d)(a＋b))＝ eq \f((520＋m)(260m－60×200)2,460×(m＋60)×(m＋200)×320)＝ eq \f((520＋m)(13m－600)2,368(m＋60)(m＋200))，即根据小概率值α＝0.001的独立性检验，推断是否喜欢阅读与性别有关，则根据α＝0.001可知只需χ2＞10.828即可，即 eq \f((520＋m)(13m－600)2,368(m＋60)(m＋200))＞10.828即可．当m＝10时， eq \f((520＋10)×(13×10－600)2,368×(10＋60)×(10＋200))≈21.642＞10.828，满足题意，故m可取10；当m＝20时， eq \f((520＋20)×(13×20－600)2,368×(20＋60)×(20＋200))≈9.638＜10.828，不满足题意；当m＝30时， eq \f((520＋30)×(13×30－600)2,368×(30＋60)×(30＋200))≈3.184＜10.828，不满足题意；当取m＝40时， eq \f((520＋40)×(13×40－600)2,368×(40＋60)×(40＋200))≈0.406＜10.828，不满足题意．
4．已知某独立性检验中，由χ2＝ eq \f(n(ad－bc)2,(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d))，n＝a＋b＋c＋d计算出χ2＝χ eq \\al(2,1)，若将2×2列联表中的数据a，b，c，d分别变成2a，2b，2c，2d，计算出的χ2＝χ eq \\al(2,2)，则( B )
A. χ eq \\al(2,2)＝χ eq \\al(2,1) B. χ eq \\al(2,2)＝2χ eq \\al(2,1)
C. χ eq \\al(2,1)＝2χ eq \\al(2,2) D. χ eq \\al(2,2)＝4χ eq \\al(2,1)
【解析】 因为χ eq \\al(2,1)＝ eq \f(n(ad－bc)2,(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d))，所以χ eq \\al(2,2)＝ eq \f(2n(2a×2d－2b×2c)2,(2a＋2b)(2c＋2d)(2a＋2c)(2b＋2d))＝ eq \f(2n(ad－bc)2,(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d))＝2χ eq \\al(2,1).
二、 多项选择题
5. 某中学为了解性别因素是否对本校学生体育锻炼的经常性有影响，从本校所有学生中随机调查了50名男生和50名女生，得到如下列联表：
经计算χ2≈4.762，则可以推断出( BC )
A. 该学校男生中经常体育锻炼的概率的估计值为 eq \f(3,5)
B. 该学校男生比女生更经常锻炼
C. 有95%的把握认为男、女生在体育锻炼的经常性方面有差异
D. 有99%的把握认为男、女生在体育锻炼的经常性方面有差异
【解析】 对于A，该学校男生中经常体育锻炼的概率的估计值为 eq \f(40,50)＝ eq \f(4,5)，故A错误；对于B，经常体育锻炼的概率的估计值：男生为 eq \f(40,50)＝ eq \f(4,5)，女生为 eq \f(30,50)＝ eq \f(3,5)，故B正确；对于C，χ2≈4.762＞3.841，故有95%的把握认为男、女生在体育锻炼的经常性方面有差异，故C正确；对于D，χ2≈4.762＜6.635，故没有99%的把握认为男、女生在体育锻炼的经常性方面有差异，故D错误．
6. (2024·南昌二模)为了解中学生喜爱足球运动与性别是否有关，甲、乙两校的课题组分别随机抽取了本校部分学生进行调查，得到如下两个表格：
甲校样本
乙校样本
则下列判断中正确的是( AD )
A. 样本中，甲校男学生喜爱足球运动的比例高于乙校男学生喜爱足球运动的比例
B. 样本中，甲校女学生喜爱足球运动的比例高于乙校女学生喜爱足球运动的比例
C. 根据甲校样本有99%的把握认为中学生喜爱足球运动与性别有关
D. 根据乙校样本有99%的把握认为中学生喜爱足球运动与性别有关
【解析】 对于A，甲校男学生喜爱足球运动的比例为 eq \f(15,20)＝ eq \f(3,4)，乙校男学生喜爱足球运动的比例为 eq \f(70,100)＝ eq \f(7,10)＜ eq \f(3,4)，即甲校男学生喜爱足球运动的比例高于乙校男学生喜爱足球运动的比例，故A正确；对于B，甲校女学生喜爱足球运动的比例为 eq \f(8,20)＝ eq \f(2,5)，乙校女学生喜爱足球运动的比例为 eq \f(45,100)＝ eq \f(9,20)＞ eq \f(2,5)，即甲校女学生喜爱足球运动的比例低于乙校女学生喜爱足球运动的比例，故B错误；对于C，甲校中χ2＝ eq \f(40×(15×12－5×8)2,20×20×23×17)≈5.013＜6.635，所以根据甲校样本没有99%的把握认为中学生喜爱足球运动与性别有关，故C错误；对于D，乙校中χ2＝ eq \f(200×(70×55－30×45)2,115×85×100×100)≈12.788＞6.635，所以根据乙校样本有99%的把握认为中学生喜爱足球运动与性别有关，故D正确．
7. (2024·湖北八市3月联考)某校为了解高一新生对数学是否感兴趣，从400名女生和600名男生中通过分层随机抽样的方式随机抽取100名学生进行问卷调查，根据调查的结果得到如下等高堆积条形图和列联表，则( ACD )
(第7题)
参考数据：本题中χ2≈3.94.
A. 表中a＝12，c＝30
B. 可以估计该校高一新生中对数学不感兴趣的女生人数比男生多
C. 根据小概率值α＝0.05的χ2独立性检验，可以认为性别与对数学的兴趣有差异
D. 根据小概率值α＝0.01的χ2独立性检验，可以认为性别与对数学的兴趣没有差异
【解析】 由题可知，抽取男生人数为600× eq \f(100,1 000)＝60，抽取女生人数为400× eq \f(100,1 000)＝40.由等高堆积条形图知，抽取的男生中感兴趣的人数为60×0.5＝30，抽取的男生中不感兴趣的人数为60×0.5＝30，抽取的女生中感兴趣的人数为40×0.3＝12，抽取的女生中不感兴趣的人数为40×0.7＝28，作出2×2列联表如下：
由此表可知，a＝12，c＝30，故A正确；女生不感兴趣的人数约为400× eq \f(28,40)＝280(人)，男生不感兴趣的人数约为600× eq \f(30,60)＝300(人)，所以估计该校高一新生中对数学不感兴趣的女生人数比男生少，故B错误；零假设为H0：性别与对数学的兴趣没有差异，χ2≈3.94＞3.841，依据小概率值α＝0.05的独立性检验，有充分证据推断H0不成立，因此可以认为不成立，即可以认为性别与对数学的兴趣有差异，故C正确；零假设为H0：性别与对数学的兴趣没有差异，χ2≈3.94＜6.635，依据小概率值α＝0.01的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，因此可以认为成立，即可以认为性别与对数学的兴趣没有差异，故D正确．
三、 填空题
8. 下表是对于“喜欢运动”与性别是否有关的2×2列联表，依据表中的数据，得到χ2≈_4.722_(结果保留到小数点后3位)．
【解析】 χ2＝ eq \f(85×(40×12－28×5)2,45×40×68×17)≈4.722.
9. 某高校有10 000名学生，其中女生3 000名，男生7 000名．为调查爱好体育运动是否与性别有关，用分层随机抽样的方法抽取120名学生，制成如下2×2列联表，则a－b＝_29_．(用数字作答)
【解析】 根据分层随机抽样原理，可得抽取男生120× eq \f(7 000,10 000)＝84(人)，女生120× eq \f(3 000,10 000)＝36(人)，所以a＝84－28＝56，b＝36－9＝27，所以a－b＝56－27＝29.
10. 某种疾病可分为A，B两种类型，为了解该疾病的类型与患者性别是否相关，在某地区随机抽取了若干名该疾病的患者进行调查，发现女性患者人数是男性患者的2倍，男性患A型疾病的人数占男性患者的 eq \f(5,6)，女性患A型疾病的人数占女性患者的 eq \f(1,3).若本次调查得出“在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为‘所患疾病类型’与‘性别’有关”的结论，则被调查的男性患者至少有_12_人．
【解析】 设男性患者有x人，则女性患者有2x人，得 2×2列联表如下：
零假设为H0：患者所患疾病类型与性别之间无关联．根据列联表中的数据，经计算得到χ2＝ eq \f(3x\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5x,6)·\f(4x,3)－\f(x,6)·\f(2x,3)))\s\up12(2),\f(3x,2)·\f(3x,2)·2x·x)＝ eq \f(2x,3)，要使在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为“所患疾病类型”与“性别”有关，则 eq \f(2x,3)＞7.879，解得x＞11.818 5.因为 eq \f(x,6)∈Z， eq \f(x,3)∈Z，所以x的最小整数值为12，因此，被调查的男性患者至少有12人．
四、 解答题
11. (2025·南京零模)小王早晨7：30从家出发上班，有A，B两个出行方案供其选择，他统计了最近100天分别选择A，B两个出行方案到达单位的时间，制成如下表格：
(1) 判断是否有95%的把握认为在8点前到单位与方案选择有关，并说明理由；
【解答】 根据题意，列出2×2列联表如下表：
零假设H0：8点前到单位与方案选择无关，则χ2＝ eq \f(100×(28×30－12×30)2,40×60×42×58)＝ eq \f(800,203)≈3.941＞3.841，所以零假设H0不成立，所以有95%的把握认为8点前到单位与方案选择有关．
(2) 小王准备下周一选择A方案上班，下周二至下周五选择B方案上班，记小王下周一至下周五这五天中，8点前到单位的天数为随机变量X，若用频率估计概率，求P(X＝3).
【解答】 选择A方案上班，8点前到单位的概率为0.7，选择B方案上班，8点前到单位的概率为0.5.当X＝3时，则分两种情况，第一种：若周一8点前到单位，则P1＝0.7×C eq \\al(2,4)(1－0.5)2×0.52＝ eq \f(21,80).第二种：若周一8点前没有到单位，则P2＝(1－0.7)×C eq \\al(3,4)(1－0.5)×0.53＝ eq \f(3,40).综上，P(X＝3)＝P1＋P2＝ eq \f(27,80).
12. 某校为调研学生对新开设劳动课程的满意度并不断改进劳动教育，该校从2023年1月到10月每两个月从全校3 000名学生中随机抽取150名学生进行问卷调查，统计数据如下表．
(1) 由表中数据可以看出，可用线性回归模型拟合满意人数y与月份x之间的关系，求y关于x的经验回归方程 eq \(y,\s\up6(^))＝ eq \(b,\s\up6(^))x＋ eq \(a,\s\up6(^))，并预测12月份该校全体学生中对劳动课程满意的人数；
【解答】 由题意可得 eq \x\t(x)＝(2＋4＋6＋8＋10)÷5＝6， eq \x\t(y)＝(80＋95＋100＋105＋120)÷5＝100，则 eq \(∑,\s\up6(5),\s\d4(i＝1)) (xi－ eq \x\t(x))(yi－ eq \x\t(y))＝(2－6)×(80－100)＋(4－6)×(95－100)＋(6－6)×(100－100)＋(8－6)×(105－100)＋(10－6)×(120－100)＝80＋10＋0＋10＋80＝180， eq \(∑,\s\up6(5),\s\d4(i＝1)) (xi－ eq \x\t(x))2＝(2－6)2＋(4－6)2＋(6－6)2＋(8－6)2＋(10－6)2＝16＋4＋0＋4＋16＝40，可得 eq \(b,\s\up6(^))＝ eq \f(\(∑,\s\up6(5),\s\d4(i＝1)) (xi－\x\t(x))(yi－\x\t(y)),\(∑,\s\up6(5),\s\d4(i＝1)) (xi－\x\t(x))2)＝ eq \f(180,40)＝ eq \f(9,2)， eq \(a,\s\up6(^))＝100－ eq \f(9,2)×6＝73，故y关于x的经验回归方程为 eq \(y,\s\up6(^))＝ eq \f(9,2)x＋73.令x＝12，得 eq \(y,\s\up6(^))＝127，据此预测12月份该校全体学生中对劳动课程满意的人数为3 000× eq \f(127,150)＝2 540.
(2) 10月份时，该校为进一步深化劳动教育改革，了解不同性别的学生对劳动课程是否满意，经调研得如下统计表：
请根据上表判断是否有95%的把握认为该校的学生对劳动课程是否满意与性别有关．
【解答】 零假设为H0：该校的学生对劳动课程是否满意与性别无关，根据列联表得χ2＝ eq \f(150×(65×20－55×10)2,120×30×75×75)＝ eq \f(25,6)≈4.167＞3.841＝x0.05，所以根据小概率值α＝0.05的独立性检验，推断H0不成立，即有95%的把握认为该校的学生对劳动课程是否满意与性别有关．
α
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
心脏病
无心脏病
秃发
20
300
不秃发
5
450
性别
出生时间
合计
晚上
白天
女
24
31
55
男
8
26
34
合计
32
57
89
X
Y
合计
Y＝y1
Y＝y2
X＝x1
a
b
a＋b
X＝x2
c
d
c＋d
合计
a＋c
b＋d
n＝a＋b＋c＋d
α
0.10
0.05
0.01
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
个性化错题本
期末统考中的数学成绩
合计
及格
不及格
建立
20
4
24
未建立
4
8
12
合计
24
12
36
优级品
合格品
不合格品
总计
甲车间
26
24
0
50
乙车间
70
28
2
100
总计
96
52
2
150
优级品
非优级品
甲车间
乙车间
优级品
非优级品
甲车间
26
24
乙车间
70
30
月份
1
2
3
4
5
违章驾驶人次
125
105
100
90
80
不“礼让行人”
“礼让行人”
驾龄不超过2年
24
16
驾龄2年以上
26
24
不“礼让行人”
“礼让行人”
合计
驾龄不超过2年
24
16
40
驾龄2年以上
26
24
50
合计
50
40
90
性别
购买非电动汽车
购买电动汽车
总计
男性
39
6
45
女性
30
15
45
总计
69
21
90
男
女
合计
爱好
a
b
73
不爱好
c
25
合计
74
X
Y
合计
y1
y2
x1
10
21
31
x2
c
35－c
35
合计
10＋c
56－c
66
学校
数学成绩
合计
不优秀
优秀
甲校
33
10
43
乙校
38
7
45
合计
71
17
88
α
0.100
0.050
0.010
0.005
xα
2.706
3.841
6.635
7.879
性别
锻炼情况
合计
经常锻炼
不经常锻炼
男
48
32
80
女
40
60
100
合计
88
92
180
发病
没发病
合计
接种
eq \f(k,3)
eq \f(5k,3)
2k
没接种
eq \f(k,3)
eq \f(2k,3)
k
合计
eq \f(2k,3)
eq \f(7k,3)
3k
α
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
疗法
疗效
合计
未治愈
治愈
甲
15
52
67
乙
6
63
69
合计
21
115
136
喜欢读书
不喜欢读书
合计
男生
260
60
320
女生
200
m
m＋200
合计
460
m＋60
m＋520
经常锻炼
不经常锻炼
男
40
10
女
30
20
喜爱足球运动
不喜爱足球运动
合计
男性
15
5
20
女性
8
12
20
合计
23
17
40
喜爱足球运动
不喜爱足球运动
合计
男性
70
30
100
女性
45
55
100
合计
115
85
200
性别
数学兴趣
合计
感兴趣
不感兴趣
女生
a
b
a＋b
男生
c
d
c＋d
合计
a＋c
b＋d
100
性别
数学兴趣
合计
感兴趣
不感兴趣
女生
12
28
40
男生
30
30
60
合计
42
58
100
喜欢运动
不喜欢运动
合计
男
40
28
68
女
5
12
17
合计
45
40
85
男
女
合计
爱好体育运动
a
9
不爱好体育运动
28
b
合计
120
A型病
B型病
总计
男
eq \f(5x,6)
eq \f(x,6)
x
女
eq \f(2x,3)
eq \f(4x,3)
2x
总计
eq \f(3x,2)
eq \f(3x,2)
3x
8点前到
(天数)
8点或8点
后到(天数)
A方案
28
12
B方案
30
30
8点前到(天数)
8点或8点后到(天数)
合计
A方案
28
12
40
B方案
30
30
60
合计
58
42
100
月份x
2
4
6
8
10
满意人数y
80
95
100
105
120
满意
不满意
合计
男生
65
10
75
女生
55
20
75
合计
120
30
150