第32讲　数列的求和高考数学一轮复习讲义练习

这是一份第32讲　数列的求和高考数学一轮复习讲义练习，共2页。试卷主要包含了 )求和等内容，欢迎下载使用。

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1. 设数列{an}的通项公式为an＝2n－7，则|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝( A )
A. 153B. 210
C. 135D. 120
【解析】 令an＝2n－7≥0，解得n≥ eq \f(7,2)，所以从第4项开始大于0，所以|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝－a1－a2－a3＋a4＋a5＋…＋a15＝5＋3＋1＋1＋3＋…＋(2×15－7)＝9＋ eq \f(12×(1＋23),2)＝153.
2. 数列1， eq \f(1,1＋2)， eq \f(1,1＋2＋3)，…， eq \f(1,1＋2＋3＋…＋n)，…的前n项和为( B )
A. eq \f(n,n＋1)B. eq \f(2n,n＋1)
C. eq \f(2,n(n＋1))D. eq \f(4,n(n＋1))
【解析】 因为 eq \f(1,1＋2＋3＋…＋n)＝ eq \f(2,n(n＋1))＝2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,n)－\f(1,n＋1)))，所以该数列的前n项和为2 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)－\f(1,3)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)－\f(1,4)))＋…＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,n)－\f(1,n＋1)))))＝2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,n＋1)))＝ eq \f(2n,n＋1).
3. 已知函数y＝f(x)满足f(x)＋f(1－x)＝1，若数列{an}满足an＝f(0)＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,n)))＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,n)))＋…＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(n－1,n)))＋f(1)，则数列{an}的前20项和为( D )
A. 100B. 105
C. 110D. 115
【解析】 因为函数y＝f(x)满足f(x)＋f(1－x)＝1，an＝f(0)＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,n)))＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,n)))＋…＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(n－1,n)))＋f(1)①，所以an＝f(1)＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(n－1,n)))＋…＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,n)))＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,n)))＋f(0)②，由①＋②可得2an＝n＋1，所以an＝ eq \f(n＋1,2)，所以数列{an}是首项为1，公差为 eq \f(1,2)的等差数列，其前20项和为 eq \f(20×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(20＋1,2))),2)＝115.
4. (人A选必二P40习题T3(1))求和：(2－3×5-1)＋(4－3×5-2)＋…＋(2n－3×5－n)＝_n(n＋1)－ eq \f(3,4)(1－5－n)_．
【解析】 原式＝(2＋4＋…＋2n)－3(5-1＋5-2＋…＋5－n)＝ eq \f((2＋2n)n,2)－3× eq \f(5-1(1－5－n),1－5-1)＝n(n＋1)－ eq \f(3,4)(1－5－n).
5. (人A选必二P40习题T13(2))求和：1＋2x＋3x2＋…＋nxn-1＝_ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f((1＋n)n,2)，x＝1，,\f(nxn+1－(n＋1)xn＋1,(1－x)2)，x≠1))_.
【解析】 当x＝1时，1＋2x＋3x2＋…＋nxn-1＝1＋2＋3＋…＋n＝ eq \f((1＋n)n,2)；当x≠1时，记Sn＝1＋2x＋3x2＋…＋nxn-1①，①×x，得xSn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn②，①－②得(1－x)Sn＝1＋x＋x2＋…＋xn-1－nxn＝ eq \f(1－xn,1－x)－nxn，化简得Sn＝ eq \f(nxn+1－(n＋1)xn＋1,(1－x)2).综上，1＋2x＋3x2＋…＋nxn-1＝ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f((1＋n)n,2)，x＝1，,\f(nxn+1－(n＋1)xn＋1,(1－x)2)，x≠1.))
聚焦知识
1. 公式法
除了等差、等比数列的求和公式，常见的求和公式还有：
12＋22＋32＋…＋n2＝ eq \f(n(n＋1)(2n＋1),6)；
13＋23＋33＋…＋n3＝ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(n(n＋1),2))) eq \s\up12(2).
2. 分组求和法与并项求和法
(1) 分组求和法
若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减．
(2) 并项求和法
一个数列的前n项中，可两两结合求解，则称之为并项求和．如an＝(－1)nf(n)型，可采用两项合并求解．
3. 错位相减法
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的．
4. 裂项相消法
(1) 裂项原则
一般是前面裂几项，后面就裂几项，直到发现被消去项的规律为止．
(2) 消项规律
消项后前面剩几项，后面就剩几项，前面剩第几项，后面就剩倒数第几项．